Aufgaben:Aufgabe 2.3Z: ZSB durch Nichtlinearität: Unterschied zwischen den Versionen
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In dieser Aufgabe betrachten wir die Realisierung einer Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mittels der nichtlinearen Kennlinie | In dieser Aufgabe betrachten wir die Realisierung einer Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mittels der nichtlinearen Kennlinie | ||
| − | $$y = g(x) = c_1 \cdot x + c_2 \cdot x^2+ c_3 \cdot x^3\hspace{0.05cm}$$ | + | :$$y = g(x) = c_1 \cdot x + c_2 \cdot x^2+ c_3 \cdot x^3\hspace{0.05cm}$$ |
| − | $$ \Rightarrow c_1 = 2,\hspace{0. | + | :$$ \Rightarrow c_1 = 2,\hspace{0.5cm}c_2 = 0.25/{\rm V},\hspace{0.5cm}c_3 = 0 \hspace{0.5cm}{\rm bzw.}\hspace{0.5cm}c_3 = 0.01/{\rm V^2}\hspace{0.05cm}.$$ |
Am Eingang dieser Kennlinie liegt die Summe aus Trägersignal und Quellensignal an: | Am Eingang dieser Kennlinie liegt die Summe aus Trägersignal und Quellensignal an: | ||
| − | $$ x(t) = z(t) + q(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} t)+ q(t),\hspace{0.2cm} A_{\rm T} = 4\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$ x(t) = z(t) + q(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} t)+ q(t),\hspace{0.2cm} A_{\rm T} = 4\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$ |
| − | Über das Quellensignal $q(t)$ ist bekannt, dass es Spektralanteile zwischen $\ | + | *Über das Quellensignal $q(t)$ ist bekannt, dass es Spektralanteile zwischen $1 \ \rm kHz$ und $9 \ \rm kHz$ (einschließlich dieser Grenzen) beinhaltet. |
| − | $$q(t) = A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t)+A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 9} t) \hspace{0.05cm}.$$ | + | *Ab der Teilaufgabe '''(5)''' soll folgendes Quellensignal vorausgesetzt werden: |
| − | Die Kreisfrequenzen seien $ω_1 = 2 π · 1 kHz$ und $ω_9 = 2 π · 9 kHz$. Die dazugehörigen Amplituden sind wie folgt gegeben: $A_1 = 1 V$ und $A_9 = 2 V$. | + | :$$q(t) = A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t)+A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 9} t) \hspace{0.05cm}.$$ |
| + | *Die Kreisfrequenzen seien $ω_1 = 2 π · 1 \ \rm kHz$ und $ω_9 = 2 π · 9\ \rm kHz$. Die dazugehörigen Amplituden sind wie folgt gegeben: $A_1 = 1\ \rm V$ und $A_9 = 2\ \rm V$. | ||
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In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende Abkürzungen verwendet: | In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende Abkürzungen verwendet: | ||
| − | $$ y(t) = y_1(t) + y_2(t)+y_3(t),$$ | + | :$$ y(t) = y_1(t) + y_2(t)+y_3(t),$$ |
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| − | Die Sendesignale $s(t)$ bzw. $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ ergeben sich daraus jeweils durch | + | Die Sendesignale $s(t)$ bzw. $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ ergeben sich daraus jeweils durch Bandbegrenzung auf den Bereich von $90 \ \rm kHz$ bis $110 \ \rm kHz$. |
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| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]. | ||
| + | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Amplitudenmodulation_durch_quadratische_Kennlinie|Amplitudenmodulation durch quadratische Kennlinie]]. | ||
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| + | *Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen: | ||
| + | :$$ \cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \left[ 1 + \cos(2\alpha)\right] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} | ||
| + | \cos^3(\alpha) = {1}/{4} \cdot \left[ 3 \cdot \cos(\alpha) + \cos(3\alpha)\right] \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | {Wie sollte die Trägerfrequenz sinnvollerweise gewählt werden? | ||
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| + | $f_{\rm T} \ = \ $ { 100 3% } $\ \text{kHz}$ | ||
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| + | + den Term $c_1 \cdot z(t)$, | ||
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| − | - | + | - den Term $c_2 · z^2(t)$, |
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| + | + den Term $2c_2 · z(t) · q(t)$. | ||
| + | {Welche Signalanteile beinhaltet $s_3(t)$ zumindest teilweise? | ||
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| + | + den Term $c_3 · z^3(t)$, | ||
| + | - den Term $3 · c_3 · z^2(t) · q(t)$, | ||
| + | + den Term $3 · c_3 · z(t) · q^2(t)$, | ||
| + | - den Term $c_3 · q^3(t)$. | ||
| − | { | + | {Berechnen Sie $s(t)$, wenn $c_3 = 0$ gilt und sich das Quellensignal $q(t)$ aus zwei Cosinusschwingungen zusammensetzt. <br>Wie groß ist der Modulationsgrad $m$? |
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| − | $\ | + | $m \ = \ $ { 0.75 3% } |
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| + | {Berechnen Sie nun das Sendesignal $s(t)$ unter der Voraussetzung $c_3 = \rm 0.01/V^{2}$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu? | ||
| + | |type="[]"} | ||
| + | + Durch $c_3 ≠ 0$ wird die Spektrallinie bei $f_{\rm T}$ verändert. | ||
| + | - Durch $c_3 ≠ 0$ entstehen lineare, also kompensierbare Verzerrungen. | ||
| + | + Durch $c_3 ≠ 0$ entstehen nichtlineare, also irreversible Verzerrungen. | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''1 | + | '''(1)''' Die Trägerfrequenz ist sinnvollerweise gleich der Mittenfrequenz des Bandpasses: $f_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 100\ \rm kHz}$. |
| − | '''2 | + | *Weicht $f_{\rm T}$ um nicht mehr als $±1 \ \rm kHz$ davon ab, ergibt sich ebenfalls eine „ZSB–AM”. |
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| − | '''6 | + | '''(2)''' $s_1(t)$ beinhaltet nur den Träger $z(t)$ ⇒ <u>Antwort 1</u>. Das Quellensignal $q(t)$ wird durch den Bandpass entfernt. |
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| + | '''(3)''' Der quadratische Term $z^2(t)$ besteht aus einem Gleichanteil $($bei $f = 0)$ sowie einem Anteil bei $2f_{\rm T}$. | ||
| + | *Auch alle Spektralanteile von $q^2(t)$ liegen außerhalb des Bandpasses. | ||
| + | *Richtig ist somit die <u>letzte Antwort</u>. | ||
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| + | '''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: | ||
| + | *Der Term $\cos^3(ω_Tt)$ hat seinen größten Signalanteil bei $f = f_{\rm T}$. | ||
| + | *Der dritte Lösungsvorschlag $(3 · c_3 · z(t) · q^2(t))$ liegt zwischen $100\ \rm kHz ± 18 \ \rm kHz $. | ||
| + | *Teile davon – nämlich die Frequenzanteile zwischen $90\ \rm kHz $ und $110 \ \rm kHz$ – werden durch den Bandpass nicht entfernt und sind somit auch in $s(t)$ enthalten. | ||
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| + | [[Datei:P_ID993__Mod_Z_2_3_f.png|right|frame|Erzeugtes ZSB-AM–Spektrum]] | ||
| + | '''(5)''' Das Sendesignal besteht aus insgesamt fünf Frequenzen: | ||
| + | :$$s(t) = c_1 \cdot A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} t)+ c_2 \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm 1} \cdot \cos((\omega_{\rm T} \pm \omega_{\rm 1})t) + c_2 \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm 2} \cdot \cos((\omega_{\rm T} \pm \omega_{\rm 2})t) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | *Beachten Sie hierbei, dass der zweite und dritte Term jeweils zwei Signalfrequenzen beinhaltet: | ||
| + | **$\text{99 kHz}$ und $\text{101 kHz}$ bzw. | ||
| + | **$\text{91 kHz}$ und $\text{109 kHz}$. | ||
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| + | *Mit $A_{\rm T} = 4 \ \rm V$, $A_1 = 1 V$, $A_9 = 2 \ \rm V$, $c_1 = 1$ und $c_2 = 1/A_{\rm T} = \rm 0.25/V$ gilt auch: | ||
| + | :$$s(t) = 4\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm T} t) + 1\,{\rm V} \cdot \cos((\omega_{\rm T} \pm \omega_{\rm 1})t) + 2\,{\rm V}\cdot \cos((\omega_{\rm T} \pm \omega_{\rm 2})t) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | *Daran erkennt man, dass für den Modulationsgrad gilt: | ||
| + | :$$m =\frac{A_1 + A_9}{A_{\rm T}} = \rm \frac{1\ V + 2 \ V}{4 \ V} \hspace{0.15cm}\underline{=0.75}.$$ | ||
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| + | '''(6)''' Die Grafik zeigt oben das Spektrum $S_+(f)$ – also nur positive Frequenzen – mit $c_3 = 0$. | ||
| + | * Mit $c_3 ≠ 0$ fallen folgende zusätzliche Spektralanteile an: | ||
| + | :$$c_3 \cdot z^3(t)= \frac{c_3 \cdot A_{\rm T}^3}{4} \cdot \left[ 3 \cdot \cos(\omega_{\rm T} t) + \cos(3\omega_{\rm T} t)\right] \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Der erste Anteil fällt in den Durchlassbereich des Bandpasses. Das Diracgewicht bei $f_{\rm T} = 100\ \rm kHz$ wird dadurch erhöht von ursprünglich $8 \ \rm V$ auf | ||
| + | :$$\text{8 V + 0.75 · 0.01/V}^2 · 4^3 \text{ V}^3 = 8.48 \ \rm V.$$ | ||
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| + | *Weiterhin liefert der dritte Spektralanteil von Teilaufgabe '''(4)''' einen unerwünschten Beitrag zu $S_+(f)$. Dabei gilt: | ||
| + | :$$q^2(t) = \left[A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t)+A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 9} t)\right]^2 = A_{\rm 1}^2 \cdot \cos^2(\omega_{\rm 1} t)+ A_{\rm 9}^2 \cdot \cos^2(\omega_{\rm 9}t) + | ||
| + | 2 \cdot A_{\rm 1} \cdot A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t)\cdot \cos(\omega_{\rm 9} t)$$ | ||
| + | :$$ \Rightarrow \hspace{0.2cm} q^2(t) = \frac{A_{\rm 1}^2}{2} +\frac{A_{\rm 1}^2}{2} \cdot \cos(\omega_{\rm 2} t)+ \frac{A_{\rm 9}^2}{2} + \frac{A_{\rm 9}^2}{2} \cdot \cos(\omega_{\rm 18} t) + A_{\rm 1} \cdot A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 8} t)+ A_{\rm 1} \cdot A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 10} t).$$ | ||
| + | *Nach der Multiplikation mit $z(t)$ fallen alle diese Beiträge bis auf den vierten in den Bereich von $\text{90 kHz}$ bis $\text{110 kHz}$. Das Gewicht bei $f_{\rm T} = 100\ \rm kHz$ wird um $3 · c_3 · A_{\rm T} · 0.5 (A_1^2 + A_9^2) = 0.6\ \rm V$ weiter erhöht und ist somit $9.08 \ \rm V$. | ||
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| + | *Weitere Anteile ergeben sich bei: | ||
| + | :*$98 \ \rm kHz$ und $102 \ \rm kHz$ mit den Gewichten $c_3 · A_{\rm T}/2 · A_1^2/2 = 0.03\ \rm V$, | ||
| + | :* $92 \ \rm kHz$ und $108 \ \rm kHz$ mit den Gewichten $3c_3 · A_{\rm T}/2 · A_1 · A_9 = 0.12\ \rm V$, | ||
| + | :* $90 \ \rm kHz$ und $110 \ \rm kHz$ mit den Gewichten $3c_3 · A_{\rm T}/2 · A_1 · A_9 = 0.12\ \rm V$. | ||
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| + | Die untere Skizze in obiger Grafik zeigt das Spektrum $S_+(f)$ unter Berücksichtigung der kubischen Anteile. | ||
| + | *Man erkennt, dass neue Frequenzen entstanden sind, was auf nichtlineare Verzerrungen hindeutet. | ||
| + | *Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>. | ||
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| − | [[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^2.1 | + | [[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^2.1 ZSB-Amplitudenmodulation^]] |
Aktuelle Version vom 29. November 2021, 18:28 Uhr
ZSB–AM durch Nichtlinearität
In dieser Aufgabe betrachten wir die Realisierung einer Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mittels der nichtlinearen Kennlinie
- $$y = g(x) = c_1 \cdot x + c_2 \cdot x^2+ c_3 \cdot x^3\hspace{0.05cm}$$
- $$ \Rightarrow c_1 = 2,\hspace{0.5cm}c_2 = 0.25/{\rm V},\hspace{0.5cm}c_3 = 0 \hspace{0.5cm}{\rm bzw.}\hspace{0.5cm}c_3 = 0.01/{\rm V^2}\hspace{0.05cm}.$$
Am Eingang dieser Kennlinie liegt die Summe aus Trägersignal und Quellensignal an:
- $$ x(t) = z(t) + q(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} t)+ q(t),\hspace{0.2cm} A_{\rm T} = 4\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
- Über das Quellensignal $q(t)$ ist bekannt, dass es Spektralanteile zwischen $1 \ \rm kHz$ und $9 \ \rm kHz$ (einschließlich dieser Grenzen) beinhaltet.
- Ab der Teilaufgabe (5) soll folgendes Quellensignal vorausgesetzt werden:
- $$q(t) = A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t)+A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 9} t) \hspace{0.05cm}.$$
- Die Kreisfrequenzen seien $ω_1 = 2 π · 1 \ \rm kHz$ und $ω_9 = 2 π · 9\ \rm kHz$. Die dazugehörigen Amplituden sind wie folgt gegeben: $A_1 = 1\ \rm V$ und $A_9 = 2\ \rm V$.
In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende Abkürzungen verwendet:
- $$ y(t) = y_1(t) + y_2(t)+y_3(t),$$
- $$y_1(t) = c_1 \cdot [z(t) + q(t)],$$
- $$ y_2(t) = c_2 \cdot[z(t) + q(t)]^2,$$
- $$y_3(t) = c_3 \cdot [z(t) + q(t)]^3 \hspace{0.05cm}.$$
Die Sendesignale $s(t)$ bzw. $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ ergeben sich daraus jeweils durch Bandbegrenzung auf den Bereich von $90 \ \rm kHz$ bis $110 \ \rm kHz$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweiseitenband-Amplitudenmodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Amplitudenmodulation durch quadratische Kennlinie.
- Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen:
- $$ \cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \left[ 1 + \cos(2\alpha)\right] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos^3(\alpha) = {1}/{4} \cdot \left[ 3 \cdot \cos(\alpha) + \cos(3\alpha)\right] \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Trägerfrequenz ist sinnvollerweise gleich der Mittenfrequenz des Bandpasses: $f_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 100\ \rm kHz}$.
- Weicht $f_{\rm T}$ um nicht mehr als $±1 \ \rm kHz$ davon ab, ergibt sich ebenfalls eine „ZSB–AM”.
(2) $s_1(t)$ beinhaltet nur den Träger $z(t)$ ⇒ Antwort 1. Das Quellensignal $q(t)$ wird durch den Bandpass entfernt.
(3) Der quadratische Term $z^2(t)$ besteht aus einem Gleichanteil $($bei $f = 0)$ sowie einem Anteil bei $2f_{\rm T}$.
- Auch alle Spektralanteile von $q^2(t)$ liegen außerhalb des Bandpasses.
- Richtig ist somit die letzte Antwort.
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:
- Der Term $\cos^3(ω_Tt)$ hat seinen größten Signalanteil bei $f = f_{\rm T}$.
- Der dritte Lösungsvorschlag $(3 · c_3 · z(t) · q^2(t))$ liegt zwischen $100\ \rm kHz ± 18 \ \rm kHz $.
- Teile davon – nämlich die Frequenzanteile zwischen $90\ \rm kHz $ und $110 \ \rm kHz$ – werden durch den Bandpass nicht entfernt und sind somit auch in $s(t)$ enthalten.
Erzeugtes ZSB-AM–Spektrum
(5) Das Sendesignal besteht aus insgesamt fünf Frequenzen:
- $$s(t) = c_1 \cdot A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} t)+ c_2 \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm 1} \cdot \cos((\omega_{\rm T} \pm \omega_{\rm 1})t) + c_2 \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm 2} \cdot \cos((\omega_{\rm T} \pm \omega_{\rm 2})t) \hspace{0.05cm}.$$
- Beachten Sie hierbei, dass der zweite und dritte Term jeweils zwei Signalfrequenzen beinhaltet:
- $\text{99 kHz}$ und $\text{101 kHz}$ bzw.
- $\text{91 kHz}$ und $\text{109 kHz}$.
- Mit $A_{\rm T} = 4 \ \rm V$, $A_1 = 1 V$, $A_9 = 2 \ \rm V$, $c_1 = 1$ und $c_2 = 1/A_{\rm T} = \rm 0.25/V$ gilt auch:
- $$s(t) = 4\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm T} t) + 1\,{\rm V} \cdot \cos((\omega_{\rm T} \pm \omega_{\rm 1})t) + 2\,{\rm V}\cdot \cos((\omega_{\rm T} \pm \omega_{\rm 2})t) \hspace{0.05cm}.$$
- Daran erkennt man, dass für den Modulationsgrad gilt:
- $$m =\frac{A_1 + A_9}{A_{\rm T}} = \rm \frac{1\ V + 2 \ V}{4 \ V} \hspace{0.15cm}\underline{=0.75}.$$
(6) Die Grafik zeigt oben das Spektrum $S_+(f)$ – also nur positive Frequenzen – mit $c_3 = 0$.
- Mit $c_3 ≠ 0$ fallen folgende zusätzliche Spektralanteile an:
- $$c_3 \cdot z^3(t)= \frac{c_3 \cdot A_{\rm T}^3}{4} \cdot \left[ 3 \cdot \cos(\omega_{\rm T} t) + \cos(3\omega_{\rm T} t)\right] \hspace{0.05cm}.$$
- Der erste Anteil fällt in den Durchlassbereich des Bandpasses. Das Diracgewicht bei $f_{\rm T} = 100\ \rm kHz$ wird dadurch erhöht von ursprünglich $8 \ \rm V$ auf
- $$\text{8 V + 0.75 · 0.01/V}^2 · 4^3 \text{ V}^3 = 8.48 \ \rm V.$$
- Weiterhin liefert der dritte Spektralanteil von Teilaufgabe (4) einen unerwünschten Beitrag zu $S_+(f)$. Dabei gilt:
- $$q^2(t) = \left[A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t)+A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 9} t)\right]^2 = A_{\rm 1}^2 \cdot \cos^2(\omega_{\rm 1} t)+ A_{\rm 9}^2 \cdot \cos^2(\omega_{\rm 9}t) + 2 \cdot A_{\rm 1} \cdot A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t)\cdot \cos(\omega_{\rm 9} t)$$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.2cm} q^2(t) = \frac{A_{\rm 1}^2}{2} +\frac{A_{\rm 1}^2}{2} \cdot \cos(\omega_{\rm 2} t)+ \frac{A_{\rm 9}^2}{2} + \frac{A_{\rm 9}^2}{2} \cdot \cos(\omega_{\rm 18} t) + A_{\rm 1} \cdot A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 8} t)+ A_{\rm 1} \cdot A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 10} t).$$
- Nach der Multiplikation mit $z(t)$ fallen alle diese Beiträge bis auf den vierten in den Bereich von $\text{90 kHz}$ bis $\text{110 kHz}$. Das Gewicht bei $f_{\rm T} = 100\ \rm kHz$ wird um $3 · c_3 · A_{\rm T} · 0.5 (A_1^2 + A_9^2) = 0.6\ \rm V$ weiter erhöht und ist somit $9.08 \ \rm V$.
- Weitere Anteile ergeben sich bei:
- $98 \ \rm kHz$ und $102 \ \rm kHz$ mit den Gewichten $c_3 · A_{\rm T}/2 · A_1^2/2 = 0.03\ \rm V$,
- $92 \ \rm kHz$ und $108 \ \rm kHz$ mit den Gewichten $3c_3 · A_{\rm T}/2 · A_1 · A_9 = 0.12\ \rm V$,
- $90 \ \rm kHz$ und $110 \ \rm kHz$ mit den Gewichten $3c_3 · A_{\rm T}/2 · A_1 · A_9 = 0.12\ \rm V$.
Die untere Skizze in obiger Grafik zeigt das Spektrum $S_+(f)$ unter Berücksichtigung der kubischen Anteile.
- Man erkennt, dass neue Frequenzen entstanden sind, was auf nichtlineare Verzerrungen hindeutet.
- Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 3.
