Aufgaben:Aufgabe 3.4Z: Verschiedene Allpässe: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:P_ID1766__LZI_Z_3_4.png|right|]] | + | [[Datei:P_ID1766__LZI_Z_3_4.png|right|frame|Allpass in zwei Darstellungen <br> $Z_{\rm I}$: Innenwiderstand der Quelle <br> $Z_{\rm A}$: Abschlusswiderstand]] |
− | + | Wir gehen zunächst von einem Vierpol mit der folgenden Übertragungsfunktion aus: | |
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}.$$ | :$$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}.$$ | ||
− | + | Ermittelt werden soll aus dieser der herkömmliche Fourier–Frequenzgang | |
− | :$$H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$$ | + | :$$H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)},$$ |
− | + | darstellbar durch | |
+ | *die Dämpfungsfunktion $a(f)$ | ||
+ | *und die Phasenfunktion $b(f)$. | ||
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+ | Die obere Grafik zeigt eine so genannte '''Allpass'''–Schaltung, wobei der komplexe Widerstand $Z_1$ eine Induktivität und der komplexe Widerstand $Z_2$ eine Kapazität bezeichnet: | ||
:$$Z_1 = p \cdot L\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}Z_2 = \frac{1}{p \cdot C}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$Z_1 = p \cdot L\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}Z_2 = \frac{1}{p \cdot C}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | Bei reflexionsfreier Anpassung am Eingang und Ausgang mit | |
:$$Z_{\rm I}=Z_{\rm A} = \sqrt{Z_1 \cdot Z_2} = \sqrt{{L}/{C}}$$ | :$$Z_{\rm I}=Z_{\rm A} = \sqrt{Z_1 \cdot Z_2} = \sqrt{{L}/{C}}$$ | ||
− | + | gilt für die $p$–Übertragungsfunktion der Schaltung $\rm A$ (siehe obere Grafik): | |
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$H_{\rm L}(p)= \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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− | + | Die Schaltung $\rm B$ ist durch die $p$–Übertragungsfunktion festgelegt. Sie ist dadurch charakterisiert, dass | |
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+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]]. | ||
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− | {Geben Sie die Nullstelle | + | {Geben Sie die Nullstelle $p_{\rm o}$ und den Pol $p_{\rm x}$ von $H_{\rm L}(p)= (1 -p/A)/(1 +p/A)$ an. Wie groß ist der konstante Faktor $K$? |
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− | $K$ | + | $K \ = \ $ { -1.03--0.97 } |
− | $ | + | $p_{\rm o} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot A$ |
− | $ | + | $p_{\rm x} \ = \ $ { -1.03--0.97 } $\ \cdot A$ |
− | {Berechnen Sie die Dämpfungsfunktion | + | {Berechnen Sie die Dämpfungsfunktion $a(f)$. Welche Aussagen treffen zu? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - Die Dämpfungsfunktion | + | - Die Dämpfungsfunktion $a(f)$ zeigt Tiefpassverhalten. |
− | + Die Dämpfungsfunktion | + | + Die Dämpfungsfunktion $a(f)$ ist konstant. |
− | + Das obige Ergebnis gilt allgemein für | + | + Das obige Ergebnis gilt allgemein für $p_{\rm x} = - p_{\rm o}$. |
− | {Berechnen Sie den Phasenverlauf | + | {Berechnen Sie den Phasenverlauf $b(f)$. Welche Phasenwerte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $b(f = A/2 \pi)$ | + | $b(f = A/2 \pi) \ = \ $ { 90 3% } $\ \rm Grad$ |
− | $b(f = A/ \pi)$ | + | $b(f = A/ \pi)\ = \ $ { 126.8 3% } $ \rm Grad$ |
− | $b(f → ∞)$ | + | $b(f → ∞) \ = \ $ { 180 3% } $ \rm Grad$ |
− | {Berechnen Sie die | + | {Berechnen Sie die $p$–Übertragungsfunktion von Schaltung $\rm A$. Welche Aussagen lassen sich daraus ableiten? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Die Dämpfung | + | + Die Dämpfung $a(f)$ ist konstant gleich $0 \ \rm (Np)$. |
− | - Die Phase | + | - Die Phase $b(f)$ steigt linear mit der Frequenz $f$ an. |
− | - | + | - $b(f)$ ist die Hilbert–Transformierte von $a(f)$. |
− | {Welche Aussagen können aus dem Pol–Nullstellen–Diagramm von Schaltung | + | {Welche Aussagen können aus dem Pol–Nullstellen–Diagramm von Schaltung $\rm B$ abgeleitet werden? |
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− | + Die Dämpfung | + | + Die Dämpfung $a(f)$ ist konstant. |
− | + | + | + Für die Phasenfunktion gilt $b(f =0) =0$. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | + | '''(1)''' Durch Umformung der angegebenen $p$–Übertragungsfunktion ergibt sich | |
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm} | :$$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm} | ||
\hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$ | \hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$ | ||
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+ | '''(2)''' Richtig sind die <u>Aussagen 2 und 3</u>: | ||
+ | *Setzt man $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man: | ||
:$$H(f)= \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it | :$$H(f)= \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it | ||
f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it | f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it | ||
f}/A}\hspace{0.05cm} .$$ | f}/A}\hspace{0.05cm} .$$ | ||
− | + | *Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge: | |
:$$|H(f)|= \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi | :$$|H(f)|= \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi | ||
f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it | f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it | ||
f}/A|}= \frac {\sqrt{1+(2\pi | f}/A|}= \frac {\sqrt{1+(2\pi | ||
f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi | f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi | ||
− | f/A)^2}}= 1 | + | f/A)^2}}= 1\hspace{0.3cm} |
− | + | \Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$ | |
− | + | *Aber auch die $\text{Aussage 3}$ ist richtig, wie aus der Theorieseite „Grafische Ermittlung der Dämpfung” zu ersehen ist. | |
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− | + | '''(3)''' Die Phasenfunktion $b(f)$ kann wie folgt berechnet werden: | |
− | :$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} | + | :$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi |
− | f}{A} - {\rm arctan } \hspace{0.1cm} | + | f}/{A}) - {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({-2\pi |
− | f}{A} = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm} | + | f}/{A}) = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi |
− | f}{A}: | + | f}/{A}),$$ |
− | + | :$$b(f= {A}/{2\pi})= 2 \cdot {\rm arctan } | |
− | \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ\hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm} | + | \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ \hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm},$$ |
− | + | :$$ b(f= {A}/{\pi})=2 \cdot {\rm arctan } | |
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\hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm} | \hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm} | ||
− | , | + | ,$$ |
− | + | :$$ b(f \rightarrow \infty)=2 \cdot {\rm arctan } | |
\hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm} | \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm} | ||
.$$ | .$$ | ||
− | + | *Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise nach der Seite „Grafische Ermittlung der Phase” im Theorieteil. | |
− | + | ||
− | :$$H_{\rm L}(p) | + | |
− | + | '''(4)''' Richtig ist nur die <u>Aussage 1</u>: | |
+ | *Die angegebene $p$–Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen: | ||
+ | :$$H_{\rm L}(p)= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}= | ||
+ | \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}= | ||
\frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$ | \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | *Mit $Z_1 = p \cdot L$ und $Z_2 = 1/(p \cdot C)$ erhält man weiter: | |
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}} | :$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}} | ||
= \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}} | = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}} | ||
− | = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}} | + | = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}\hspace{0.3cm} |
− | + | \Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$ | |
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− | + | *Es ergibt sich die gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe '''(1)''' berechnet. | |
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− | + | Daraus folgt, dass nur die <u>Aussage 1</u> richtig ist: | |
+ | *Der Dämpfungsverlauf ist $a(f) = 0\ \rm (Np)$. Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem „Allpass”. | ||
+ | *Die zweite Aussage ist falsch. Der Phasenverlauf $b(f)$ ist nicht linear, sondern vielmehr gekrümmt, wie in der Teilaufgabe '''(3)''' berechnet. | ||
+ | *Die Hilbert–Transformierte der Konstanten $a(f) = 0$ müsste zur Phasenfunktion $b(f) = 0$ führen, wie im Theorieteil gezeigt. Das heißt: die Aussage 3 ist falsch. | ||
+ | *Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion $a(f)$ und Phasenfunktion $b(f)$ über die Hilbert–Transformation zusammen. | ||
+ | *Bei einem solchen Minimum–Phasen–System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$–Halbebene, was hier nicht zutrifft <br>⇒ ein Allpass ist kein Minimum–Phasen–System. | ||
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− | + | '''(5)''' <u>Beide Aussagen</u> sind richtig: | |
+ | *Wie bereits in der Teilaufgabe '''(2)''' festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt ⇒ die Schaltung $\rm B$ zeigt ebenfalls Allpass–Charakteristik. | ||
+ | *Da $b(f)$ stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt $b(f= 0) = 0$ ganz allgemein. | ||
+ | * Das heißt: Für jede Spektralfunktion $H(f)$, deren Fourier–Rücktransformierte („Impulsantwort”) reell ist. | ||
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− | [[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^3.2 Laplace–Transformation | + | [[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^3.2 Laplace–Transformation^]] |
Aktuelle Version vom 15. Oktober 2021, 16:08 Uhr
Wir gehen zunächst von einem Vierpol mit der folgenden Übertragungsfunktion aus:
- $$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}.$$
Ermittelt werden soll aus dieser der herkömmliche Fourier–Frequenzgang
- $$H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)},$$
darstellbar durch
- die Dämpfungsfunktion $a(f)$
- und die Phasenfunktion $b(f)$.
Die obere Grafik zeigt eine so genannte Allpass–Schaltung, wobei der komplexe Widerstand $Z_1$ eine Induktivität und der komplexe Widerstand $Z_2$ eine Kapazität bezeichnet:
- $$Z_1 = p \cdot L\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}Z_2 = \frac{1}{p \cdot C}\hspace{0.05cm}.$$
Bei reflexionsfreier Anpassung am Eingang und Ausgang mit
- $$Z_{\rm I}=Z_{\rm A} = \sqrt{Z_1 \cdot Z_2} = \sqrt{{L}/{C}}$$
gilt für die $p$–Übertragungsfunktion der Schaltung $\rm A$ (siehe obere Grafik):
- $$H_{\rm L}(p)= \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}\hspace{0.05cm}.$$
Die Schaltung $\rm B$ ist durch die $p$–Übertragungsfunktion festgelegt. Sie ist dadurch charakterisiert, dass
- alle Pole (in der linken $p$–Halbebene) spiegelbildlich
- zu den Nullstellen (in der rechten Halbebene) liegen.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion.
Fragebogen
Musterlösung
- $$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$
(2) Richtig sind die Aussagen 2 und 3:
- Setzt man $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:
- $$H(f)= \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A}\hspace{0.05cm} .$$
- Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge:
- $$|H(f)|= \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A|}= \frac {\sqrt{1+(2\pi f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi f/A)^2}}= 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$
- Aber auch die $\text{Aussage 3}$ ist richtig, wie aus der Theorieseite „Grafische Ermittlung der Dämpfung” zu ersehen ist.
(3) Die Phasenfunktion $b(f)$ kann wie folgt berechnet werden:
- $$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi f}/{A}) - {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({-2\pi f}/{A}) = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi f}/{A}),$$
- $$b(f= {A}/{2\pi})= 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ \hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm},$$
- $$ b(f= {A}/{\pi})=2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm} ,$$
- $$ b(f \rightarrow \infty)=2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm} .$$
- Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise nach der Seite „Grafische Ermittlung der Phase” im Theorieteil.
(4) Richtig ist nur die Aussage 1:
- Die angegebene $p$–Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:
- $$H_{\rm L}(p)= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}= \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}= \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$
- Mit $Z_1 = p \cdot L$ und $Z_2 = 1/(p \cdot C)$ erhält man weiter:
- $$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}} = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}} = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$
- Es ergibt sich die gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe (1) berechnet.
Daraus folgt, dass nur die Aussage 1 richtig ist:
- Der Dämpfungsverlauf ist $a(f) = 0\ \rm (Np)$. Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem „Allpass”.
- Die zweite Aussage ist falsch. Der Phasenverlauf $b(f)$ ist nicht linear, sondern vielmehr gekrümmt, wie in der Teilaufgabe (3) berechnet.
- Die Hilbert–Transformierte der Konstanten $a(f) = 0$ müsste zur Phasenfunktion $b(f) = 0$ führen, wie im Theorieteil gezeigt. Das heißt: die Aussage 3 ist falsch.
- Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion $a(f)$ und Phasenfunktion $b(f)$ über die Hilbert–Transformation zusammen.
- Bei einem solchen Minimum–Phasen–System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$–Halbebene, was hier nicht zutrifft
⇒ ein Allpass ist kein Minimum–Phasen–System.
(5) Beide Aussagen sind richtig:
- Wie bereits in der Teilaufgabe (2) festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt ⇒ die Schaltung $\rm B$ zeigt ebenfalls Allpass–Charakteristik.
- Da $b(f)$ stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt $b(f= 0) = 0$ ganz allgemein.
- Das heißt: Für jede Spektralfunktion $H(f)$, deren Fourier–Rücktransformierte („Impulsantwort”) reell ist.