Aufgaben:Aufgabe 1.5Z: Symmetrische Markovquelle: Unterschied zwischen den Versionen
Aus LNTwww
Nabil (Diskussion | Beiträge) K (Nabil verschob die Seite Zusatzaufgaben:1.5 Symmetrische Markovquelle nach 1.5Z Symmetrische Markovquelle) |
|||
(12 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
− | {{quiz-Header|Buchseite=Informationstheorie | + | {{quiz-Header|Buchseite=Informationstheorie/Nachrichtenquellen mit Gedächtnis |
}} | }} | ||
− | [[Datei: | + | [[Datei:Inf_Z_1_5_vers2.png|right|frame|Binäre symmetrische Markovquelle]] |
− | + | In der [[Aufgaben:1.5_Binäre_Markovquelle|Aufgabe 1.5]] wurde eine binäre Markovquelle behandelt, bei der die Übergangswahrscheinlichkeiten von $\rm A$ nach $\rm B$ und von $\rm B$ nach $\rm A$ unterschiedlich waren. In dieser Aufgabe soll nun gelten: | |
:$$p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = q \hspace{0.8cm} ( 0 \le q \le 1) | :$$p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = q \hspace{0.8cm} ( 0 \le q \le 1) | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | |||
− | :* <b>Entropie:</b> | + | Alle in der Aufgabe 1.5 angegebenen Gleichungen gelten auch hier: |
− | :$$H = p_{\rm AA} \cdot {\rm | + | |
− | \hspace{0.05cm} | + | * <b>Entropie:</b> |
+ | :$$H = p_{\rm AA} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm AB} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm BA} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm BB} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | * <b>Erste Entropienäherung</b>: | |
− | :$$H_{\rm 1} = p_{\rm A} \cdot {\rm | + | :$$H_{\rm 1} = p_{\rm A} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm B}} |
− | \hspace{0.05cm} | + | \hspace{0.05cm}.$$ |
− | + | * <b><i>k</i>–te Entropienäherung</b> $(k = 2, 3, \ \text{...})$: | |
− | :$$H_k = | + | :$$H_k = {1}/{k} \cdot \big [ H_{\rm 1} + (k-1) \cdot H \big] |
\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}H = \lim_{k \rightarrow \infty } H_k \hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}H = \lim_{k \rightarrow \infty } H_k \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | : | + | |
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ''Hinweise:'' | ||
+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis|Nachrichtenquellen mit Gedächtnis]]. | ||
+ | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Bin.C3.A4rquellen_mit_Markoveigenschaften|Binärquellen mit Markoveigenschaften]]. | ||
+ | *Bei allen Entropien ist die Pseudoeinheit „bit/Symbol” hinzuzufügen. | ||
+ | |||
+ | |||
Zeile 27: | Zeile 39: | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Berechnen Sie die Symbolwahrscheinlichkeiten. | + | {Berechnen Sie die Symbolwahrscheinlichkeiten für die Übergangswahrscheinlichkeit $q = 1/4$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $p_{\rm A} \ = \ $ { 0.5 1% } |
− | $ | + | $p_{\rm B} \ = \ $ { 0.5 1% } |
− | {Berechnen Sie die Quellenentropie | + | {Berechnen Sie die Quellenentropie $H$ für $q = 1/4$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $H \ =$ { 0.811 3% } $\ \rm bit/Symbol$ |
− | {Welche Entropienäherungen erhält man für | + | {Welche Entropienäherungen erhält man für $q = 1/4$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $H_1 \ = \ $ { 1 1% } $\ \rm bit/Symbol$ |
− | $H_2$ | + | $H_2 \ = \ $ { 0.906 1% } $\ \rm bit/Symbol$ |
− | $H_3$ | + | $H_3 \ = \ $ { 0.874 1% } $\ \rm bit/Symbol$ |
− | {Bestimmen Sie | + | {Bestimmen Sie $q$ derart, dass $H$ maximal wird. Interpretation. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $q \ = \ $ { 0.5 3% } |
− | {Welche Symbolfolgen sind mit | + | {Welche Symbolfolgen sind mit $q = 0$ möglich? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + AAAAAA ... | + | + $\rm AAAAAA$ ... |
− | + BBBBBB ... | + | + $\rm BBBBBB$ ... |
− | - ABABAB ... | + | - $\rm ABABAB$ ... |
− | {Welche Symbolfolgen sind mit | + | {Welche Symbolfolgen sind mit $q = 1$ möglich? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - AAAAAA ... | + | - $\rm AAAAAA$ ... |
− | - BBBBBB ... | + | - $\rm BBBBBB$ ... |
− | + ABABAB ... | + | + $\rm ABABAB$ ... |
Zeile 69: | Zeile 81: | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | + | '''(1)''' Bei einer stationären binären Markovquelle erster Ordnung gilt: | |
:$$p_{\rm A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot p_{\rm A} + p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot p_{\rm B} | :$$p_{\rm A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot p_{\rm A} + p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot p_{\rm B} | ||
= (1-q) \cdot p_{\rm A} + q \cdot p_{\rm B}$$ | = (1-q) \cdot p_{\rm A} + q \cdot p_{\rm B}$$ | ||
− | :$$q \cdot p_{\rm A} = q \cdot p_{\rm B} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm A} = p_{\rm B}\hspace{0.15cm} \underline {= 0.5} | + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}q \cdot p_{\rm A} = q \cdot p_{\rm B} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm A} = p_{\rm B}\hspace{0.15cm} \underline {= 0.5} |
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | ||
− | :$$p_{\rm AA} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/2 \cdot(1-q) = p_{\rm BB}\hspace{0.05cm},\ | + | |
+ | '''(2)''' Zur Berechnung der Entropie $H$ benötigt man alle vier Verbundwahrscheinlichkeiten: | ||
+ | :$$p_{\rm AA} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/2 \cdot(1-q) = p_{\rm BB}\hspace{0.05cm},\hspace{1cm} | ||
p_{\rm AB} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/2 \cdot q = p_{\rm BA}\hspace{0.05cm}.$$ | p_{\rm AB} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/2 \cdot q = p_{\rm BA}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | *Setzt man diese Werte in die gegebene Entropie–Gleichung ein, so erhält man | |
− | :$$H | + | :$$H = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot(1-q) \cdot |
{\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{1-q} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot q \cdot | {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{1-q} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot q \cdot | ||
− | {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{q | + | {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{q} = q \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{q} + (1-q) \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{1-q} = H_{\rm bin}(q) \hspace{0.05cm}.$$ |
− | + | *Der gesuchte Zahlenwert ist $H = H_{\rm bin} (0.25) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.811 \, \rm bit/Symbol}$. | |
− | + | ||
+ | |||
− | + | '''(3)''' Bei gleichwahrscheinlichen Binärsymbolen ist $H_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \, \rm bit/Symbol}$. | |
− | :$$H_2 \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} | + | *Mit der für Markovquellen gültigen Gleichung gilt weiter: |
− | \hspace{0.05cm}, | + | :$$H_2 \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {1}/{2} \cdot \big[ H_1 + H \big] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.906 \,{\rm bit/Symbol}} |
− | + | \hspace{0.05cm},$$ | |
+ | :$$ H_3 \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {1}/{3} \cdot \big[ H_1 + 2 H \big] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.874 \,{\rm bit/Symbol}} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | ||
+ | |||
+ | '''(4)''' Das Maximum der binären Entropiefunktion ergibt sich für $q\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$. | ||
+ | *Damit beträgt die maximale Entropie $H = 1 \, \rm bit/Symbol$. | ||
+ | *Man erkennt aus der Beziehung $H = H_1$ und aus dem vorne abgebildeten Übergangsdiagramm, dass $q = 0.5$ statistisch unabhängige Symbole zur Folge hat: | ||
:$$p_{\rm A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = 0.5 | :$$p_{\rm A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = 0.5 | ||
\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm B} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}= 0.5 | \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm B} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}= 0.5 | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | |||
− | + | ||
+ | '''(5)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: | ||
+ | *Die Symbolfolge ergibt sich entweder zu $\rm AAAAAA$ ... oder zu $\rm BBBBBB$ ... , je nachdem, welches Symbol als Startwert vorgegeben wurde. | ||
+ | *Die Entropie einer solchen Quelle ist stets $H = H_{\rm bin}(0) = 0$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''(6)''' Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: | ||
+ | *Nun kann weder $\rm A$ direkt auf $\rm A$ noch $\rm B$ direkt auf $\rm B$ folgen. | ||
+ | *Es ergibt sich stets eine alternierende Folge, je nach Startwert die Folge $\rm ABABAB$ ... oder $\rm BABABA$... . | ||
+ | *Diese Quelle hat in beiden Fällen ebenfalls die Entropie $H = H_{\rm bin}(1) = 0$. | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
− | [[Category:Aufgaben zu Informationstheorie | + | [[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^1.2 Nachrichtenquellen mit Gedächtnis^]] |
Aktuelle Version vom 21. Juni 2021, 09:25 Uhr
In der Aufgabe 1.5 wurde eine binäre Markovquelle behandelt, bei der die Übergangswahrscheinlichkeiten von $\rm A$ nach $\rm B$ und von $\rm B$ nach $\rm A$ unterschiedlich waren. In dieser Aufgabe soll nun gelten:
- $$p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = q \hspace{0.8cm} ( 0 \le q \le 1) \hspace{0.05cm}.$$
Alle in der Aufgabe 1.5 angegebenen Gleichungen gelten auch hier:
- Entropie:
- $$H = p_{\rm AA} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm AB} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm BA} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm BB} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} \hspace{0.05cm}.$$
- Erste Entropienäherung:
- $$H_{\rm 1} = p_{\rm A} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$
- k–te Entropienäherung $(k = 2, 3, \ \text{...})$:
- $$H_k = {1}/{k} \cdot \big [ H_{\rm 1} + (k-1) \cdot H \big] \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}H = \lim_{k \rightarrow \infty } H_k \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nachrichtenquellen mit Gedächtnis.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Binärquellen mit Markoveigenschaften.
- Bei allen Entropien ist die Pseudoeinheit „bit/Symbol” hinzuzufügen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Bei einer stationären binären Markovquelle erster Ordnung gilt:
- $$p_{\rm A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot p_{\rm A} + p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot p_{\rm B} = (1-q) \cdot p_{\rm A} + q \cdot p_{\rm B}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}q \cdot p_{\rm A} = q \cdot p_{\rm B} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm A} = p_{\rm B}\hspace{0.15cm} \underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Zur Berechnung der Entropie $H$ benötigt man alle vier Verbundwahrscheinlichkeiten:
- $$p_{\rm AA} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/2 \cdot(1-q) = p_{\rm BB}\hspace{0.05cm},\hspace{1cm} p_{\rm AB} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/2 \cdot q = p_{\rm BA}\hspace{0.05cm}.$$
- Setzt man diese Werte in die gegebene Entropie–Gleichung ein, so erhält man
- $$H = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot(1-q) \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{1-q} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot q \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{q} = q \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{q} + (1-q) \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{1-q} = H_{\rm bin}(q) \hspace{0.05cm}.$$
- Der gesuchte Zahlenwert ist $H = H_{\rm bin} (0.25) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.811 \, \rm bit/Symbol}$.
(3) Bei gleichwahrscheinlichen Binärsymbolen ist $H_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \, \rm bit/Symbol}$.
- Mit der für Markovquellen gültigen Gleichung gilt weiter:
- $$H_2 \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {1}/{2} \cdot \big[ H_1 + H \big] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.906 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm},$$
- $$ H_3 \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {1}/{3} \cdot \big[ H_1 + 2 H \big] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.874 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Das Maximum der binären Entropiefunktion ergibt sich für $q\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$.
- Damit beträgt die maximale Entropie $H = 1 \, \rm bit/Symbol$.
- Man erkennt aus der Beziehung $H = H_1$ und aus dem vorne abgebildeten Übergangsdiagramm, dass $q = 0.5$ statistisch unabhängige Symbole zur Folge hat:
- $$p_{\rm A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = 0.5 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm B} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}= 0.5 \hspace{0.05cm}.$$
(5) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Die Symbolfolge ergibt sich entweder zu $\rm AAAAAA$ ... oder zu $\rm BBBBBB$ ... , je nachdem, welches Symbol als Startwert vorgegeben wurde.
- Die Entropie einer solchen Quelle ist stets $H = H_{\rm bin}(0) = 0$.
(6) Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 3:
- Nun kann weder $\rm A$ direkt auf $\rm A$ noch $\rm B$ direkt auf $\rm B$ folgen.
- Es ergibt sich stets eine alternierende Folge, je nach Startwert die Folge $\rm ABABAB$ ... oder $\rm BABABA$... .
- Diese Quelle hat in beiden Fällen ebenfalls die Entropie $H = H_{\rm bin}(1) = 0$.