Aufgaben:Aufgabe 1.8Z: Cosinus-Quadrat-Tiefpass: Unterschied zwischen den Versionen

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Bei der Untersuchung von Digitalsystemen geht man häufig von einem diracförmigen Eingangssignal  $x(t) = T \cdot \delta(t)$  aus, so dass  $X(f) = T$  gilt.
  
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Das Ausgangsspektrum  $Y(f)$  ist dann formgleich mit dem Gesamtfrequenzgang von Sende– und Empfangsfilter:
:Bei der Untersuchung von Digitalsystemen geht man häufig von einem diracförmigen Eingangssignal <i>x</i>(<i>t</i>) = <i>T</i> &middot; <i>&delta;</i>(<i>t</i>) aus, so dass <i>X</i>(<i>f</i>) = <i>T</i> gilt. Das Ausgangsspektrum <i>Y</i>(<i>f</i>) ist dann formgleich mit dem Gesamtfrequenzgang von Sende&ndash; und Empfangsfilter:
 
 
:$$H(f)  = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$
 
:$$H(f)  = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$
  
:Dieser wird häufig als cos<sup>2</sup>&ndash;förmig angenommen (siehe Grafik). Für |<i>f</i> &middot; <i>T</i>| > 1 ist <i>H</i>(<i>f</i>) = 0. Im inneren Bereich gilt:
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Dieser Frequenzgang wird häufig als&nbsp; $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):
:$$H(f)  = \cos^2(f \cdot T \cdot \frac{\pi}{ 2}  ) .$$
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* Für &nbsp;$f \cdot T \ge 1$&nbsp;  ist &nbsp;$H(f) = 0$.  
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*Im inneren Bereich gilt &nbsp;$H(f)  = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2}  ) .$
  
:Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite &Delta;<i>f</i> = 1/<i>T</i> betragen soll. Damit ist die äquivalente Dauer &Delta;<i>t</i> der Impulsantwort ebenfalls <i>T</i> und man erhält:
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:$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T} )\cdot \frac
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Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite &nbsp;$\Delta f = 1/{\Delta t}$&nbsp; ist. Damit erhält man für die äquivalente &nbsp;${\Delta t}$&nbsp; der Impulsantwort ebenfalls &nbsp;$T$&nbsp; und und es gilt:
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:$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac
 
{\cos(\pi \cdot  t / T  )}{1 - (2 \cdot  t/T )^2}.$$
 
{\cos(\pi \cdot  t / T  )}{1 - (2 \cdot  t/T )^2}.$$
  
:Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal <i>y</i>(<i>t</i>) im Gegensatz zur Impulsantwort <i>h</i>(<i>t</i>) ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:
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Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; im Gegensatz zur Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:
:$$y(t) = \frac{\pi}{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T} )\cdot
+
:$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot
\left[ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right)
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\big[ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right)
\right)+ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right)
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\big)+ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right)
\right)\right].$$
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\big)\big].$$
  
:Wählen Sie bei den nachfolgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.
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Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.
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Für die Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; soll vorausgesetzt werden, dass das Signal  &nbsp;$s(t)$&nbsp;  in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen &nbsp;$H_{\rm S}(f)$&nbsp; und  &nbsp;$H_{\rm S}(f)$&nbsp; ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:
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:$$H_{\rm E}(f)  = {\rm  si }(\pi f T  ) .$$
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]]. 
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpass]].
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*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet &nbsp;[[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]]&nbsp; überprüfen.
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:Für die Teilaufgabe c) soll vorausgesetzt werden, dass das Signal <i>s</i>(<i>t</i>) in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen <i>H</i><sub>S</sub>(<i>f</i>) und <i>H</i><sub>E</sub>(<i>f</i>) ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:
 
:$$H_{\rm S}(f)  = {\rm
 
si }(\pi f T  ) .$$
 
  
:<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.3. Sie können Ihre Ergebnisse mit folgendem Interaktionsmodul überprüfen:
 
:Tiefpässe im Frequenz- und Zeitbereich
 
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten <i>t</i> = 0 und <i>t</i> = <i>T</i>.
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{Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten &nbsp;$t = 0$&nbsp; und &nbsp;$t = T$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$y(t = 0)$ = { 1 1% }
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$y(t = 0) \ = \ $ { 1 1% }
$y(t = T)$ = { 0 1% }
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$y(t = T) \ = \ $ { 0. }
  
  
{Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten <i>t</i> = <i>T</i>/2 und <i>t</i> = 3/2 &middot; <i>T</i>.
+
{Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten &nbsp;$t = 0.5 T$&nbsp; und &nbsp;$t = 1.5 T$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$y(t = 0.5 T)$ = { 0.5 1% }
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$y(t = 0.5 T) \ = \ $ { 0.5 1% }
$y(t = 1.5 T)$ = { 0 1% }
+
$y(t = 1.5 T) \ = \ $ { 0. }
  
  
{Berechnen Sie <i>y</i>(<i>t</i>) für große <i>t</i>&ndash;Werte. Geeignete Näherungen sind erlaubt und erwünscht. Wie groß ist der Signalwert bei <i>t</i> = 10.75 <i>T</i>?
+
{Berechnen Sie &nbsp;$y(t)$&nbsp; für große &nbsp;$t$-Werte. Geeignete Näherungen sind erlaubt und erwünscht.&nbsp; Wie groß ist der Signalwert bei &nbsp;$t = 10.75 T$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$y(t = 10.75 T)$ = { 0.32 1% } $\cdot \ 10^{-4}$
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$y(t = 10.75 T) \ = \ $ { 32 1% } $ \ \cdot \ 10^{-6}$
  
  
{Geben Sie den erforderlichen Empfängerfrequenzgang <i>H</i><sub>E</sub>(<i>f</i>) für <i>H</i><sub>S</sub>(<i>f</i>) = si(&pi;<i>fT</i>) an. Welche Werte ergeben sich für <i>f</i> &middot; <i>T</i> = 0, <i>f</i> &middot; <i>T</i> = 0.5 und <i>f</i> &middot; <i>T</i> = 1?
+
{Geben Sie den erforderlichen Empfängerfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; für &nbsp;$H_{\rm S}(f)= {\rm si}(&pi;fT)$&nbsp; an.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$H_E(f=0)$ = { 1 1% }
+
$H_{\rm E}(f=0) \ = \ $ { 1 1% }
$H_E(f=0.5/T)$ = { 0.785 1% }
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$H_{\rm E}(f=0.5/T) \ = \ $ { 0.785 1% }
$H_E(f=1/T)$ = { 0 1% }
+
$H_{\rm E}(f=1/T) \ = \ $ { 0. }
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der si&ndash;Funktion direkt <i>y</i>(<i>t</i> = 0) = 1 und <i>y</i>(<i>t</i> = <i>T</i>) = <i>y</i>(<i>t</i> = 2<i>T</i>) = ... = 0. Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
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'''(1)'''&nbsp; Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der &nbsp;$\rm si$&ndash;Funktion direkt &nbsp;$y(t = 0) = 1$&nbsp; und &nbsp;$y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$.  
:$$y(t = 0) = \frac{\pi}{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm
+
 
si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right]  \\
+
*Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
= \frac{\pi}{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = \frac{\pi}{2} \cdot
+
:$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm
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si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right]   
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{\pi}/{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = {\pi}/{2} \cdot
 
\frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2}  \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
 
\frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2}  \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
:$$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}\frac{\pi}{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\rm
+
:$$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}{\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\rm
 
si}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right]  \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
 
si}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right]  \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:
 
:$$y(t = T/2) =  \frac{\pi}{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \left[ {\rm
 
si}(\pi)+ {\rm si}(0)\right].$$
 
  
:Mit si(0) = 1 und si(&pi;) = 0 erhält man so:
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[[Datei:P_ID871__LZI_Z_1_8_b.png|right|frame|Ausgangssignal des Cosinus–Quadrat–Tiefpasses]]
:$$y(t = T/2) =  \frac{\pi}{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)= \frac{\pi}{4}
+
'''(2)'''&nbsp; Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:
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:$$y(t = T/2) =  {\pi}/{4}  \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \big[ {\rm
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si}(\pi)+ {\rm si}(0)\big].$$
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*Mit&nbsp; ${\rm si}(0) = 1$&nbsp; und&nbsp; ${\rm si}(\pi) = 0$&nbsp; erhält man so:
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:$$y(t = T/2) =  {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4}  
 
\cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$
 
\cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$
  
:In analoger Weise ergibt sich für <i>t</i> = 1.5<i>T</i>:
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*In analoger Weise ergibt sich für&nbsp; $t = 1.5T$:
:$$y(t = 1.5T) =  \frac{\pi}{4} \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[
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:$$y(t = 1.5T) =  {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[
 
{\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
 
{\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
  
:Hierbei ist si(&pi;) = si(2&pi;) = 0 berücksichtigt. Zu den Zeitpunkten <i>t</i>/<i>T</i> = 2.5, 3.5, ... ist <i>y</i>(<i>t</i>) ebenfalls 0, wie die nachfolgende Grafik zeigt.
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*Hierbei ist&nbsp; ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$&nbsp; berücksichtigt.  
[[Datei:P_ID871__LZI_Z_1_8_b.png|center|]]
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*Auch zu den Zeiten&nbsp; $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$&nbsp; gilt&nbsp; $y(t) = 0$, wie obige Grafik zeigt.
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:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Für große Werte von <i>t</i> gilt näherungsweise (wenn man die &bdquo;1&rdquo; im Nenner vernachlässigt):
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'''(3)'''&nbsp; Für große Werte von&nbsp; $t$&nbsp; gilt näherungsweise&nbsp; (wenn man die &bdquo;1&rdquo; im Nenner vernachlässigt):
:$$y(t) =  \frac {\sin(\pi \cdot  t / T  )\cdot \cos(\pi \cdot  t / T
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:$$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac
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{\cos(\pi \cdot  t / T  )}{1 - (2 \cdot  t/T )^2} \approx \frac {\sin(\pi \cdot  t / T  )\cdot \cos(\pi \cdot  t / T
 
)}{ - (\pi \cdot  t/T )(2 \cdot  t/T )^2} = - \frac {\sin(2\pi
 
)}{ - (\pi \cdot  t/T )(2 \cdot  t/T )^2} = - \frac {\sin(2\pi
 
\cdot  t / T  )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$
 
\cdot  t / T  )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$
  
:Hierbei ist berücksichtigt, dass sin(<i>&alpha;</i>) &middot; cos(<i>&alpha;</i>) = sin(2<i>&alpha;</i>)/2 ist. Zum Zeitpunkt <i>t</i> = 10.75 <i>T</i> gilt:
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*Hierbei ist berücksichtigt, dass &nbsp;$\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$&nbsp; ist.  
:$$\sin(2\pi \cdot  t / T  ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1.$$
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*Zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 10.75 T$&nbsp; gilt dann:
:$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) =    \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3}  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.32
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:$$\sin(2\pi \cdot  t / T  ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm}
\cdot 10^{-4}}.$$
+
\Rightarrow  \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) =    \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3}  \hspace{0.15cm}\underline{= 32
 +
\cdot 10^{-6}}.$$
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:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Der Empfängerfrequenzgang lautet für |<i>f</i> &middot; <i>T</i>| &#8804; 1:
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[[Datei:P_ID872__LZI_Z_1_8_d.png|right|frame|Gesuchter Empfängerfrequenzgang]]
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'''(4)'''&nbsp; Der Empfängerfrequenzgang lautet für&nbsp; $|f \cdot T| \le 1$:
 
:$$H_{\rm E}(f)  = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T
 
:$$H_{\rm E}(f)  = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T
 
  /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$
 
  /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$
 
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*Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:
:Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:
 
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:$$H_{\rm E}(f = 0)  = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$
 
:$$H_{\rm E}(f = 0)  = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$
:$$H_{\rm E}(f = \frac{1}{2T}) \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2} =\\
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:$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2}
 
  =  \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$
 
  =  \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$
:$$H_{\rm E}(f = \frac{1}{T})  = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
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:$$H_{\rm E}(f = {1}/{T})  = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
  
:Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich <i>H<sub>S</sub></i>(<i>f</i>) &#8805; <i>H</i>(<i>f</i>) gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch&ndash;exakt bestimmt werden.
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Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich&nbsp; $H_{\rm S}(f) \ge  H(f) $&nbsp; gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden. Das haben wir auch gemacht, nur nicht in dieser Musterlösung.
 
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]

Aktuelle Version vom 13. September 2021, 10:27 Uhr

Zum Cosinus–Quadrat–Tiefpass

Bei der Untersuchung von Digitalsystemen geht man häufig von einem diracförmigen Eingangssignal  $x(t) = T \cdot \delta(t)$  aus, so dass  $X(f) = T$  gilt.

Das Ausgangsspektrum  $Y(f)$  ist dann formgleich mit dem Gesamtfrequenzgang von Sende– und Empfangsfilter:

$$H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$

Dieser Frequenzgang wird häufig als  $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):

  • Für  $f \cdot T \ge 1$  ist  $H(f) = 0$.
  • Im inneren Bereich gilt  $H(f) = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2} ) .$


Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite  $\Delta f = 1/{\Delta t}$  ist. Damit erhält man für die äquivalente  ${\Delta t}$  der Impulsantwort ebenfalls  $T$  und und es gilt:

$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2}.$$

Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal  $y(t)$  im Gegensatz zur Impulsantwort  $h(t)$  ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:

$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \big[ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right) \big)+ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right) \big)\big].$$

Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.

Für die Teilaufgabe  (3)  soll vorausgesetzt werden, dass das Signal  $s(t)$  in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen  $H_{\rm S}(f)$  und  $H_{\rm S}(f)$  ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:

$$H_{\rm E}(f) = {\rm si }(\pi f T ) .$$





Hinweise:



Fragebogen

1

Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten  $t = 0$  und  $t = T$.

$y(t = 0) \ = \ $

$y(t = T) \ = \ $

2

Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten  $t = 0.5 T$  und  $t = 1.5 T$.

$y(t = 0.5 T) \ = \ $

$y(t = 1.5 T) \ = \ $

3

Berechnen Sie  $y(t)$  für große  $t$-Werte. Geeignete Näherungen sind erlaubt und erwünscht.  Wie groß ist der Signalwert bei  $t = 10.75 T$?

$y(t = 10.75 T) \ = \ $

$ \ \cdot \ 10^{-6}$

4

Geben Sie den erforderlichen Empfängerfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  für  $H_{\rm S}(f)= {\rm si}(πfT)$  an.  Welche Werte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?

$H_{\rm E}(f=0) \ = \ $

$H_{\rm E}(f=0.5/T) \ = \ $

$H_{\rm E}(f=1/T) \ = \ $


Musterlösung

(1)  Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der  $\rm si$–Funktion direkt  $y(t = 0) = 1$  und  $y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$.

  • Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right] {\pi}/{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = {\pi}/{2} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
$$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}{\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\rm si}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right] \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$


Ausgangssignal des Cosinus–Quadrat–Tiefpasses

(2)  Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:

$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \big[ {\rm si}(\pi)+ {\rm si}(0)\big].$$
  • Mit  ${\rm si}(0) = 1$  und  ${\rm si}(\pi) = 0$  erhält man so:
$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$
  • In analoger Weise ergibt sich für  $t = 1.5T$:
$$y(t = 1.5T) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[ {\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
  • Hierbei ist  ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$  berücksichtigt.
  • Auch zu den Zeiten  $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$  gilt  $y(t) = 0$, wie obige Grafik zeigt.


(3)  Für große Werte von  $t$  gilt näherungsweise  (wenn man die „1” im Nenner vernachlässigt):

$$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2} \approx \frac {\sin(\pi \cdot t / T )\cdot \cos(\pi \cdot t / T )}{ - (\pi \cdot t/T )(2 \cdot t/T )^2} = - \frac {\sin(2\pi \cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$
  • Hierbei ist berücksichtigt, dass  $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$  ist.
  • Zum Zeitpunkt  $t = 10.75 T$  gilt dann:
$$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) = \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3} \hspace{0.15cm}\underline{= 32 \cdot 10^{-6}}.$$


Gesuchter Empfängerfrequenzgang

(4)  Der Empfängerfrequenzgang lautet für  $|f \cdot T| \le 1$:

$$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$
  • Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:
$$H_{\rm E}(f = 0) = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$
$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$
$$H_{\rm E}(f = {1}/{T}) = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich  $H_{\rm S}(f) \ge H(f) $  gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden. Das haben wir auch gemacht, nur nicht in dieser Musterlösung.