Aufgaben:Aufgabe 5.5: Mehrteilnehmer–Interferenzen

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$\rm PAKF$  und  $\rm PKKF$  von M–Sequenzen mit  $P = 31$

Wir betrachten die PN–Modulation mit folgenden Parametern:

• Die Spreizung erfolgt mit der M–Sequenz mit Oktalkennung  $(45)$,  ausgehend vom Grad  $G = 5$.  Die Periodenlänge ist somit  

$$P = 2^5 –1 = 31.$$

• Der AWGN–Parameter wird mit  $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 5 \ \rm dB$  festgelegt   ⇒   $E_{\rm B}/N_0 = 3.162 = 1/0.316$.
• Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit beträgt ohne interferierende Teilnehmer im gleichen Frequenzband:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ {2\cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\right ) \approx {\rm Q} \left ( \sqrt{2 \cdot 3.162}\right ) = {\rm Q} \left ( 2.515 \right ) \approx 6 \cdot 10^{-3} \hspace{0.05cm}.$$

• Da ohne interferierende Teilnehmer alle Nutzabtastwerte gleich  $±s_0$  sind  ("Nyquistsystem"),  ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit mit dem Rauscheffektivwert  $σ_d$  vor dem Entscheider  $($herrührend vom AWGN–Rauschen$)$  wie folgt gegeben:  

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( {s_0}/{\sigma_d}\right ) \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll untersucht werden, wie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit durch einen zusätzlichen Teilnehmer verändert wird.

• Die möglichen Spreizfolgen des interferierenden Teilnehmers seien ebenfalls durch $P = 31$ festgelegt.  Zur Verfügung stehen die PN–Generatoren mit den Oktalkennungen  $(45)$,  $(51)$,  $(57)$,  $(67)$,  $(73)$ und  $(75)$.

• In der Tabelle sind die PKKF–Werte für  $λ = 0$  angegeben, desweiteren auch der jeweilige Maximalwert für eine beliebige Anfangsphase:

$$ {\rm Max}\,\,|{\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}i}| = \max_{\lambda} \,\,|{\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}i}(\lambda)| \hspace{0.05cm}.$$

• Der Sonderfall  $φ_\text{45, 45}(λ = 0)$  gibt den PAKF–Wert der Spreizfolge mit der Oktalkennung   $(45)$  an.

Im Verlauf dieser Aufgabe und in der Musterlösung werden folgende Signale erwähnt:

 $q(t)$:   binäres bipolares Quellensignal,  Symboldauer  $T$,

 $c(t)$:   $±1$–Spreizsignal,  Chipdauer  $T_c$,

 $s(t)$:   bandgespreiztes Sendesignal; es gilt  $s(t) = q(t) · c(t)$, Amplitude  $±s_0$,  Chipdauer  $T_c$,

 $n(t)$:   AWGN–Rauschen,  gekennzeichnet durch den Quotienten  $E_{\rm B}/N_0$,

 $i(t)$:   Interferenzsignal des störenden Teilnehmers,

 $r(t)$:   Empfangssignal;  es gilt  $r(t) = s(t) + n(t) + i(t)$,

 $b(t)$:   bandgestauchtes Signal;  es gilt  $b(t)= r(t) · c(t)$,

 $d(t)$:   Detektionssignal nach Integration von  $b(t)$  über die Symboldauer  $T$,

 $v(t)$:   Sinkensignal,  der Vergleich mit  $q(t)$  liefert die Fehlerwahrscheinlichkeit.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Fehlerwahrscheinlichkeit der PN-Modulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  Zwei Teilnehmer mit M–Sequenz–Spreizung.
• Für die so genannte  Q-Funktion  kann von folgenden Näherungen ausgegangen werden:

$$ {\rm Q} (2) \approx 0.02275, \hspace{0.2cm}{\rm Q} (3) \approx 0.00135, \hspace{0.2cm}{\rm Q} (5) \approx 2.45 \cdot 10^{-7} \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Wie groß ist der (normierte) Rauscheffektivwert am Entscheider?

$σ_d/s_0 \ = \ $

2

Wie groß ist Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$,  wenn der störende Teilnehmer  $i(t)$  die gleiche M–Sequenz mit Oktalkennung  $(45)$  nutzt wie der betrachtete Teilnehmer?

$p_{\rm B}\ = \ $ $\ \%$

3

Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  ergibt sich näherungsweise,  wenn der störende Teilnehmer $i(t)$  die M–Sequenz mit Oktalkennung  $(75)$  nutzt?

$p_{\rm B}\ = \ $ $\ \%$

4

Welche Aussagen könnten unter Umständen für eine andere Spreizfolge des interferierenden Teilnehmers möglich sein?

	Mit der Oktalkennung  $(51)$  ist   $p_{\rm B} = 0.1\%$   möglich.
	Mit der Oktalkennung  $(57)$  ist   $p_{\rm B} = 0.7\%$   möglich.
	Mit der Oktalkennung  $(67)$  ist   $p_{\rm B} = 1.2\%$   möglich.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Aus den beiden vorne angegebenen Gleichungen folgt direkt:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}(2.515) = {\rm Q}({s_0}/{\sigma_d}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \frac{\sigma_d}{s_0} = \frac{1}{2.515} = 0.398 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.4} \hspace{0.05cm}.$$

• Man könnte diese Größe aber auch über die allgemeinere Gleichung

$$ \sigma_d^2 = \frac{N_0}{2 }\cdot\int^{+\infty}_{-\infty} |H_{\rm I}(f) |^2 \,\,{\rm d} {\it f}\hspace{0.05cm} = \frac{N_0}{2 }\cdot\int^{+\infty}_{-\infty}{\rm si}^2(\pi f T)\,\,{\rm d} {\it f} = \frac{N_0}{2T } \hspace{0.05cm}$$

berechnen.  Hierbei beschreibt  $H_{\rm I}(f)$  den Integrator im Frequenzbereich.

• Mit  $E_{\rm B}= s_0^2 · T$  erhält man das gleiche Ergebnis:

$$\frac{\sigma_d^2}{s_0^2} = \frac{N_0}{2 \cdot s_0^2 \cdot T } = \frac{N_0}{2 E_{\rm B} } = \frac{0.316}{2 } = 0.158\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\sigma_d}/{s_0} = 0.398 \approx 0.4 \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Benutzt der interferierende Teilnehmer die gleiche M–Sequenz  $(45)$  wie der betrachtete Nutzer,
        so sind die (normierten) Detektionsnutzabtastwerte gleich  $+2$  $($zu  $25\%)$,  $-2$  $($zu  $25\%)$  und  $0$  $($zu  $50\%)$.

• Bei  $d(νT) = ±2$  wird die Fehlerwahrscheinlichkeit für den betrachteten Teilnehmer signifikant verkleinert.  In diesem Fall übertragen beide Nutzer das gleiche Bit  $($„$+1$” oder „$-1$”$)$  und der Abstand von der Schwelle wird verdoppelt:

$$ p_{\rm B}\,\,\big [{\rm falls}\,\, d (\nu T) = \pm 2s_0 \big ] = {\rm Q} \left ( 2 \cdot 2.515 \right ) = {\rm Q} \left ( 5.03 \right ) \approx 2.45 \cdot 10^{-7} \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$

• Ist dagegen   $d(νT) = 0$  (zum Beispiel, wenn  $a_\text{1(s)} = +1$  und  $a_\text{1(i)} = -1$   gilt oder umgekehrt),  so löschen sich die Signale vollständig aus und man erhält

$$p_{\rm B}\,\,\big[{\rm falls}\,\, d (\nu T) = 0 \big] = {\rm Q} \left ( 0 \right ) = 0.5 \hspace{0.05cm}.$$

• Durch Mittelung über diese beiden gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten ergibt sich so für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm B}= 0.5 \cdot 2.45 \cdot 10^{-7}+ 0.5 \cdot 0.5 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 25\%} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Wir betrachten zunächst nur den Nutzanteil   ⇒   $n(t) = 0$,  beschränken uns auf das erste Datensymbol und setzen den Koeffizienten  $a_\text{1(s)} = +1$  voraus.

• Dann gilt innerhalb dieses Datenbits  $s(t) = c_{45}(t)$.
• Ist der Koeffizient  $a_\text{1(i)} $  des interferierenden Teilnehmers ebenfalls  $+1$,  so erhält man für die vorne spezifizierten Signale im Zeitintervall von  $0$  bis  $T$:

$$ r(t) = c_{45}(t) + c_{75}(t)\hspace{0.05cm},$$

$$b(t) = r(t) \cdot c_{45}(t) = \left [c_{45}(t) + c_{75}(t) \right ] \cdot c_{45}(t) = 1+ c_{45}(t) \cdot c_{75}(t) \hspace{0.05cm},$$

$$ d (T) = \frac{1}{T} \cdot \int_{0 }^{ T} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1 + {\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}75}(\lambda = 0) \hspace{0.05cm}.$$

• Hierbei bezeichnet  $φ_\text{45, 75}(τ)$  die PKKF zwischen den Spreizfolgen mit den Oktalkennungen  $(45)$  und  $(75)$,  die in der Tabelle auf der Angabenseite zu finden sind.

• Entsprechend gilt für den Detektionsnutzabtastwert unter der Voraussetzung   $a_\text{1(s)} = +1$   und   $a_\text{1(i)} =-1$:

$$d (T) = 1 - {\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}75}(\lambda = 0) \hspace{0.05cm}.$$

• Aus Symmetriegründen liefern die Koeffizienten  $a_\text{1(s)}  = -1$,  $a_\text{1(i)} = -1$  sowie  $a_\text{1(s)} = -1$,  $a_\text{1(i)} = +1$  die genau gleichen Beiträge für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit wie  $a_\text{1(s)} = +1$,  $a_\text{1(i)} = +1$  bzw.  $a_{1(s)} = +1$,  $a_{1(i)} = –1$,  wenn man zudem das AWGN–Rauschen berücksichtigt.

• Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (1)  und mit  $φ_\text{45, 75}(λ = 0) = 7/31$  erhält man somit näherungsweise:

$$p_{\rm B} = \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( \frac{1+ 7/31}{0.4} \right ) + \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( \frac{1- 7/31}{0.4} \right ) = \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( \frac{1.225}{0.4} \right ) + \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( \frac{0.775}{0.4} \right ) = \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( 3.06 \right ) + \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( 1.94 \right )$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B}\approx \frac{1}{2} \cdot \left [{\rm Q} \left ( 3 \right ) + {\rm Q} \left ( 2 \right ) \right ] = \frac{1}{2} \cdot \left [0.00135 + 0.02275 \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1.2\%}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Möglich sind die  Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Der PKKF–Wert  $φ_\text{45, 57}(λ = 0)$  ist betragsmäßig nur  $1/31$  und damit ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nur geringfügig größer als  $0.6\%$.
• Die Folge mit den Oktalkennung  $(67)$  führt dagegen zur gleichen PKKF wie die Folge  $(75)$.
• Ohne störenden Teilnehmer gilt entsprechend dem Angabenblatt:   $p_{\rm B} = 0.6\%$.
• Mit Interferenz kann dieser Wert nicht unterschritten werden   ⇒   Der Lösungsvorschlag 1 ist nicht möglich.