Aufgaben:Aufgabe 3.3Z: Kenngrößenbestimmung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 25. März 2020, 15:06 Uhr

Spektrum des analytischen Signals

Wir betrachten die Phasenmodulation der harmonischen Schwingung

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) \hspace{0.05cm},$$

die bei Voraussetzung einer normierten Trägeramplitude $(A_{\rm T} = 1)$ zu folgendem Sendesignal führt:

$$ s(t) = \cos \hspace{-0.1cm}\big[\omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t) \big]\hspace{0.05cm}.$$

Das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals $s_{\rm TP}(t)$ lautet allgemein:

$$S_{\rm TP}(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\phi_{\rm N}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} 90^\circ) }\cdot \hspace{0.05cm} \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}$$

Hierbei bezeichnet man $η = K_{\rm PM} · A_{\rm N}$ als den Modulationsindex.

In der Grafik ist das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ getrennt nach Real- und Imaginärteil dargestellt. Aus diesem sollen die Kenngrößen $f_{\rm T}$, $f_{\rm N}$, $ϕ_{\rm N}$ und $η$ ermittelt werden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Phasenmodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation.

Zur Berechnung des Modulationsindex können Sie folgende Eigenschaft der Besselfunktion ausnutzen:

$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm J}_{2} (\eta)= {2}/{\eta} \cdot {\rm J}_{1} (\eta) - {\rm J}_{0} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

$f_{\rm T} \ = \ $

$\ \rm kHz$

$f_{\rm N} \ = \ $

$\ \rm kHz$

$|S_{\rm TP}(f = 3 \ \rm kHz)| \ = \ $

${\rm arc} \ S_{\rm TP}(f = 3\ \rm kHz) \ = \ $

$\ \rm Grad$

$|S_{\rm TP}(f = 6 \ \rm kHz)| \ = \ $

${\rm arc} \ S_{\rm TP}(f = 6\ \rm kHz) \ = \ $

$\ \rm Grad$

$ϕ_{\rm N} \ = \ $

$\ \rm Grad$

$η \ = \ $

Musterlösung

(1) Bezüglich $|S_+(f)|$ gibt es eine Symmetrie zur Trägerfrequenz $f_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline { = 40 \ \rm kHz}$. Der Abstand zwischen den Spektrallinien beträgt $f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ \rm kHz}$.

(2) Unter Berücksichtigung von $S_{\rm TP}(f = 3{\ \rm kHz}) = S_+(f = 43 \ \rm kHz)$ gilt:

$$|S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz})| = \sqrt{0.279^2 + 0.483^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.558}\hspace{0.05cm},$$

$$ {\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{0.483}{0.279} = \arctan 1.732\hspace{0.15cm}\underline { = 60^\circ} \hspace{0.05cm}.$$

(3) In analoger Weise zur Teilaufgabe (2) erhält man für die Frequenz $f = 6 \ \rm kHz$:

$$|S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz})| = \sqrt{(-0.116)^2 + 0.201^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.232}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{-0.116}{0.201} = 180^\circ - \arctan 1.732 \hspace{0.15cm}\underline {= 120^\circ} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Die Phase lautet für $n = 1$ ⇒ $f = 3 \ \rm kHz$ entsprechend Teilaufgabe (2):

$$ \phi_{\rm N} + 90^\circ = 60^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} = -30^\circ\hspace{0.05cm}.$$

Die Überprüfung dieses Ergebnisses mit $n = 2$ ⇒ $f = 6 \ \rm kHz$ entsprechend Teilaufgabe (3) liefert den gleichen Wert:

$$ 2\cdot (\phi_{\rm N} + 90^\circ) = 120^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= -30^\circ}\hspace{0.05cm}.$$

(5) Die angegebene Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:

$$\eta = \frac{2 \cdot {\rm J}_{1}{(\eta)}}{{\rm J}_{0}(\eta) + {\rm J}_{2}(\eta)} \hspace{0.05cm}.$$

Mit ${\rm J}_0(η) = 0.512$, ${\rm J}_1(η) = 0.558$ und ${\rm J}_2(η) = 0.232$ erhält man somit:

$$ \eta = \frac{2 \cdot 0.558}{0.512 + 0.232}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID1085__Mod_Z_3_3.png|right|]]
+[[Datei:P_ID1085__Mod_Z_3_3.png|right|frame|Spektrum des analytischen Signals]]
 Wir betrachten die Phasenmodulation der harmonischen Schwingung
-$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) \hspace{0.05cm},$$
+:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) \hspace{0.05cm},$$
-die bei Voraussetzung einer normierten Trägeramplitude ($A_T = 1$) zu folgendem Sendesignal führt:
+die bei Voraussetzung einer normierten Trägeramplitude &nbsp;$(A_{\rm T} = 1)$&nbsp; zu folgendem Sendesignal führt:
-$$ s(t) = \cos \left(\omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t) \right)\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ s(t) = \cos \hspace{-0.1cm}\big[\omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t) \big]\hspace{0.05cm}.$$
-Das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals $s_{TP}(t)$ lautet allgemein:
+Das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; lautet allgemein:
-$$S_{\rm TP}(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\phi_{\rm N}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} 90^\circ) }\cdot \hspace{0.05cm} \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}$$
+:$$S_{\rm TP}(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\phi_{\rm N}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} 90^\circ) }\cdot \hspace{0.05cm} \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}$$
-Hierbei bezeichnet man $η = K_{PM} · A_N$ als den Modulationsindex.
+Hierbei bezeichnet man &nbsp;$η = K_{\rm PM} · A_{\rm N}$&nbsp; als den Modulationsindex.
-In der Grafik ist das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ getrennt nach Real- und Imaginärteil dargestellt. Aus diesem sollen die Kenngrößen $f_T$, $f_N$, $ϕ_N$ und $η$ ermittelt werden.
+In der Grafik ist das Spektrum &nbsp;$S_+(f)$&nbsp; des analytischen Signals &nbsp;$s_+(t)$&nbsp; getrennt nach Real- und Imaginärteil dargestellt. Aus diesem sollen die Kenngrößen &nbsp;$f_{\rm T}$, &nbsp;$f_{\rm N}$, &nbsp;$ϕ_{\rm N}$&nbsp; und &nbsp;$η$&nbsp; ermittelt werden.
-'''Hinweis:'''  Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM) Kapitel 3.1]. Zur Berechnung des Modulationsindex können Sie folgende Eigenschaft der Besselfunktion ausnutzen:
-$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm J}_{2} (\eta)= {2}/{\eta} \cdot {\rm J}_{1} (\eta) - {\rm J}_{0} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$
+''Hinweise:''
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
+*Zur Berechnung des Modulationsindex können Sie folgende Eigenschaft der Besselfunktion ausnutzen:
+:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm J}_{2} (\eta)= {2}/{\eta} \cdot {\rm J}_{1} (\eta) - {\rm J}_{0} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß sind die Frequenzen $f_T$ und $f_N$?
+{Wie groß sind die Frequenzen &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm N}$?
 |type="{}"}
-$f_T$ = { 40 3% } $KHz$
+$f_{\rm T} \ = \ $  { 40 3% } $\ \rm kHz$
-$f_N$ = { 3 3% } $KHz$
+$f_{\rm N} \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm kHz$
-{Berechnen Sie den Betrag und die Phase von $S_{TP}(f = 3 kHz)$.
+{Berechnen Sie den Betrag und die Phase von &nbsp;$S_{\rm TP}(f = 3 \ \rm kHz)$.
 |type="{}"}
-$|S_{TP}(f = 3 kHz)|$ = { 0.558 3% }
+$|S_{\rm TP}(f = 3 \ \rm kHz)| \ = \ $  { 0.558 3% }
-$arc S_{TP}(f = 3 kHz)$ = { 60 3% } $Grad$
+${\rm arc} \ S_{\rm TP}(f = 3\ \rm  kHz) \ = \ $ { 60 3% } $\ \rm Grad$
-{Berechnen Sie den Betrag und die Phase von $S_{TP}(f = 6 kHz)$.
+{Berechnen Sie den Betrag und die Phase von &nbsp;$S_{\rm TP}(f = 6 \ \rm kHz)$.
 |type="{}"}
-$|S_{TP}(f = 6 kHz)|$ = { 0.232 3% }
+$|S_{\rm TP}(f = 6 \ \rm kHz)| \ = \ $ { 0.232 3% }
-$arc S_{TP}(f = 6 kHz)$ = { 120 3% } $Grad$
+${\rm arc} \ S_{\rm TP}(f = 6\ \rm  kHz) \ = \ $ { 120 3% } $\ \rm Grad$
-{Wie groß ist die Phase des Quellensignals?
+{Wie groß ist die Phase des Quellensignals &nbsp;$q(t)$?
 |type="{}"}
-$ϕ_N$ = { -30 3% } $Grad$
+$ϕ_{\rm N} \ = \ $ { -30.9--29.1 } $\ \rm Grad$
-{Wie groß ist der Modulationsindex?
+{Wie groß ist der Modulationsindex &nbsp;$η$&nbsp;?
 |type="{}"}
-$η$ = { 1.5 3% }
+$η \ = \ $ { 1.5 3% }
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Bezüglich $|S_+(f)|$ gibt es eine Symmetrie zur Trägerfrequenz $f_T = 40 kHz$. Der Abstand zwischen den Spektrallinien beträgt $f_N = 3 kHz$.
+'''(1)'''&nbsp; Bezüglich&nbsp; $|S_+(f)|$&nbsp; gibt es eine Symmetrie zur Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline { = 40 \ \rm kHz}$.&nbsp;  Der Abstand zwischen den Spektrallinien beträgt&nbsp; $f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ \rm kHz}$.
+'''(2)'''&nbsp; Unter Berücksichtigung von&nbsp; $S_{\rm TP}(f = 3{\ \rm kHz}) = S_+(f = 43 \ \rm kHz)$&nbsp; gilt:
+:$$|S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz})| = \sqrt{0.279^2 + 0.483^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.558}\hspace{0.05cm},$$
+:$$ {\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{0.483}{0.279} = \arctan 1.732\hspace{0.15cm}\underline { = 60^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
+'''(3)'''&nbsp; In analoger Weise zur Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man für die Frequenz&nbsp; $f = 6 \ \rm kHz$:
+:$$|S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz})| = \sqrt{(-0.116)^2 + 0.201^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.232}\hspace{0.05cm},$$
+:$${\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{-0.116}{0.201} = 180^\circ - \arctan 1.732 \hspace{0.15cm}\underline {= 120^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
-'''2.''' Unter Berücksichtigung von $S_{TP}(f = 3 kHz) = S_+(f = 43 kHz)$ gilt:
+'''(4)'''&nbsp; Die Phase lautet für&nbsp; $n = 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f = 3 \ \rm kHz$&nbsp; entsprechend Teilaufgabe&nbsp; '''(2)''':
-$$|S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz})| = \sqrt{0.279^2 + 0.483^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.558}\hspace{0.05cm},$$
+:$$ \phi_{\rm N} + 90^\circ = 60^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} = -30^\circ\hspace{0.05cm}.$$
-$$ {\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{0.483}{0.279} = \arctan 1.732\hspace{0.15cm}\underline { = 60^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
+*Die Überprüfung dieses Ergebnisses mit&nbsp; $n = 2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f = 6 \ \rm kHz$&nbsp; entsprechend Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; liefert den gleichen Wert:
+:$$ 2\cdot (\phi_{\rm N} + 90^\circ) = 120^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= -30^\circ}\hspace{0.05cm}.$$
-'''3.''' n analoger Weise zur Teilaufgabe b) erhält man für $6 kHz$:
-$$|S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz})| = \sqrt{(-0.116)^2 + 0.201^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.232}\hspace{0.05cm},$$
-$${\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{-0.116}{0.201} = 180^\circ - \arctan 1.732 \hspace{0.15cm}\underline {= 120^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
-'''4.''' Die Phase lautet für $n = 1$ (siehe Teilaufgabe b):
-$$ \phi_{\rm N} + 90^\circ = 60^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} = -30^\circ\hspace{0.05cm}.$$
-Die Überprüfung dieses Ergebnisses mit $n = 2$ liefert den gleichen Wert:
-$$ 2\cdot (\phi_{\rm N} + 90^\circ) = 120^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= -30^\circ}\hspace{0.05cm}.$$
-'''5.'''  Die angegebene Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:
+'''(5)'''&nbsp; Die angegebene Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:
-$$\eta = \frac{2 \cdot {\rm J}_{1}{(\eta)}}{{\rm J}_{0}(\eta) + {\rm J}_{2}(\eta)} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\eta = \frac{2 \cdot {\rm J}_{1}{(\eta)}}{{\rm J}_{0}(\eta) + {\rm J}_{2}(\eta)} \hspace{0.05cm}.$$
-Mit $J_0(η) = 0.512$, $J_1(η) = 0.558$ und $J_2(η) = 0.232$ erhält man somit:
+*Mit&nbsp; ${\rm J}_0(η) = 0.512$,&nbsp; ${\rm J}_1(η) = 0.558$&nbsp; und&nbsp; ${\rm J}_2(η) = 0.232$&nbsp; erhält man somit:
-$$ \eta = \frac{2 \cdot 0.558}{0.512 + 0.232}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ \eta = \frac{2 \cdot 0.558}{0.512 + 0.232}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$