Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 9. Juli 2021, 15:53 Uhr

Dämpfungs– & Phasenfunktion

Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend Aufgabe 1.1 – hat folgenden Frequenzgang:

$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$

Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter

oben der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$,
unten der Phasenverlauf $b_1(f)$.

Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:

$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$

In dieser Aufgabe sollen

ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ für den Tiefpass erster Ordnung
der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden.

Allgemein gilt:

$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systembeschreibung im Frequenzbereich.

Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:

$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln (10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$

Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten:

$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$

Fragebogen

$a_1(f = f_0)\ = \ $

$\text{dB}$

$a_1(f = 2f_0)\ = \ $

$\text{dB}$

$b_1(f = f_0)\ = \ $

$\text{rad}$

$b_1(f = 2f_0)\ = \ $

$\text{rad}$

$a_2(f = f_0)\ = \ $

$\text{dB}$

$a_2(f = -2f_0)\ = \ $

$\text{dB}$

$b_2(f = f_0)\ = \ $

$\text{rad}$

$b_2(f = -2f_0)\ = \ $

$\text{rad}$

Musterlösung

(1) Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:

$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$

Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):

$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \Rightarrow a_1(f = f_0) = 0.3466 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.8047 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$

Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit $1/0.11513 = 8.68589$ und führt zu den Ergebnissen

$ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$ für $ f = f_0$,
$ \underline{6.99 \: {\rm dB}≈ 7 \: {\rm dB}}$ für $ f = 2f_0$.

Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} \approx f_0$.

(2) Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:

$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$

Damit ergibt sich für den Phasengang:

$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$

Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, und für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.

(3) Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt:

$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$

Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe:

$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$

Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:

$$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$

Die dB–Werte lauten nun:

$ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$,
$\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$.

Damit ist offensichtlich, dass für $n > 1$ der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt.
Für $n = 2$ ⇒ „Tiefpass zweiter Ordnung” gilt vielmehr der Zusammenhang:

$${f_{\rm G} } = {f_0}/\sqrt{2}.$$

(4) Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:

$$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$

Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist

$b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
$b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.

Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}
-==Z1.1 Tiefpass 1. und 2. Ordnung==
+[[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png|Dämpfungs– & Phasenfunktion|right|frame]]
-[[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png | Dämpfungs– und Phasenfunktion (Aufgabe Z1.1) |right|]]
+Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend&nbsp; [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]]&nbsp; – hat folgenden Frequenzgang:
-Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend der Aufgabe A1.1 – hat den folgenden Frequenzgang:
+:$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
-$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
+Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter
-Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. Der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ und der Phasenverlauf $b_1(f)$ dieses Filters sind in der Grafik dargestellt.
+* oben der Dämpfungsverlauf &nbsp;$a_1(f)$,
+* unten der Phasenverlauf &nbsp;$b_1(f)$.
-Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
-$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$
-In dieser Aufgabe sollen – ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung – der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines solchen Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden. Allgemein gilt:
-$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\cdot b(f)}.$$
+Entsprechend gilt für einen Tiefpass&nbsp; $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
+:$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$
-'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Kapitel 1.1]]. Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:
-$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln
+In dieser Aufgabe sollen
+*ausgehend von den Funktionen&nbsp; $a_1(f)$&nbsp; und&nbsp; $b_1(f)$&nbsp; für den Tiefpass erster Ordnung
+*der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden.
+Allgemein gilt:
+:$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$
+''Hinweise:''
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
+*Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes&nbsp; $|H| = 1/x$&nbsp; besteht folgender Zusammenhang:
+:$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln
 (10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
-Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten:
+*Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen&nbsp; $z_1$&nbsp; und&nbsp; $z_2$&nbsp; folgende Gleichungen gelten:
-$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
+:$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung in dB. Welche dB–Werte ergeben sich bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$?
+{Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf&nbsp; $a_1(f)$&nbsp; eines Tiefpasses erster Ordnung in&nbsp; $\rm dB$. <br>Welche&nbsp; $\rm dB$–Werte ergeben sich bei&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = 2f_0$?
 |type="{}"}
-$a_1(f = f_0)$ = { 3.01 5% } dB
+$a_1(f = f_0)\ = \ $  { 3.01 5% } &nbsp;$\text{dB}$
-$a_1(f = 2f_0)$ = { 6.99 5% } dB
+$a_1(f = 2f_0)\ = \ $  { 6.99 5% } &nbsp;$\text{dB}$
-{Berechnen Sie den Phasenverlauf $b_1(f)$. Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$?
+{Berechnen Sie den Phasenverlauf&nbsp; $b_1(f)$. <br>Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = 2f_0$?
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-$b_1(f = f_0)$ = { 0.786 5% } rad
+$b_1(f = f_0)\ = \ $  { 0.786 5% } &nbsp;$\text{rad}$
-$b_1(f = 2f_0)$ = { 1.108 5% } rad
+$b_1(f = 2f_0)\ = \ $  { 1.108 5% } &nbsp;$\text{rad}$
-{Welchen Dämpfungsverlauf $a_n(f)$ hat ein Tiefpass $n$–ter Ordnung? Welche dB–Werte erhält man mit $n =$ 2 für $f = f_0$ bzw. $f = \: –2f_0$?
+{Welchen Dämpfungsverlauf&nbsp; $a_n(f)$&nbsp; hat ein Tiefpass&nbsp; $n$–ter Ordnung? <br>Welche&nbsp; $\rm dB$–Werte erhält man mit&nbsp; $n = 2$&nbsp; für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $f = \: –2f_0$?
 |type="{}"}
-$a_2(f = f_0)$ = { 6.02 5% } dB
+$a_2(f = f_0)\ = \ $  { 6.02 5% } &nbsp;$\text{dB}$
-$a_2(f = -2f_0)$ = { 13.98 5% } dB
+$a_2(f = -2f_0)\ = \ $  { 13.98 5% } &nbsp;$\text{dB}$
-{Berechnen Sie die Phasenfunktion $b_2(f)$ eines Tiefpasses zweiter Ordnung. Welche Werte (in Radian) erhält man für $f = f_0$ und $f = \: –2f_0$?
+{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $b_2(f)$&nbsp; eines Tiefpasses zweiter Ordnung. <br>Welche Werte (in Radian) erhält man für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = \: –2f_0$?
 |type="{}"}
-$b_2(f = f_0)$ = { 1.571 5% } rad
+$b_2(f = f_0)\ = \ $  { 1.571 5% } &nbsp;$\text{rad}$
-$b_2(f = -2f_0)$ = { -2.22--2.21  } rad
+$b_2(f = -2f_0)\ = \ $  { -2.23--2.20  } &nbsp;$\text{rad}$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:
+'''(1)'''&nbsp; Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:
-$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
+:$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
-Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper:
+*Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):
-$$\begin{align*}a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} & = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \\ \Rightarrow a_1(f = f_0) & = 0.34657 \hspace{0.05 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) =
+:$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right]  \Rightarrow  a_1(f = f_0) = 0.3466 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.8047 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$
-.804719 \hspace{0.05 cm}{\rm Np}.\end{align*}$$
+Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit&nbsp;  $1/0.11513 = 8.68589$&nbsp; und führt zu den Ergebnissen
-Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit 1/0.115 = 8.68589 und führt zu den Ergebnissen $\rm \underline{3.01 \: dB ≈ 3 \: dB} \: (f = f_0)$ und $\rm \underline{6.99 \: dB} \: (f = 2f_0)$. Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_0$.
+*$ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $ f = f_0$,
+*$ \underline{6.99 \: {\rm dB}≈ 7 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $ f = 2f_0$.
+Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} \approx f_0$.
+'''(2)'''&nbsp; Der Frequenzgang&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:
+:$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
+*Damit ergibt sich für den Phasengang:
+:$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$
+*Für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; erhält man&nbsp; $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, und für&nbsp; $f = 2f_0$&nbsp; den Wert&nbsp; $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.
+'''(3)'''&nbsp; Für den Amplitudengang eines Tiefpasses&nbsp; $n$–ter Ordnung gilt:
+:$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$
+Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der&nbsp; $n$–fachen Multiplikation die&nbsp; $n$–fache Summe:
+:$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)=  {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$
+Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:
+:$$a_2(f) =   \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$
+Die dB–Werte lauten nun:
+*$ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $f = ±f_0$,
+*$\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $f = ±2f_0$.
-'''2.''' Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:
+Damit ist offensichtlich, dass für&nbsp; $n > 1$&nbsp; der Parameter&nbsp; $f_0$&nbsp; nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt. <br>Für&nbsp; $n = 2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Tiefpass zweiter Ordnung&rdquo; gilt vielmehr der Zusammenhang: &nbsp;
-$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
+:$${f_{\rm G} } =  {f_0}/\sqrt{2}.$$
-Damit ergibt sich für den Phasengang:
-$$b_1(f) = - \arctan \frac{ {\rm Im} }{ {\rm Re} } = \arctan \frac{f}{f_0}.$$
-Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.
-'''3.''' Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt:
+'''(4)'''&nbsp; Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:
-$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$
+:$$b_n(f) =   n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) =   2 \cdot b_1(f).$$
-Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe:
+Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen&nbsp; $±π$&nbsp; möglich. Insbesondere ist
-$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)=  {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]$$
+*$b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
-und speziell für den Tiefpass zweiter Ordnung:
+* $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.
-$$a_2(f) =   \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$
-Die dB–Werte lauten nun $\rm \underline{6.02 \: dB ≈ 6 \: dB} \: (f = ±f_0)$ und $\rm \underline{13.98 \: dB}$ (für $f = ±2f_0$). Damit ist offensichtlich, dass für $n$ > 1 der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz angibt. Vielmehr gilt für $n = 2: {f_{\rm G} }^2 = {f_0}^2/2$.
-'''5.''' Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:
+Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: &nbsp;  $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.
-$$b_n(f) =   n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) =   2 \cdot b_1(f).$$
-Bei einem Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist $b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$ und $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$. Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.
 {{ML-Fuß}}