Aufgaben:Aufgabe 3.4Z: Verschiedene Allpässe: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1766__LZI_Z_3_4.png|right|]]
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[[Datei:P_ID1766__LZI_Z_3_4.png|right|frame|Allpass in zwei Darstellungen <br> &nbsp; &nbsp; $Z_{\rm I}$:&nbsp; Innenwiderstand der Quelle <br> &nbsp; &nbsp; $Z_{\rm A}$:&nbsp; Abschlusswiderstand]]
:Wir gehen zunächst von einem Vierpol mit der folgenden Übertragungsfunktion aus:
+
Wir gehen zunächst von einem Vierpol mit der folgenden Übertragungsfunktion aus:
 
:$$H_{\rm L}(p)=  \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}.$$
 
:$$H_{\rm L}(p)=  \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}.$$
:Aus dieser soll der herkömmliche Fourier&ndash;Frequenzgang
+
Ermittelt werden soll aus dieser der herkömmliche Fourier&ndash;Frequenzgang
:$$H(f) =  {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$$
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:$$H(f) =  {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)},$$
:ermittelt werden, der sich durch die Dämpfungsfunktion <i>a</i>(<i>f</i>) und die Phasenfunktion <i>b</i>(<i>f</i>) darstellen lässt.
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darstellbar durch  
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*die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp;
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*und die Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$.
  
:Die obere Grafik zeigt eine so genannte Allpass&ndash;Schaltung, wobei der komplexe Widerstand <i>Z</i><sub>1</sub> eine Induktivität und <i>Z</i><sub>2</sub> eine Kapazität bezeichnet:
+
 
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Die obere Grafik zeigt eine so genannte&nbsp; '''Allpass'''&ndash;Schaltung,&nbsp; wobei der komplexe Widerstand &nbsp;$Z_1$&nbsp; eine Induktivität und der komplexe Widerstand &nbsp;$Z_2$&nbsp; eine Kapazität bezeichnet:
 
:$$Z_1 = p \cdot L\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}Z_2 = \frac{1}{p \cdot C}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$Z_1 = p \cdot L\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}Z_2 = \frac{1}{p \cdot C}\hspace{0.05cm}.$$
:Bei reflexionsfreier Anpassung am Eingang und Ausgang mit
+
Bei reflexionsfreier Anpassung am Eingang und Ausgang mit
 
:$$Z_{\rm I}=Z_{\rm A} = \sqrt{Z_1 \cdot Z_2} = \sqrt{{L}/{C}}$$
 
:$$Z_{\rm I}=Z_{\rm A} = \sqrt{Z_1 \cdot Z_2} = \sqrt{{L}/{C}}$$
:gilt für die <i>p</i>&ndash;Übertragungsfunktion der Schaltung <b>A</b> (siehe obere Grafik):
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gilt für die&nbsp; $p$&ndash;Übertragungsfunktion der Schaltung&nbsp; $\rm A$&nbsp; (siehe obere Grafik):
 
:$$H_{\rm L}(p)=  \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}=  \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$H_{\rm L}(p)=  \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}=  \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}\hspace{0.05cm}.$$
:Die Schaltung <b>B</b> ist durch die <i>p</i>&ndash;Übertragungsfunktion festgelegt. Sie ist dadurch charakterisiert, dass alle Pole (in der linken <i>p</i>&ndash;Halbebene) spiegelbildlich zu den Nullstellen (in der rechten Halbebene) liegen.
 
  
:<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.2.
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Die Schaltung &nbsp;$\rm B$&nbsp; ist durch die &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion festgelegt.&nbsp; Sie ist dadurch charakterisiert, dass
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*alle Pole&nbsp; (in der linken&nbsp; $p$&ndash;Halbebene)&nbsp; spiegelbildlich
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* zu den Nullstellen&nbsp; (in der rechten Halbebene)&nbsp; liegen.
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Hinweis:  
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Geben Sie die Nullstelle <i>p</i><sub>o</sub> und den Pol <i>p</i><sub>x</sub> von <i>H</i><sub>L</sub>(<i>p</i>) = (1 &ndash; <i>p</i>/<i>A</i>) / (1 + <i>p</i>/<i>A</i>) an. Wie groß ist der konstante Faktor <i>K</i>?
+
{Geben Sie die Nullstelle &nbsp;$p_{\rm o}$&nbsp; und den Pol &nbsp;$p_{\rm x}$&nbsp; von &nbsp;$H_{\rm L}(p)= (1 -p/A)/(1 +p/A)$&nbsp; an. &nbsp;Wie groß ist der konstante Faktor&nbsp; $K$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$K$ = - { 1 3% }
+
$K \ = \ $   { -1.03--0.97 }
$p_o$ = { 1 3% } $\cdot A$
+
$p_{\rm o} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot A$
$p_x$ = - { 1 3% } $\cdot A$
+
$p_{\rm x} \ = \ $ { -1.03--0.97 } $\ \cdot A$
  
  
{Berechnen Sie die Dämpfungsfunktion <i>a</i>(<i>f</i>). Welche Aussagen treffen zu?
+
{Berechnen Sie die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Die Dämpfungsfunktion <i>a</i>(<i>f</i>) zeigt Tiefpassverhalten.
+
- Die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; zeigt Tiefpassverhalten.
+ Die Dämpfungsfunktion <i>a</i>(<i>f</i>) ist konstant.
+
+ Die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; ist konstant.
+ Das obige Ergebnis gilt allgemein für <i>p</i><sub>x</sub> = &ndash; <i>p</i><sub>o</sub>.
+
+ Das obige Ergebnis gilt allgemein für &nbsp;$p_{\rm x= - p_{\rm o}$.
  
  
{Berechnen Sie den Phasenverlauf <i>b</i>(<i>f</i>). Welche Phasenwerte ergeben sich für 2&pi;<i>f</i> = <i>A</i>, 2&pi;<i>f</i> = 2<i>A</i> und 2&pi;<i>f</i> &#8594; &#8734;?
+
{Berechnen Sie den Phasenverlauf &nbsp;$b(f)$.&nbsp; Welche Phasenwerte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$b(f = A/2 \pi)$ = { 90 3% } $Grad$
+
$b(f = A/2 \pi) \ = \ $ { 90 3% } $\ \rm Grad$
$b(f = A/ \pi)$ = { 126.8 3% } $Grad$
+
$b(f = A/ \pi)\ = \ $ { 126.8 3% } $ \rm Grad$
$b(f &#8594; &#8734;)$ = { 180 3% } $Grad$
+
$b(f &#8594; &#8734;) \ = \ $ { 180 3% } $ \rm Grad$
  
  
{Berechnen Sie die <i>p</i>&ndash;Übertragungsfunktion von Schaltung <b>A</b>. Welche Aussagen lassen sich daraus ableiten?
+
{Berechnen Sie die &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion von Schaltung &nbsp;$\rm A$.&nbsp; Welche Aussagen lassen sich daraus ableiten?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Die Dämpfung <i>a</i>(<i>f</i>) ist konstant gleich 0 (Np).
+
+ Die Dämpfung &nbsp;$a(f)$&nbsp; ist konstant gleich&nbsp; $0 \ \rm (Np)$.
- Die Phase <i>b</i>(<i>f</i>) steigt linear mit der Frequenz <i>f</i> an.
+
- Die Phase &nbsp;$b(f)$&nbsp; steigt linear mit der Frequenz &nbsp;$f$&nbsp; an.
- <i>b</i>(<i>f</i>) ist die Hilbert&ndash;Transformierte von <i>a</i>(<i>f</i>).
+
- $b(f)$&nbsp; ist die Hilbert&ndash;Transformierte von &nbsp;$a(f)$.
  
  
{Welche Aussagen können aus dem Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramm von Schaltung <b>B</b> abgeleitet werden?
+
{Welche Aussagen können aus dem Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramm von Schaltung &nbsp;$\rm B$&nbsp; abgeleitet werden?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Die Dämpfung <i>a</i>(<i>f</i>) ist konstant.
+
+ Die Dämpfung &nbsp;$a(f)$&nbsp; ist konstant.
+ Die Phasenfunktion <i>b</i>(<i>f</i>) hat bei <i>f</i> = 0 den Wert 0.
+
+ Für die Phasenfunktion gilt  &nbsp;$b(f =0) =0$.
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Durch Umformung der angegebenen <i>p</i>&ndash;Übertragungsfunktion ergibt sich
+
'''(1)'''&nbsp; Durch Umformung der angegebenen &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion ergibt sich
 
:$$H_{\rm L}(p)=  \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm  o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm}
 
:$$H_{\rm L}(p)=  \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm  o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm}
 
\hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm  x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$
 
\hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm  x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Setzt man <i>p</i> = j &middot; 2&pi;<i>f</i>, so erhält man:
+
 
 +
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Aussagen 2 und 3</u>:
 +
*Setzt man &nbsp;$p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:
 
:$$H(f)=  \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it
 
:$$H(f)=  \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A}\hspace{0.05cm} .$$
 
  f}/A}\hspace{0.05cm} .$$
:Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge:
+
*Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge:
 
:$$|H(f)|=  \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi
 
:$$|H(f)|=  \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi
 
  f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A|}=  \frac {\sqrt{1+(2\pi
 
  f}/A|}=  \frac {\sqrt{1+(2\pi
 
  f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi
 
  f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi
  f/A)^2}}= 1$$
+
  f/A)^2}}= 1\hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm  Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$
+
\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm  Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$
:Richtig ist somit die <u>Aussage 2</u>. Auch die <u>Aussage 3</u> ist richtig, wie aus der Theorieseite Grafische Ermittlung der Dämpfung zu ersehen ist.
+
*Aber auch die &nbsp;$\text{Aussage 3}$&nbsp; ist richtig, wie aus der Theorieseite &bdquo;Grafische Ermittlung der Dämpfung&rdquo; zu ersehen ist.
 +
 
 +
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Die Phasenfunktion <i>b</i>(<i>f</i>) kann wie folgt berechnet werden:
+
'''(3)'''&nbsp; Die Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$&nbsp; kann wie folgt berechnet werden:
:$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm}\frac {2\pi
+
:$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi
  f}{A} - {\rm arctan } \hspace{0.1cm}\frac {-2\pi
+
  f}/{A}) - {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({-2\pi
  f}{A} = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}\frac {2\pi
+
  f}/{A}) = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi
  f}{A}:\\
+
  f}/{A}),$$
b(f= \frac{A}{2\pi})\hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}2 \cdot {\rm arctan }
+
:$$b(f= {A}/{2\pi})= 2 \cdot {\rm arctan }
  \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ\hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm}
+
  \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ \hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm},$$
,\\
+
:$$ b(f= {A}/{\pi})=2 \cdot {\rm arctan }
b(f= \frac{A}{\pi})\hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}2 \cdot {\rm arctan }
 
 
  \hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm}
 
  \hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm}
  ,\\
+
  ,$$
b(f \rightarrow \infty)\hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}2 \cdot {\rm arctan }
+
:$$ b(f \rightarrow \infty)=2 \cdot {\rm arctan }
 
  \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm}
 
  \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm}
 
  .$$
 
  .$$
:Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise entsprechend der Seite Grafische Ermittlung der Phase im Theorieteil.
+
*Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise nach der Seite &bdquo;Grafische Ermittlung der Phase&rdquo;  im Theorieteil.
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Die angegebene <i>p</i>&ndash;Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:
+
 
:$$H_{\rm L}(p)\hspace{0.25cm} \hspace{0.2cm}  \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}=\\
+
 
  \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm}  \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}=
+
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>Aussage 1</u>:
 +
*Die angegebene &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:
 +
:$$H_{\rm L}(p)=  \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}=
 +
  \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}=
 
  \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$
 
  \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$
:Mit <i>Z</i><sub>1</sub> = <i>p</i> &middot; <i>L</i> und <i>Z</i><sub>2</sub> = 1/(<i>pC</i>) erhält man weiter:
+
*Mit &nbsp;$Z_1 = p \cdot L$&nbsp; und &nbsp;$Z_2 = 1/(p \cdot C)$&nbsp; erhält man weiter:
 
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}}
 
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}}
 
  = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}}
 
  = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}}
  = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}$$
+
  = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}\hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$
+
\Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$
:Es ergibt sich die genau gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe 1) berechnet. Daraus folgt, dass nur die <u>Aussage 1</u> richtig ist:
 
 
 
:<ul class="liste_ohne"><li>Der Dämpfungsverlauf ist <i>a</i>(<i>f</i>) = 0 (Np). Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem &bdquo;Allpass&rdquo;.
 
 
 
:<ul class="liste_ohne"><li>Die zweite Aussage ist falsch. Der Phasenverlauf <i>b</i>(<i>f</i>) ist nicht linear, sondern vielmehr wie in der Teilaufgabe 3) berechnet.
 
  
:<ul class="liste_ohne"><li>Die Hilbert&ndash;Transformierte der Konstanten <i>a</i>(<i>f</i>) = 0 müsste zur Phasenfunktion <i>b</i>(<i>f</i>) = 0 führen, wie in Kapitel 3.1 gezeigt. Das heißt, dass die Aussage 3 falsch ist.
+
*Es ergibt sich die gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechnet.  
  
:<ul class="liste_ohne"><li>Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion <i>a</i>(<i>f</i>) und Phasenfunktion <i>b</i>(<i>f</i>) über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen.
 
  
:<ul class="liste_ohne"><li>Bei einem solchen Minimum&ndash;Phasen&ndash;System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken <i>p</i>&ndash;Halbebene, was hier nicht zutrifft &nbsp;&#8658;&nbsp; ein Allpass ist kein Minimum&ndash;Phasen&ndash;System.
+
Daraus folgt, dass nur die&nbsp; <u>Aussage 1</u>&nbsp; richtig ist:
 +
*Der Dämpfungsverlauf ist &nbsp;$a(f) = 0\ \rm  (Np)$.&nbsp; Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt.&nbsp; Man spricht deshalb auch von einem &bdquo;Allpass&rdquo;.
 +
*Die zweite Aussage ist falsch.&nbsp; Der Phasenverlauf &nbsp;$b(f)$&nbsp; ist nicht linear, sondern vielmehr gekrümmt, wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnet.
 +
*Die Hilbert&ndash;Transformierte der Konstanten &nbsp;$a(f) = 0$&nbsp; müsste zur Phasenfunktion &nbsp;$b(f) = 0$&nbsp;  führen,&nbsp; wie im Theorieteil gezeigt.&nbsp; Das heißt:&nbsp; die Aussage 3 ist falsch.
 +
*Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; und Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$&nbsp; über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen.
 +
*Bei einem solchen Minimum&ndash;Phasen&ndash;System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$&ndash;Halbebene, was hier nicht zutrifft &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; ein Allpass ist kein Minimum&ndash;Phasen&ndash;System.
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;<u>Beide Aussagen</u> sind richtig. Wie bereits in der Teilaufgabe 2) festgestellt wurde, ergibt sich dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken <i>p</i>&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt &nbsp;&#8658;&nbsp; die Schaltung <b>B</b> zeigt ebenfalls Allpass&ndash;Charakteristik.
 
  
:Da <i>b</i>(<i>f</i>) stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt <i>b</i>(<i>f</i> = 0) = 0 ganz allgemein, das heißt für jede Spektralfunktion <i>H</i>(<i>f</i>), deren Fourier&ndash;Rücktransformierte reell ist.
+
'''(5)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
 +
*Wie bereits in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt &nbsp; &#8658; &nbsp; die Schaltung&nbsp; $\rm B$&nbsp; zeigt ebenfalls Allpass&ndash;Charakteristik.
 +
*Da &nbsp;$b(f)$&nbsp; stets eine unsymmetrische Funktion ist,&nbsp; gilt &nbsp;$b(f= 0) = 0$&nbsp; ganz allgemein.
 +
* Das heißt:&nbsp; Für jede Spektralfunktion &nbsp;$H(f)$,&nbsp; deren Fourier&ndash;Rücktransformierte&nbsp; (&bdquo;Impulsantwort&rdquo;) &nbsp;reell ist.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^3.2 Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion^]]
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^3.2 Laplace–Transformation^]]

Aktuelle Version vom 15. Oktober 2021, 16:08 Uhr

Allpass in zwei Darstellungen
    $Z_{\rm I}$:  Innenwiderstand der Quelle
    $Z_{\rm A}$:  Abschlusswiderstand

Wir gehen zunächst von einem Vierpol mit der folgenden Übertragungsfunktion aus:

$$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}.$$

Ermittelt werden soll aus dieser der herkömmliche Fourier–Frequenzgang

$$H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)},$$

darstellbar durch

  • die Dämpfungsfunktion  $a(f)$ 
  • und die Phasenfunktion  $b(f)$.


Die obere Grafik zeigt eine so genannte  Allpass–Schaltung,  wobei der komplexe Widerstand  $Z_1$  eine Induktivität und der komplexe Widerstand  $Z_2$  eine Kapazität bezeichnet:

$$Z_1 = p \cdot L\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}Z_2 = \frac{1}{p \cdot C}\hspace{0.05cm}.$$

Bei reflexionsfreier Anpassung am Eingang und Ausgang mit

$$Z_{\rm I}=Z_{\rm A} = \sqrt{Z_1 \cdot Z_2} = \sqrt{{L}/{C}}$$

gilt für die  $p$–Übertragungsfunktion der Schaltung  $\rm A$  (siehe obere Grafik):

$$H_{\rm L}(p)= \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}\hspace{0.05cm}.$$

Die Schaltung  $\rm B$  ist durch die  $p$–Übertragungsfunktion festgelegt.  Sie ist dadurch charakterisiert, dass

  • alle Pole  (in der linken  $p$–Halbebene)  spiegelbildlich
  • zu den Nullstellen  (in der rechten Halbebene)  liegen.



Hinweis:


Fragebogen

1

Geben Sie die Nullstelle  $p_{\rm o}$  und den Pol  $p_{\rm x}$  von  $H_{\rm L}(p)= (1 -p/A)/(1 +p/A)$  an.  Wie groß ist der konstante Faktor  $K$?

$K \ = \ $

$p_{\rm o} \ = \ $

$\ \cdot A$
$p_{\rm x} \ = \ $

$\ \cdot A$

2

Berechnen Sie die Dämpfungsfunktion  $a(f)$.  Welche Aussagen treffen zu?

Die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  zeigt Tiefpassverhalten.
Die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  ist konstant.
Das obige Ergebnis gilt allgemein für  $p_{\rm x} = - p_{\rm o}$.

3

Berechnen Sie den Phasenverlauf  $b(f)$.  Welche Phasenwerte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?

$b(f = A/2 \pi) \ = \ $

$\ \rm Grad$
$b(f = A/ \pi)\ = \ $

$ \rm Grad$
$b(f → ∞) \ = \ $

$ \rm Grad$

4

Berechnen Sie die  $p$–Übertragungsfunktion von Schaltung  $\rm A$.  Welche Aussagen lassen sich daraus ableiten?

Die Dämpfung  $a(f)$  ist konstant gleich  $0 \ \rm (Np)$.
Die Phase  $b(f)$  steigt linear mit der Frequenz  $f$  an.
$b(f)$  ist die Hilbert–Transformierte von  $a(f)$.

5

Welche Aussagen können aus dem Pol–Nullstellen–Diagramm von Schaltung  $\rm B$  abgeleitet werden?

Die Dämpfung  $a(f)$  ist konstant.
Für die Phasenfunktion gilt  $b(f =0) =0$.


Musterlösung

(1)  Durch Umformung der angegebenen  $p$–Übertragungsfunktion ergibt sich

$$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$


(2)  Richtig sind die  Aussagen 2 und 3:

  • Setzt man  $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:
$$H(f)= \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A}\hspace{0.05cm} .$$
  • Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge:
$$|H(f)|= \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A|}= \frac {\sqrt{1+(2\pi f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi f/A)^2}}= 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$
  • Aber auch die  $\text{Aussage 3}$  ist richtig, wie aus der Theorieseite „Grafische Ermittlung der Dämpfung” zu ersehen ist.


(3)  Die Phasenfunktion  $b(f)$  kann wie folgt berechnet werden:

$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi f}/{A}) - {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({-2\pi f}/{A}) = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi f}/{A}),$$
$$b(f= {A}/{2\pi})= 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ \hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm},$$
$$ b(f= {A}/{\pi})=2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm} ,$$
$$ b(f \rightarrow \infty)=2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm} .$$
  • Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise nach der Seite „Grafische Ermittlung der Phase” im Theorieteil.


(4)  Richtig ist nur die Aussage 1:

  • Die angegebene  $p$–Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:
$$H_{\rm L}(p)= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}= \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}= \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Mit  $Z_1 = p \cdot L$  und  $Z_2 = 1/(p \cdot C)$  erhält man weiter:
$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}} = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}} = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$
  • Es ergibt sich die gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe  (1)  berechnet.


Daraus folgt, dass nur die  Aussage 1  richtig ist:

  • Der Dämpfungsverlauf ist  $a(f) = 0\ \rm (Np)$.  Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt.  Man spricht deshalb auch von einem „Allpass”.
  • Die zweite Aussage ist falsch.  Der Phasenverlauf  $b(f)$  ist nicht linear, sondern vielmehr gekrümmt, wie in der Teilaufgabe  (3)  berechnet.
  • Die Hilbert–Transformierte der Konstanten  $a(f) = 0$  müsste zur Phasenfunktion  $b(f) = 0$  führen,  wie im Theorieteil gezeigt.  Das heißt:  die Aussage 3 ist falsch.
  • Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  und Phasenfunktion  $b(f)$  über die Hilbert–Transformation zusammen.
  • Bei einem solchen Minimum–Phasen–System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$–Halbebene, was hier nicht zutrifft  
    ⇒   ein Allpass ist kein Minimum–Phasen–System.


(5)  Beide Aussagen sind richtig:

  • Wie bereits in der Teilaufgabe  (2)  festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt   ⇒   die Schaltung  $\rm B$  zeigt ebenfalls Allpass–Charakteristik.
  • Da  $b(f)$  stets eine unsymmetrische Funktion ist,  gilt  $b(f= 0) = 0$  ganz allgemein.
  • Das heißt:  Für jede Spektralfunktion  $H(f)$,  deren Fourier–Rücktransformierte  („Impulsantwort”)  reell ist.