Aufgaben:Aufgabe 1.8Z: Cosinus-Quadrat-Tiefpass: Unterschied zwischen den Versionen
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− | + | Bei der Untersuchung von Digitalsystemen geht man häufig von einem diracförmigen Eingangssignal $x(t) = T \cdot \delta(t)$ aus, so dass $X(f) = T$ gilt. | |
− | + | Das Ausgangsspektrum $Y(f)$ ist dann formgleich mit dem Gesamtfrequenzgang von Sende– und Empfangsfilter: | |
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:$$H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$ | :$$H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$ | ||
− | + | Dieser Frequenzgang wird häufig als $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik): | |
− | + | * Für $f \cdot T \ge 1$ ist $H(f) = 0$. | |
+ | *Im inneren Bereich gilt $H(f) = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2} ) .$ | ||
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− | :$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot | + | Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite $\Delta f = 1/{\Delta t}$ ist. Damit erhält man für die äquivalente ${\Delta t}$ der Impulsantwort ebenfalls $T$ und und es gilt: |
+ | :$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac | ||
{\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2}.$$ | {\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2}.$$ | ||
− | + | Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal $y(t)$ im Gegensatz zur Impulsantwort $h(t)$ ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden: | |
− | :$$y(t) = | + | :$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot |
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− | + | Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus. | |
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+ | Für die Teilaufgabe '''(3)''' soll vorausgesetzt werden, dass das Signal $s(t)$ in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen $H_{\rm S}(f)$ und $H_{\rm S}(f)$ ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten: | ||
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+ | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus–Rolloff–Tiefpass]]. | ||
+ | *Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]] überprüfen. | ||
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− | {Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten | + | {Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten $t = 0$ und $t = T$. |
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− | {Berechnen Sie | + | {Berechnen Sie $y(t)$ für große $t$-Werte. Geeignete Näherungen sind erlaubt und erwünscht. Wie groß ist der Signalwert bei $t = 10.75 T$? |
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− | $y(t = 10.75 T)$ | + | $y(t = 10.75 T) \ = \ $ { 32 1% } $ \ \cdot \ 10^{-6}$ |
− | {Geben Sie den erforderlichen Empfängerfrequenzgang | + | {Geben Sie den erforderlichen Empfängerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$ für $H_{\rm S}(f)= {\rm si}(πfT)$ an. Welche Werte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen? |
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− | $ | + | $H_{\rm E}(f=1/T) \ = \ $ { 0. } |
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− | + | '''(1)''' Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der $\rm si$–Funktion direkt $y(t = 0) = 1$ und $y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$. | |
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+ | *Mit ${\rm si}(0) = 1$ und ${\rm si}(\pi) = 0$ erhält man so: | ||
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\cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$ | \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$ | ||
− | + | *In analoger Weise ergibt sich für $t = 1.5T$: | |
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{\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$ | {\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$ | ||
− | + | *Hierbei ist ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$ berücksichtigt. | |
− | + | *Auch zu den Zeiten $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$ gilt $y(t) = 0$, wie obige Grafik zeigt. | |
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− | + | '''(3)''' Für große Werte von $t$ gilt näherungsweise (wenn man die „1” im Nenner vernachlässigt): | |
− | :$$y(t) = \frac {\sin(\pi \cdot t / T )\cdot \cos(\pi \cdot t / T | + | :$$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac |
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)}{ - (\pi \cdot t/T )(2 \cdot t/T )^2} = - \frac {\sin(2\pi | )}{ - (\pi \cdot t/T )(2 \cdot t/T )^2} = - \frac {\sin(2\pi | ||
\cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$ | \cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$ | ||
− | + | *Hierbei ist berücksichtigt, dass $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$ ist. | |
− | :$$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1. | + | *Zum Zeitpunkt $t = 10.75 T$ gilt dann: |
− | + | :$$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm} | |
− | \cdot 10^{- | + | \Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) = \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3} \hspace{0.15cm}\underline{= 32 |
+ | \cdot 10^{-6}}.$$ | ||
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+ | '''(4)''' Der Empfängerfrequenzgang lautet für $|f \cdot T| \le 1$: | ||
:$$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T | :$$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T | ||
/2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$ | /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$ | ||
− | + | *Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt: | |
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:$$H_{\rm E}(f = 0) = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$ | :$$H_{\rm E}(f = 0) = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$ | ||
− | :$$H_{\rm E}(f = | + | :$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2} |
= \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$ | = \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$ | ||
− | :$$H_{\rm E}(f = | + | :$$H_{\rm E}(f = {1}/{T}) = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$ |
− | + | Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich $H_{\rm S}(f) \ge H(f) $ gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden. Das haben wir auch gemacht, nur nicht in dieser Musterlösung. | |
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− | [[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 | + | [[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]] |
Aktuelle Version vom 13. September 2021, 10:27 Uhr
Bei der Untersuchung von Digitalsystemen geht man häufig von einem diracförmigen Eingangssignal $x(t) = T \cdot \delta(t)$ aus, so dass $X(f) = T$ gilt.
Das Ausgangsspektrum $Y(f)$ ist dann formgleich mit dem Gesamtfrequenzgang von Sende– und Empfangsfilter:
- $$H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$
Dieser Frequenzgang wird häufig als $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):
- Für $f \cdot T \ge 1$ ist $H(f) = 0$.
- Im inneren Bereich gilt $H(f) = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2} ) .$
Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite $\Delta f = 1/{\Delta t}$ ist. Damit erhält man für die äquivalente ${\Delta t}$ der Impulsantwort ebenfalls $T$ und und es gilt:
- $$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2}.$$
Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal $y(t)$ im Gegensatz zur Impulsantwort $h(t)$ ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:
- $$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \big[ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right) \big)+ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right) \big)\big].$$
Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.
Für die Teilaufgabe (3) soll vorausgesetzt werden, dass das Signal $s(t)$ in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen $H_{\rm S}(f)$ und $H_{\rm S}(f)$ ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:
- $$H_{\rm E}(f) = {\rm si }(\pi f T ) .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Cosinus–Rolloff–Tiefpass.
- Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet Frequenzgang und Impulsantwort überprüfen.
Fragebogen
Musterlösung
- Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
- $$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right] {\pi}/{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = {\pi}/{2} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
- $$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}{\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\rm si}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right] \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
(2) Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:
- $$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \big[ {\rm si}(\pi)+ {\rm si}(0)\big].$$
- Mit ${\rm si}(0) = 1$ und ${\rm si}(\pi) = 0$ erhält man so:
- $$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$
- In analoger Weise ergibt sich für $t = 1.5T$:
- $$y(t = 1.5T) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[ {\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
- Hierbei ist ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$ berücksichtigt.
- Auch zu den Zeiten $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$ gilt $y(t) = 0$, wie obige Grafik zeigt.
(3) Für große Werte von $t$ gilt näherungsweise (wenn man die „1” im Nenner vernachlässigt):
- $$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2} \approx \frac {\sin(\pi \cdot t / T )\cdot \cos(\pi \cdot t / T )}{ - (\pi \cdot t/T )(2 \cdot t/T )^2} = - \frac {\sin(2\pi \cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$
- Hierbei ist berücksichtigt, dass $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$ ist.
- Zum Zeitpunkt $t = 10.75 T$ gilt dann:
- $$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) = \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3} \hspace{0.15cm}\underline{= 32 \cdot 10^{-6}}.$$
(4) Der Empfängerfrequenzgang lautet für $|f \cdot T| \le 1$:
- $$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$
- Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:
- $$H_{\rm E}(f = 0) = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$
- $$H_{\rm E}(f = {0.5}/T \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$
- $$H_{\rm E}(f = {1}/{T}) = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich $H_{\rm S}(f) \ge H(f) $ gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden. Das haben wir auch gemacht, nur nicht in dieser Musterlösung.