Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: Verabredung zum Frühstück: Unterschied zwischen den Versionen

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:Frau M. und Herr S. treffen sich ja bekanntlich öfter einmal zu einem gemeinsamen Frühstück. Beide versprechen, an einem bestimmten Tag zwischen 8 Uhr und 9 Uhr zu einem solchen Treffen zu kommen. Weiter vereinbaren sie, dass jeder von ihnen in diesem Zeitraum (und nur in diesem) auf „Gut Glück” eintrifft und bis zu einer Viertelstunde auf den Anderen wartet.
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Frau M. und Herr S. treffen sich ja bekanntlich öfter einmal zu einem gemeinsamen Frühstück:
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*Beide versprechen,  an einem bestimmten Tag zwischen 8 Uhr und 9 Uhr zu einem solchen Treffen zu kommen.  
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*Weiter vereinbaren sie,  dass jeder von ihnen in diesem Zeitraum  (und nur in diesem)  auf „Gut Glück” eintrifft und bis zu einer Viertelstunde auf den Anderen wartet.
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Hinweise:
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
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*Verwenden Sie bei den folgenden Fragen als Zeitangabe die Minute der Ankunftszeit:&nbsp; <br>&bdquo;Minute = 0&rdquo; steht f&uuml;r 8 Uhr,&nbsp; &bdquo;Minute = 60&rdquo; f&uuml;r 9 Uhr.
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*Die Aufgabe entstand vor der Bundestagswahl 2002, als sowohl Dr. Angela Merkel als auch Dr. Edmund Stoiber Kanzlerkandidat(in) der CDU/CSU werden wollten.
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*Bei einem gemeinsamen Frühstück in Wolfratshausen verzichtete Frau Merkel.&nbsp; Die spätere Wahl gewann Gerhard Schröder (SPD).
  
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:<b>Hinweis</b>: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 4.1. Verwenden Sie bei den nachfolgenden Fragen als Zeitangabe die Minute der Ankunftszeit: &bdquo;Minute = 0&rdquo; steht f&uuml;r 8 Uhr, &bdquo;Minute = 60&rdquo; f&uuml;r 9 Uhr.
 
  
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:<br>Die Aufgabe entstand vor der Bundestagswahl 2002, als sowohl Angela Merkel als auch Edmund Stoiber Kanzlerkandidat(in) der CDU/CSU werden wollten. Bei einem gemeinsamen Frühstück in Wolfratshausen verzichtete Frau Merkel. Die spätere Wahl gewann Gerhard Schröder.
 
  
  
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<quiz display=simple>
 
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{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit <i>p</i><sub>a</sub>, dass sich die beiden treffen, wenn Herr S. um 8 Uhr 30 ankommt? Begr&uuml;nden Sie Ihre Antwort.
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{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_1$, dass sich die beiden treffen,&nbsp; wenn Herr S. um 8 Uhr 30 ankommt? Begr&uuml;nden Sie Ihre Antwort.
 
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$p_a$ = { 0.5 3% }
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$p_1 \ = \ $ { 50 1% } $\ \%$
  
  
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{Welche Ankunftszeit sollte Frau M. w&auml;hlen, wenn sie Herrn S. eigentlich nicht treffen m&ouml;chte, sich aber trotzdem an die getroffene Vereinbarung halten will? Wie gro&szlig; ist dann die Wahrscheinlichkeit <i>p</i><sub>b</sub>, dass sich Frau M. und Herr S. treffen werden?
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{Welche Ankunftszeit sollte Frau M. w&auml;hlen,&nbsp; wenn sie Herrn S. eigentlich nicht treffen m&ouml;chte,&nbsp; sich aber trotzdem an die getroffene Vereinbarung halten will? <br>Wie gro&szlig; ist dann die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_2$,&nbsp; dass sich Frau M. und Herr S. treffen werden?
 
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$p_b$ = { 0.25 3% }
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$p_2 \ = \  $ { 25 1% } $\ \%$
  
  
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{Welche Ankunftszeit sollte Frau M. w&auml;hlen, wenn sie nicht nur ein Treffen m&ouml;glichst vermeiden, sondern die Wartezeit minimieren m&ouml;chte?<br> <i>Hinweis:</i>  Minute = 0 steht f&uuml;r 8 Uhr, Minute = 60 f&uuml;r 9 Uhr.
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{Welche Ankunftszeit sollte Frau M. w&auml;hlen,&nbsp; wenn sie nicht nur ein Treffen m&ouml;glichst vermeiden,&nbsp; sondern die Wartezeit minimieren m&ouml;chte?
 
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$Minute$ = { 60 3% }
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$\rm Minute \ =  \ ${ 60 }
  
  
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{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit <i>p</i><sub>d</sub> f&uuml;r ein Zusammentreffen generell, das heißt, wenn beide tats&auml;chlich auf &bdquo;Gut Gl&uuml;ck&rdquo; erscheinen?
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{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_4$&nbsp; f&uuml;r ein Zusammentreffen generell,&nbsp; das heißt,&nbsp; wenn beide tats&auml;chlich auf &bdquo;Gut Gl&uuml;ck&rdquo; erscheinen?
 
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$p_d$ = { 0.4375 3% }
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$p_4 \ = \  $ { 43.75 1% } $\ \%$
  
  
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===Musterlösung===
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Kommt Herr S. um 8 Uhr 30, so trifft er Frau M., wenn diese zwischen 8 Uhr 15 und 8 Uhr 45 ankommt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit &bdquo;S. trifft M.&rdquo; <u>genau 50%</u>.
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'''(1)'''&nbsp; Kommt Herr S. um 8 Uhr 30,&nbsp; so trifft er Frau M.,&nbsp; wenn diese zwischen 8 Uhr 15 und 8 Uhr 45 ankommt.&nbsp; Damit ist die Wahrscheinlichkeit  
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:$$p_1 = \text{Pr(Herr S. trifft Frau M.)}\hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$
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[[Datei:P_ID246__Sto_Z_4_1_d.png|right|frame|&bdquo;Günstiger Bereich&rdquo; für Zusammentreffen]]
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'''(2)'''&nbsp; Kommt Frau M. um 8 Uhr,&nbsp; so trifft sie Herrn S. nur dann,&nbsp; wenn dieser vor 8 Uhr 15 kommt.
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*Erscheint Frau M. um 9 Uhr,&nbsp; dann muss Herr S. nach 8 Uhr 45 angekommen sein,&nbsp; damit sich beide treffen k&ouml;nnen.
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*Die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein Zusammentreffen ist in beiden F&auml;llen:
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:$$p_2 = \big[\text{Min Pr(Herr S. trifft Frau M.)}\big]\hspace{0.15cm}\underline{=25\%}.$$
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'''(3)'''&nbsp; Von den beiden unter&nbsp;&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechneten Ankunftszeiten ist 9 Uhr&nbsp; $(\underline{\text{Minute = 60}})$&nbsp; g&uuml;nstiger, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; da sie &ndash; falls Herr S. nicht da ist &ndash; sofort wieder gehen kann.
  
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:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Kommt Frau M. um 8 Uhr, so trifft sie Herrn S. nur dann, wenn dieser vor 8 Uhr 15 kommt. Erscheint Frau M. um 9 Uhr, dann muss Herr S. nach 8 Uhr 45 angekommen sein, damit sich beide treffen k&ouml;nnen. Die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein Zusammentreffen ist in beiden F&auml;llen <u>nur jeweils 25%</u>.
 
  
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:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Von den beiden unter b) berechneten Ankunftszeiten ist 9 Uhr (<u>Minute = 60</u>) g&uuml;nstiger, da sie &ndash; wenn Herr S. nicht da ist &ndash; sofort wieder gehen kann.
 
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[[Datei:P_ID246__Sto_Z_4_1_d.png|right|]]
 
  
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:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Die Wahrscheinlichkeit <i>p</i><sub>d</sub> ergibt sich als das Verh&auml;ltnis der roten Fl&auml;che zur Gesamtfl&auml;che 1. Mit den Dreiecksfl&auml;chen erh&auml;lt man:
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'''(4)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_4$&nbsp; ergibt sich als das Verh&auml;ltnis der roten Fl&auml;che in der Grafik zur Gesamtfl&auml;che&nbsp; $1$.  
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:$$p_{\rm d}=\rm 1-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{7}{16}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.4375}.$$
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*Mit den Dreiecksfl&auml;chen erh&auml;lt man:
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:$$p_4=\rm 1-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{7}{16}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 43.75\%}.$$
  
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:<br><br><br><br><br><br>
 
 
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Aktuelle Version vom 7. Februar 2022, 13:23 Uhr

Kanzlerkandidat(inn)en–Frühstück im Jahr 2002

Frau M. und Herr S. treffen sich ja bekanntlich öfter einmal zu einem gemeinsamen Frühstück:

  • Beide versprechen,  an einem bestimmten Tag zwischen 8 Uhr und 9 Uhr zu einem solchen Treffen zu kommen.
  • Weiter vereinbaren sie,  dass jeder von ihnen in diesem Zeitraum  (und nur in diesem)  auf „Gut Glück” eintrifft und bis zu einer Viertelstunde auf den Anderen wartet.



Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Zweidimensionale Zufallsgrößen.
  • Verwenden Sie bei den folgenden Fragen als Zeitangabe die Minute der Ankunftszeit: 
    „Minute = 0” steht für 8 Uhr,  „Minute = 60” für 9 Uhr.
  • Die Aufgabe entstand vor der Bundestagswahl 2002, als sowohl Dr. Angela Merkel als auch Dr. Edmund Stoiber Kanzlerkandidat(in) der CDU/CSU werden wollten.
  • Bei einem gemeinsamen Frühstück in Wolfratshausen verzichtete Frau Merkel.  Die spätere Wahl gewann Gerhard Schröder (SPD).



Fragebogen

1

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_1$, dass sich die beiden treffen,  wenn Herr S. um 8 Uhr 30 ankommt? Begründen Sie Ihre Antwort.

$p_1 \ = \ $

$\ \%$

2

Welche Ankunftszeit sollte Frau M. wählen,  wenn sie Herrn S. eigentlich nicht treffen möchte,  sich aber trotzdem an die getroffene Vereinbarung halten will?
Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit  $p_2$,  dass sich Frau M. und Herr S. treffen werden?

$p_2 \ = \ $

$\ \%$

3

Welche Ankunftszeit sollte Frau M. wählen,  wenn sie nicht nur ein Treffen möglichst vermeiden,  sondern die Wartezeit minimieren möchte?

$\rm Minute \ = \ $

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_4$  für ein Zusammentreffen generell,  das heißt,  wenn beide tatsächlich auf „Gut Glück” erscheinen?

$p_4 \ = \ $

$\ \%$


Musterlösung

Musterlösung

(1)  Kommt Herr S. um 8 Uhr 30,  so trifft er Frau M.,  wenn diese zwischen 8 Uhr 15 und 8 Uhr 45 ankommt.  Damit ist die Wahrscheinlichkeit

$$p_1 = \text{Pr(Herr S. trifft Frau M.)}\hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$


„Günstiger Bereich” für Zusammentreffen

(2)  Kommt Frau M. um 8 Uhr,  so trifft sie Herrn S. nur dann,  wenn dieser vor 8 Uhr 15 kommt.

  • Erscheint Frau M. um 9 Uhr,  dann muss Herr S. nach 8 Uhr 45 angekommen sein,  damit sich beide treffen können.
  • Die Wahrscheinlichkeit für ein Zusammentreffen ist in beiden Fällen:
$$p_2 = \big[\text{Min Pr(Herr S. trifft Frau M.)}\big]\hspace{0.15cm}\underline{=25\%}.$$


(3)  Von den beiden unter   (2)  berechneten Ankunftszeiten ist 9 Uhr  $(\underline{\text{Minute = 60}})$  günstiger,
        da sie – falls Herr S. nicht da ist – sofort wieder gehen kann.


(4)  Die Wahrscheinlichkeit  $p_4$  ergibt sich als das Verhältnis der roten Fläche in der Grafik zur Gesamtfläche  $1$.

  • Mit den Dreiecksflächen erhält man:
$$p_4=\rm 1-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{7}{16}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 43.75\%}.$$

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