Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Thermisches Rauschen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. November 2021, 14:33 Uhr

Beispielhafte Signale für
TP– und BP–Rauschen

Eine fundamentale und bei jedem Nachrichtensystem auftretende Störung ist Thermisches Rauschen, da jeder Widerstand $R$ mit der absoluten Temperatur $θ$ (in „Grad Kelvin”) ein Rauschsignal $n(t)$ mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte

$${N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.3cm}\left(k_{\rm B} = 1.38 \cdot 10^{-23} \hspace{0.05cm}{\rm Ws}/{\rm K}\right)$$

abgibt. $k_{\rm B}$ bezeichnet man als die "Boltzmann–Konstante".

Allerdings ist diese aus physikalischen Gründen auf $6\text{ THz}$ begrenzt. Weiterhin ist zu beobachten, dass der Minimalwert ${N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}$ nur bei exakter Widerstandsanpassung erreicht werden kann.

Bei der Realisierung einer Schaltungseinheit – zum Beispiel eines Verstärkers – ist die wirksame Rauschleistungsdichte meist deutlich größer, da sich mehrere Rauschquellen addieren und zudem Fehlanpassungen eine Rolle spielen. Dieser Effekt wird durch die Rauschzahl $F \ge 1$ erfasst. Es gilt:

$$N_0 = F \cdot {N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.05cm}.$$

Für die wirksame Rauschleistung gilt mit der Bandbreite $B$:

$$N = N_0 \cdot B \hspace{0.1cm} \hspace{0.01cm}.$$

$$N = N_0 \cdot B\cdot R = \sigma_n^2 \hspace{0.01cm}.$$

Nach der ersten Gleichung ergibt sich die tatsächliche, physikalische Leistung in „Watt” $\rm (W)$.
Nach der zweiten Gleichung hat das Ergebnis die Einheit „$\rm V^{ 2 }$”.
Das heißt: Hier ist die Leistung – wie in der Nachrichtentechnik oft üblich – auf den Bezugswiderstand $R = 1\ Ω$ umgerechnet.
Diese Gleichung muss auch herangezogen werden, um den Effektivwert (die Streuung) $σ_n$ des Rauschsignals $n(t)$ zu berechnen.

Alle Gleichungen gelten unabhängig davon, ob es sich um Tiefpass– oder Bandpass–Rauschen handelt. Die Grafik zeigt zwei Rauschsignale $n_1(t)$ und $n_2(t)$ gleicher Bandbreite. In Teilaufgabe (4) ist gefragt, welches dieser Signale am Ausgang eines Tiefpasses bzw. eines Bandpasses auftreten wird.

Die zweiseitige Rauschleistungsdichte von bandbegrenztem Tiefpass–Rauschen $n_{\rm TP}(t)$ lautet:

$$ {\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm TP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < B,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}$$

Dagegen gilt bei bandpassartigem Rauschen $n_{\rm BP}(t)$ mit der Mittenfrequenz $f_{\rm M}$:

$${\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm BP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f - f_{\rm M}\hspace{0.05cm} \right| < B/2,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}.$$

Für alle nachfolgenden numerischen Berechnungen wird vorausgesetzt:

$$ F = 10, \hspace{0.2cm}\theta = 290\,{\rm K},\hspace{0.2cm}R = 50\,{\rm \Omega},\hspace{0.2cm}B = 30\,{\rm kHz},\hspace{0.2cm}f_{\rm M} = 0 \hspace{0.1cm}{\rm bzw.}\hspace{0.1cm}100\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Qualitätskriterien.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Einige Anmerkungen zum AWGN–Kanalmodel.
Durch die Angabe der Leistungen in $\rm W$att sind diese unabhängig vom Bezugswiderstand $R$, während die Leistung mit der Einheit $\rm V^2$ nur für $R = 1\ \Omega$ direkt ausgewertet werden kann.

Fragebogen

$N_0 \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -20 }\ \text{W/Hz}$

$N_{\rm max} \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -6 }\ \text{W/Hz}$

$N \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -16 }\ \text{W/Hz}$

$σ_n \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -6 }\ \text{V}$

	Das Rauschsignal $n_1(t)$ hat Tiefpass–Charakter.
	Das Rauschsignal $n_1(t)$ hat Bandpass–Charakter.

${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 20 \ \rm kHz) \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -12 }\ \text{W/Hz}$

${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f = 120 \ \rm kHz) \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -12 }\ \text{W/Hz}$

Musterlösung

(1) Mit der Boltzmann–Konstante $k_{\rm B}$ gilt:

$$N_0 = F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta = 10 \cdot 1.38\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-23} \hspace{0.05cm}\frac{\rm Ws}{\rm K}\cdot 290\,{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 4\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-20} \hspace{0.05cm}{\rm W}/{\rm Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Die angegebene Rauschleistungsdichte $N_0$ ist physikalisch auf $6$ THz begrenzt. Damit beträgt die maximale Rauschleistung:

$$N_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-20} \hspace{0.08cm}\frac{\rm W}{\rm Hz}\cdot 6 \cdot10^{12} \hspace{0.08cm}{\rm Hz}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.24\hspace{0.08cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm W}}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Nun ergibt sich für die Rauschleistung:

$$N = N_0 \cdot B = 4\hspace{0.08cm}\cdot 10^{-20} \hspace{0.08cm}\frac{\rm W}{\rm Hz}\cdot 3 \cdot10^{4} \hspace{0.08cm}{\rm Hz}\hspace{0.15cm}\underline {= 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm W}}\hspace{0.05cm}.$$

Umgerechnet auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ Ω$:

$$N = N_0 \cdot B \cdot R = 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm W}\hspace{0.05cm} \cdot 50 \; {\rm \Omega}= 6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}\hspace{0.05cm}.$$

Leistungsdichtespektren bei
bandbegrenztem Rauschen

Der Rauscheffektivwert $σ_n$ ist die Quadratwurzel hieraus:

$$\sigma_n= \sqrt{6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.245 \hspace{0.05cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

Im Zufallssignal $n_2(t)$ erkennt man gewisse Regelmäßigkeiten ähnlich einer harmonischen Schwingung – es ist Bandpass–Rauschen.
Dagegen handelt es sich beim Signal $n_1(t)$ um Tiefpass–Rauschen.

(5) Die Rauschleistungsdichte des Zufallssignals $n_1(t)$ ist im Frequenzbereich $|f| < 30$ kHz konstant:

$${\it \Phi}_{n,\hspace{0.05cm}{ \rm TP} }(f) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} \frac{N_0}{2} \hspace{0.15cm}\underline {=2\hspace{0.05cm}\hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} 10^{-12} \hspace{0.05cm}{\rm W}/{\rm Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

Dieser Wert gilt somit auch für die Frequenz $f = 20$ kHz.

(6) Wie aus der Grafik hervorgeht, ist ${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f)$ nur im Bereich zwischen $85$ kHz und $115$ kHz ungleich Null, wenn die Bandbreite $B = 30$ kHz beträgt.

Bei der Frequenz $f = 120$ kHz ist die Rauschleistungsdichte somit Null:

$${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f = 120 \ \rm kHz)\hspace{0.15cm}\underline{=0}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID953__Mod_Z_1_3.png|right|]]
+[[Datei:P_ID953__Mod_Z_1_3.png|right|frame|Beispielhafte Signale für <br>TP– und BP–Rauschen]]
-Eine fundamentale und bei jedem Nachrichtensystem auftretende Störung ist das thermische Rauschen, da jeder Widerstand $R$ mit der absoluten Temperatur $θ$ (in „Grad Kelvin”) ein Rauschsignal $n(t)$ mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte
+Eine fundamentale und bei jedem Nachrichtensystem auftretende Störung ist&nbsp; '''Thermisches Rauschen''',&nbsp; da jeder Widerstand &nbsp;$R$&nbsp; mit der absoluten Temperatur &nbsp;$θ$&nbsp; (in „Grad Kelvin”)&nbsp; ein Rauschsignal &nbsp;$n(t)$&nbsp; mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte
-$$N_{0,min} = k_B \cdot \theta ( k_B = 1.38 \cdot 10^{ -23 } Ws/K)$$
+:$${N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= k_{\rm B} \cdot \theta
-abgibt. $k_B$ bezeichnet man als die Boltzmann–Konstante.
+\hspace{0.3cm}\left(k_{\rm B} = 1.38 \cdot 10^{-23}
+\hspace{0.05cm}{\rm Ws}/{\rm K}\right)$$
+abgibt.&nbsp; $k_{\rm B}$&nbsp; bezeichnet man als die&nbsp; "Boltzmann–Konstante".
-Allerdings ist diese aus physikalischen Gründen auf $6$ $\text{THz}$ begrenzt. Weiterhin ist zu beobachten, dass dieser minimale Wert nur bei exakter Widerstandsanpassung erreicht werden kann.
+Allerdings ist diese aus physikalischen Gründen auf &nbsp;$6\text{ THz}$&nbsp; begrenzt.&nbsp; Weiterhin ist zu beobachten,&nbsp; dass der Minimalwert&nbsp; ${N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}$&nbsp; nur bei exakter Widerstandsanpassung erreicht werden kann.
-Bei der Realisierung einer Schaltungseinheit – zum Beispiel eines Verstärkers – ist die wirksame Rauschleistungsdichte meist deutlich größer, da sich mehrere Rauschquellen addieren und zudem Fehlanpassungen eine Rolle spielen. Dieser Effekt wird durch die Rauschzahl F erfasst, und es gilt:
+Bei der Realisierung einer Schaltungseinheit – zum Beispiel eines Verstärkers – ist die wirksame Rauschleistungsdichte meist deutlich größer,&nbsp; da sich mehrere Rauschquellen addieren und zudem Fehlanpassungen eine Rolle spielen.&nbsp; Dieser Effekt wird durch die Rauschzahl &nbsp;$F \ge 1$&nbsp; erfasst.&nbsp; Es gilt:
-$$N_0 = F \cdot {N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.05cm}.$$
+:$$N_0 = F \cdot {N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.05cm}.$$
-Für die wirksame Rauschleistung gilt mit der Bandbreite $B$:
+Für die wirksame Rauschleistung gilt mit der Bandbreite&nbsp; $B$:
-$$N = N_0 \cdot B \hspace{0.1cm}\left(= N_0 \cdot B\cdot R = \sigma_n^2\right) \hspace{0.01cm}.$$
+:$$N = N_0 \cdot B \hspace{0.1cm} \hspace{0.01cm}.$$
-Nach der ersten Gleichung ergibt sich die tatsächliche, physikalische Leistung in „W”. Nach der zweiten, in Klammern angegebenen Gleichung hat das Ergebnis die Einheit „$V^{ 2 }$”. Das heißt: Hier ist die Leistung – wie in der Nachrichtentechnik allgemein üblich – auf den Bezugswiderstand $\text{R = 1 Ω}$ umgerechnet. Diese Gleichung muss auch herangezogen werden, um den Effektivwert (die Streuung) σn des Rauschsignals $n(t)$ zu berechnen.
+:$$N = N_0 \cdot B\cdot R = \sigma_n^2 \hspace{0.01cm}.$$
-Alle Gleichungen gelten unabhängig davon, ob es sich um Tiefpass– oder Bandpass–Rauschen handelt. Die Grafik zeigt zwei Rauschsignale $n_1(t)$ und $n_2(t)$ bei gleicher Bandbreite. In der Teilaufgabe (d) ist gefragt, welches dieser Signale am Ausgang eines Tiefpasses bzw. eines Bandpasses auftreten wird.
+*Nach der ersten Gleichung ergibt sich die tatsächliche,&nbsp; physikalische Leistung in&nbsp; „Watt”&nbsp; $\rm (W)$.
+*Nach der zweiten Gleichung hat das Ergebnis die Einheit&nbsp; „$\rm V^{ 2 }$”.
+*Das heißt: &nbsp; Hier ist die Leistung – wie in der Nachrichtentechnik oft üblich – auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1\ Ω$&nbsp; umgerechnet.
+*Diese Gleichung muss auch herangezogen werden,&nbsp; um den Effektivwert&nbsp; (die Streuung)&nbsp; $σ_n$&nbsp; des Rauschsignals &nbsp;$n(t)$&nbsp; zu berechnen.
-Die zweiseitige Rauschleistungsdichte von bandbegrenztem Tiefpass–Rauschen $n_{TP}(t)$ lautet:
-$$ {\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm TP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < B,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}$$
+Alle Gleichungen gelten unabhängig davon,&nbsp; ob es sich um Tiefpass– oder Bandpass–Rauschen handelt.&nbsp; Die Grafik zeigt zwei Rauschsignale &nbsp;$n_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$n_2(t)$&nbsp; gleicher Bandbreite.&nbsp; In Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; ist gefragt,&nbsp; welches dieser Signale am Ausgang eines Tiefpasses bzw. eines Bandpasses auftreten wird.
-Dagegen gilt bei bandpassartigem Rauschen $n_{BP}(t)$ mit der Mittenfrequenz $f_M$:
-$${\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm BP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f - f_{\rm M}\hspace{0.05cm} \right| < B/2,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}.$$
+Die zweiseitige Rauschleistungsdichte von bandbegrenztem Tiefpass–Rauschen &nbsp;$n_{\rm TP}(t)$&nbsp; lautet:
+:$$ {\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm TP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < B,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}$$
+Dagegen gilt bei bandpassartigem Rauschen &nbsp;$n_{\rm BP}(t)$&nbsp; mit der Mittenfrequenz &nbsp;$f_{\rm M}$:
+:$${\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm BP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f - f_{\rm M}\hspace{0.05cm} \right| < B/2,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}.$$
 Für alle nachfolgenden numerischen Berechnungen wird vorausgesetzt:
-$$ F = 10, \hspace{0.2cm}\theta = 290\,{\rm K},\hspace{0.2cm}R = 50\,{\rm \Omega},\hspace{0.2cm}B = 30\,{\rm kHz},\hspace{0.2cm}f_{\rm M} = 0 \hspace{0.1cm}{\rm bzw.}\hspace{0.1cm}100\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ F = 10, \hspace{0.2cm}\theta = 290\,{\rm K},\hspace{0.2cm}R = 50\,{\rm \Omega},\hspace{0.2cm}B = 30\,{\rm kHz},\hspace{0.2cm}f_{\rm M} = 0 \hspace{0.1cm}{\rm bzw.}\hspace{0.1cm}100\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
-'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Qualit%C3%A4tskriterien Kapitel 1.2].
+Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien|Qualitätskriterien]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|Einige Anmerkungen zum AWGN&ndash;Kanalmodel]].
+*Durch die Angabe der Leistungen in &nbsp;$\rm W$att&nbsp; sind diese unabhängig vom Bezugswiderstand &nbsp;$R$, während die Leistung mit der  Einheit &nbsp;$\rm V^2$&nbsp; nur für &nbsp;$R = 1\ \Omega$&nbsp; direkt ausgewertet werden kann.
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Rauschleistungsdichte mit $F = 10$ und $θ = 290$$\text{ K}$.
+{Berechnen Sie die Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; mit der Rauschzahl  &nbsp;$F = 10$&nbsp; und &nbsp;$θ = 290^\circ$&nbsp; Kelvin.
 |type="{}"}
-$N_0$ = { 4 3% }  $10^{ -20 }$ $\text{W/Hz}$
+$N_0 \ = \ $ { 4 3% }  $\ \cdot 10^{ -20 }\ \text{W/Hz}$
 {Wie groß ist die maximale Rauschleistung (ohne Bandbegrenzung)?
 |type="{}"}
-$N_{max}$= { 2.4 3% } $10^{ -7 }$ $\text{W}$
+$N_{\rm max} \ = \ $ { 0.24 3% } $\ \cdot 10^{ -6 }\ \text{W/Hz}$
-{Welche Rauschleistung N ergibt sich mit der Bandbreite $B = 30$ $\text{kHz}$? Wie groß ist der Rauscheffektivwert $σ_n$?
+{Welche Rauschleistung &nbsp;$N$&nbsp; ergibt sich mit der Bandbreite &nbsp;$B = 30\text{ kHz}$?&nbsp; Wie groß ist der Rauscheffektivwert &nbsp;$σ_n$?
 |type="{}"}
-$N$={ -12 3% }  $10^{ -16 }$ $\text{W}$
+$N \ = \ $ { 12 3% }  $\ \cdot 10^{ -16 }\ \text{W/Hz}$
-$σ_n$={ 0.245 3% } $10^{ -6 }$ $\text{V}$
+$σ_n \ = \ ${ 0.245 3% } $\ \cdot 10^{ -6 }\ \text{V}$
-{Welches der Signale $n_1(t)$ und $n_2(t)$ zeigt TP– und welches BP–Rauschen?
+{Welches der Signale  &ndash; &nbsp;$n_1(t)$&nbsp; oder &nbsp;$n_2(t)$&nbsp; &ndash; zeigt Tiefpass– und welches Bandpass–Rauschen?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-+ Das Rauschsignal $n_1(t)$ hat Tiefpass–Charakter.
++ Das Rauschsignal &nbsp;$n_1(t)$&nbsp; hat Tiefpass–Charakter.
-- Das Rauschsignal $n_1(t)$ hat Bandpass–Charakter.
+- Das Rauschsignal &nbsp;$n_1(t)$&nbsp; hat Bandpass–Charakter.
-{Welchen Wert hat die Rauschleistungsdichte des Tiefpass–Rauschens bei der Frequenz $f = 20$ $\text{kHz}$? Es gelte $B = 30$ $\text{kHz}$.
+{Welchen Wert hat die Rauschleistungsdichte des Tiefpass–Rauschens bei der Frequenz &nbsp;$f = 20\text{ kHz}$?&nbsp; Es gelte &nbsp;$B = 30\text{ kHz}$.
 |type="{}"}
-$Φ_{n, TP}(f = 20 kHz)$={ -12 3% } $10^{ -12 }$ $\text{W\Hz}$
+${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 20 \ \rm kHz) \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{ -12 }\ \text{W/Hz}$
-{Welchen Wert besitzt die Rauschleistungsdichte des Bandpass–Rauschens bei der Frequenz $f = 120$ $\text{kHz}$? Es gelte $f_M = 100 kHz$ und $B = 30 kHz$.
+{Welchen Wert besitzt die Rauschleistungsdichte des Bandpass–Rauschens bei &nbsp;$f = 120\text{ kHz}$?&nbsp; Es gelte &nbsp;$f_{\rm M} = 100\text{ kHz}$&nbsp; und &nbsp;$B = 30\text{ kHz}$.
 |type="{}"}
-$Φ_{n, BP}(f = 120 kHz)$= { 0 3% } $\text{W\Hz}$
+${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f = 120 \ \rm kHz) \ = \ $ { 0. } $\ \cdot 10^{ -12 }\ \text{W/Hz}$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''Mit der Boltzmann–Konstante $k_B$ gilt:
+'''(1)'''&nbsp; Mit der Boltzmann–Konstante&nbsp; $k_{\rm B}$&nbsp; gilt:
+:$$N_0 = F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta = 10 \cdot
+.38\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-23} \hspace{0.05cm}\frac{\rm
+Ws}{\rm K}\cdot 290\,{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 4\hspace{0.05cm}\cdot
+^{-20} \hspace{0.05cm}{\rm W}/{\rm Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
+'''(2)'''&nbsp; Die angegebene Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_0$&nbsp; ist physikalisch auf&nbsp; $6$&nbsp; THz begrenzt.&nbsp; Damit beträgt die maximale Rauschleistung:
+:$$N_{\rm max} =  4\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-20}
+\hspace{0.08cm}\frac{\rm W}{\rm Hz}\cdot 6 \cdot10^{12}
+\hspace{0.08cm}{\rm Hz}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.24\hspace{0.08cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm
+W}}\hspace{0.05cm}.$$
+'''(3)'''&nbsp; Nun ergibt sich für die Rauschleistung:
+:$$N = N_0 \cdot B =  4\hspace{0.08cm}\cdot 10^{-20}
+\hspace{0.08cm}\frac{\rm W}{\rm Hz}\cdot 3 \cdot10^{4}
+\hspace{0.08cm}{\rm Hz}\hspace{0.15cm}\underline {= 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm
+W}}\hspace{0.05cm}.$$
-$$N_0= F \cdot K_B \cdot \theta = 10 \cdot  1.38 \cdot 10^{ -23 } \frac{Ws}{K} \cdot 290K \approx  4 \cdot 10^{ -20 } W/Hz.$$
+* Umgerechnet auf den Bezugswiderstand&nbsp; $R = 1 \ Ω$:
+:$$N = N_0 \cdot B \cdot R = 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm
+W}\hspace{0.05cm} \cdot 50 \; {\rm \Omega}= 6\hspace{0.05cm}\cdot
+^{-14}\;{\rm V^2}\hspace{0.05cm}.$$
+[[Datei:P ID954 Mod Z 1 3e neu.png|rechts|frame|Leistungsdichtespektren bei <br>bandbegrenztem Rauschen]]
+*Der Rauscheffektivwert&nbsp; $σ_n$&nbsp; ist die Quadratwurzel hieraus:
+:$$\sigma_n= \sqrt{6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.245 \hspace{0.05cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''2.'''Die angegebene Rauschleistungsdichte $N_0$ ist physikalisch auf $6 \text{THz}$ begrenzt. Damit beträgt die maximale Rauschleistung:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-$$N_{max} = 4 \cdot  10^{ -20 }\frac{ W}{Hz} \cdot 6 \cdot 10^{ 12 } Hz = 0.24 \cdot 10^{-6} W.$$
+*Im Zufallssignal&nbsp; $n_2(t)$&nbsp; erkennt man gewisse Regelmäßigkeiten ähnlich einer harmonischen Schwingung – es ist Bandpass–Rauschen.
+*Dagegen handelt es sich beim Signal&nbsp; $n_1(t)$&nbsp; um Tiefpass–Rauschen.
-'''3.'''  Nun ergibt sich für die Rauschleistung:
-$$N=N_0 \cdot B = 4 \cdot 10^{ -20 } \frac{W}{Hz} \cdot 3 \cdot 10^{ 4 } Hz = 12 \cdot 10^{ -16  }W,$$
-bzw. umgerechnet auf den Bezugswiderstand $R = 1 Ω$:
+'''(5)'''&nbsp; Die Rauschleistungsdichte des Zufallssignals&nbsp; $n_1(t)$&nbsp; ist im Frequenzbereich&nbsp; $|f| < 30$&nbsp; kHz konstant:
-$$N = N_0 \cdot B \cdot R = 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm W}\hspace{0.05cm} \cdot 50 \; {\rm \Omega}= 6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}\hspace{0.05cm}.$$
+:$${\it \Phi}_{n,\hspace{0.05cm}{   \rm TP} }(f) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} \frac{N_0}{2}  \hspace{0.15cm}\underline {=2\hspace{0.05cm}\hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}
-Der Rauscheffektivwert $σ_n$ ist die Quadratwurzel hieraus:
+^{-12} \hspace{0.05cm}{\rm W}/{\rm Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
-$$\sigma_n= \sqrt{6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.245 \hspace{0.05cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
+*Dieser Wert gilt somit auch für die Frequenz&nbsp; $f = 20$&nbsp; kHz.
-[[Datei:P ID954 Mod Z 1 3e neu.png|mini|rechts]]
-'''4.''' Im Zufallssignal $n_2(t)$ erkennt man gewisse Regelmäßigkeiten ähnlich einer harmonischen Schwingung – es ist Bandpass–Rauschen. Dagegen handelt es sich beim Signal $n_1(t)$ um Tiefpass–Rauschen.
-'''5.'''Die Rauschleistungsdichte des Zufallssignals $n_1(t)$ ist im Frequenzbereich $|f| < 30 kHz$ konstant gleich
-$$\phi_{n,TP}(f)= \frac{N_0}{2}= 2 \cdot 10^{-12} W/Hz$$
-Dieser Wert gilt somit auch für die Frequenz $f = 20$ $\text{kHz}$.
-'''6.'''Wie aus der Grafik hervorgeht, ist $Φ_{n,BP}(f)$ nur zwischen $85 kHz$ und $115 kHz$ ungleich 0, wenn die Bandbreite $B = 30 kHz$ beträgt. Bei der Frequenz $f = 120 kHz$ ist die Rauschleistungsdichte somit Null.
+'''(6)'''&nbsp; Wie aus der Grafik hervorgeht, ist&nbsp; ${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f)$&nbsp; nur im Bereich zwischen&nbsp; $85$&nbsp; kHz und&nbsp; $115$&nbsp; kHz ungleich Null,&nbsp; wenn die Bandbreite&nbsp; $B = 30$&nbsp; kHz beträgt.
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 120$&nbsp; kHz ist die Rauschleistungsdichte somit Null:
+:$${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f = 120 \ \rm kHz)\hspace{0.15cm}\underline{=0}.$$
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