Aufgaben:Aufgabe 4.1: Dämpfungsmaß: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 14. Februar 2017, 16:08 Uhr

Das Dämpfungsmaß $\alpha(f)$ – sprich „alpha” – einer Leitung gibt die auf die Leitungslänge bezogene Dämpfung an. Diese Größe ist durch die Leitungsbeläge $R'$, $L'$, $G'$ und $C'$ festgelegt, wobei die exakte Gleichung etwas kompliziert ist. Daher wurden zwei leichter handhabbare Näherungen entwickelt: $$\frac{\alpha_{_{\rm I}}(f)}{\rm Np} = {1}/{2} \cdot \left [R' \cdot \sqrt{{C'}/{ L'} } + G' \cdot \sqrt{{L'}/{ C'} }\right ] \hspace{0.05cm},$$ $$\frac{\alpha_{_{\rm II}}(f)}{\rm Np} = \sqrt{1/2 \cdot \omega \cdot {R' \cdot C'} }\hspace{0.1cm} \bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$ Diese beiden Näherungen sind zusammen mit dem tatsächlichen Verlauf $\alpha(f)$ in der Grafik dargestellt. Der Schnittpunkt von $\alpha_{\rm I}(f)$ und $\alpha_{\rm II}(f)$ ergibt die charakteristische Frequenz $f_∗$ mit folgender Bedeutung:

Für $f \gg f_∗$ gilt $α(f) ≈ α_{\rm I}(f)$.
Für $f \ll f_∗$ gilt $α(f) ≈ α_{\rm II}(f)$.

Mit diesen Näherungen soll das Dämpfungsmaß $\alpha(f)$ für ein Nachrichtensignal der Frequenz $f_0 = 2 \ \rm kHz$ ermittelt werden, wobei folgende Übertragungsmedien zu betrachten sind:

ein Kupferkabel mit $0.6 \ \rm mm$ Durchmesser:

$$R\hspace{0.03cm}' = 130\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L' = 0.6\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G\hspace{0.03cm}' = 1\,\,{\rm \mu S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} C\hspace{0.03cm}' = 35\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},$$

eine Bronzefreileitung mit $5 \ \rm mm$ Durchmesser:

$$R\hspace{0.03cm}' = 2.2\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L' = 1.8\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G\hspace{0.03cm}' = 0.5\,\,{\rm \mu S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} C\hspace{0.03cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Ergebnisse der Leitungstheorie.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Die Hinweiseinheit „Neper” (Np) in obigen Gleichungen für $α_{\rm I}(f)$ und $α_{\rm II}(f)$ und damit auch für das gesamte Dämpfungsmaß $α(f)$ ergibt sich aus der Tatsache, dass der Betragsfrequenzgang als $|H(f)| = {\rm e}^{-a}$ definiert ist. Daraus folgt für die Dämpfung $ a = - {\rm ln} \; |H(f)|$, wobei der Zusammenhang über den natürlichen Logarithmus durch „Np” gekennzeichnet wird.

Die Einheit des Dämpfungsmaßes $α = a/l$ ist somit „Np/km”

Fragebogen

${\rm Kupfer}\hspace{-0.1cm}:\ \alpha_{\rm I} \ =$

$\ \rm Np/km$

${\rm Bronze}\hspace{-0.1cm}:\ \alpha_{\rm I} \ =$

$\ \rm \cdot 10^{-3}\ Np/km$

${\rm Kupfer}\hspace{-0.1cm}:\ f_* \ =$

$\ \rm kHz$

${\rm Bronze}\hspace{-0.1cm}:\ f_* \ =$

$\ \rm kHz$

${\rm Kupfer}\hspace{-0.1cm}: \ \alpha (f = f_0) $ =

$\ \rm Np/km$

${\rm Bronze}\hspace{-0.1cm}:\ \alpha (f = f_0) $ =

$\ \rm \cdot 10^{-3}\ Np/km$

Musterlösung

(1) Für das Kupferkabel gilt mit $R\hspace{0.03cm}' = 130\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L' = 0.6\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G\hspace{0.03cm}' = 1\,\,{\rm \mu S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} C\hspace{0.03cm}' = 35\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm}$: $${\alpha_{_{\rm I}}(f)} = \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot \left [130\,{\rm \Omega} \cdot \sqrt{\frac{35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/\Omega}}{ 0.6 \cdot 10^{-3}\,{\rm \Omega \,s}} } + 10^{-6}\,{\rm \Omega^{-1}} \cdot \sqrt{\frac{0.6 \cdot 10^{-3}\,{\rm \Omega \,s}}{ 35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/\Omega}} }\hspace{0.1cm}\right ] $$ $$ \Rightarrow \; \alpha_{\rm I}(f) = 1/2 \cdot \left [130 \cdot 7.638 \cdot 10^{-3}+ 10^{-6} \cdot 0.131 \cdot 10^{3}\right ] {\rm Np/km} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.496\,{\rm Np/km}}\hspace{0.05cm}.$$ Für die Bronzeleitung ergibt sich mit $R\hspace{0.03cm}' = 2.2\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L' = 1.8\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G\hspace{0.03cm}' = 0.5\,\,{\rm \mu S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} C\hspace{0.03cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm}:$ $$\alpha_{\rm I}(f) = 1/2 \cdot \left [2.2 \cdot \sqrt{\frac{6.7 \cdot 10^{-9}}{ 1.8 \cdot 10^{-3}} } + 0.5 \cdot 10^{-6} \cdot \sqrt{\frac{ 1.8 \cdot 10^{-3}} {6.7 \cdot 10^{-9}}}\hspace{0.1cm}\right ] $$ $$ \Rightarrow \; \alpha_{\rm I}(f) = \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot \left [4.244 \cdot 10^{-3}+ 0.259 \cdot 10^{-3}\right ] {\rm Np/km} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.25\cdot 10^{-3}\,{\rm Np}/{ {\rm km} }}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Die in der Teilaufgabe (1) berechnete Schranke $α_{\rm I}(f)$ gilt nur für $f \gg f_∗$, während die Schranke $α_{\rm II}(f)$ für $f \ll f_∗$ gültig ist. Die charakteristische Frequenz ergibt sich als der Schnittpunkt der beiden Näherungen: $$\alpha_{\rm II}(f = f_{\star}) = \sqrt{1/2 \cdot \omega_{\star} \cdot R' \cdot C' }\hspace{0.1cm} \bigg |_{\omega_{\star} \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f_{\star}} = \alpha_{\rm I}(f = f_{\star})$$ Für das Kupferkabel mit 0.6 mm Durchmesser gilt folgende Bestimmungsgleichung: $$f_{\star} = \frac {{\alpha^2_{_{\rm I}}(f = f_{\star})}}{\pi \cdot R' \cdot C'}= \frac {0.496^2 \, {\rm 1/km^2}}{\pi \cdot 130\,{\rm \Omega/km} \cdot 35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/(\Omega \cdot km)}} \hspace{0.15cm}\underline{= 17.2\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$ Dagegen erhält man für die Bronzeleitung mit 5 mm Durchmesser: $$f_{\star} = \frac {(2.25 \cdot 10^{-3})^2 }{\pi \cdot 2.2 \cdot 6.7 \cdot 10^{-9}}\,{\rm kHz} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.109\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Für das Kupferkabel gilt $f_0 \ll f_∗$. Deshalb ist hier die Näherung $α_{\rm II}(f)$ günstiger: $$\alpha(f = f_0) \approx \sqrt{\pi \cdot f_0 \cdot R' \cdot C'}= \sqrt{\pi \cdot 2 \cdot 10^{3} \cdot 130 \cdot 35 \cdot 10^{-9}} \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} } \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.17 \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }} \hspace{0.05cm}.$$ Dagegen ist für die Bronzeleitung wegen $f_0 \gg f_∗$ die Näherung $α_{\rm I}(f)$ ⇒&nbsp, „schwache Dämpfung” (siehe Teilaufgabe 1) besser geeignet: $$\alpha(f = f_0) \hspace{0.15cm}\underline{= 2.25 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }} \hspace{0.05cm}.$$

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   C\hspace{0.03cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}}
   \hspace{0.05cm}:$
-$${\alpha_{_{\rm I}}(f)}   =  \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot
+$$\alpha_{\rm I}(f)   =  1/2 \cdot
   \left [2.2 \cdot \sqrt{\frac{6.7 \cdot 10^{-9}}{ 1.8 \cdot 10^{-3}} }
   + 0.5 \cdot 10^{-6} \cdot \sqrt{\frac{ 1.8 \cdot 10^{-3}} {6.7 \cdot 10^{-9}}}\hspace{0.1cm}\right
-  ]= \\
+  ] $$
-   =  \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot
+$$ \Rightarrow \;  \alpha_{\rm I}(f)   =  \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot
   \left [4.244 \cdot 10^{-3}+   0.259 \cdot 10^{-3}\right
-  ]
+  ] {\rm Np/km}
 \hspace{0.15cm}\underline{= 2.25\cdot 10^{-3}\,{\rm Np}/{ {\rm km} }}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Die unter a) berechnete Schranke <i>&alpha;</i><sub>I</sub>(<i>f</i>) gilt nur für <i>f</i> >> <i>f</i><sub>&#8727;</sub>, während die Schranke <i>&alpha;</i><sub>II</sub>(<i>f</i>) für <i>f</i> << <i>f</i><sub>&#8727;</sub> gültig ist. Die charakteristische Frequenz ergibt sich als der Schnittpunkt der beiden Näherungen:
-:$${\alpha_{_{\rm II}}(f = f_{\star})}  =   \sqrt{\omega_{\star}  \cdot \frac{R' \hspace{0.05cm} C'}{ 2} }\hspace{0.1cm}
+'''(2)'''&nbsp; Die in der Teilaufgabe (1) berechnete Schranke $α_{\rm I}(f)$ gilt nur für $f \gg f_∗$, während die Schranke $α_{\rm II}(f)$ für $f \ll f_∗$ gültig ist. Die charakteristische Frequenz ergibt sich als der Schnittpunkt der beiden Näherungen:
-  \bigg |_{\omega_{\star} \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f_{\star}} = {\alpha_{_{\rm I}}(f = f_{\star})}$$
+$$\alpha_{\rm II}(f = f_{\star})  =   \sqrt{1/2 \cdot  \omega_{\star}  \cdot R' \cdot C' }\hspace{0.1cm}
-:Für das Kupferkabel mit 0.6 mm  Durchmesser gilt folgende Bestimmungsgleichung:
+  \bigg |_{\omega_{\star} \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f_{\star}} = \alpha_{\rm I}(f = f_{\star})$$
-:$$f_{\star}  =   \frac {{\alpha^2_{_{\rm I}}(f = f_{\star})}}{\pi \cdot R' \cdot C'}=
+Für das Kupferkabel mit 0.6 mm  Durchmesser gilt folgende Bestimmungsgleichung:
+$$f_{\star}  =   \frac {{\alpha^2_{_{\rm I}}(f = f_{\star})}}{\pi \cdot R' \cdot C'}=
      \frac {0.496^2 \, {\rm 1/km^2}}{\pi \cdot 130\,{\rm \Omega/km} \cdot 35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/(\Omega \cdot km)}}
 \hspace{0.15cm}\underline{= 17.2\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
-:Dagegen erhält man für die Bronzeleitung mit 5 mm Durchmesser:
+Dagegen erhält man für die Bronzeleitung mit 5 mm Durchmesser:
-:$$f_{\star}  =
+$$f_{\star}  =
      \frac {(2.25 \cdot 10^{-3})^2 }{\pi \cdot 2.2 \cdot 6.7 \cdot 10^{-9}}\,{\rm kHz}
 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.109\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Für das Kupferkabel gilt <i>f</i><sub>0</sub> << <i>f</i><sub>&#8727;</sub>. Deshalb ist hier die Näherung <i>&alpha;</i><sub>II</sub>(<i>f</i>) günstiger:
-:$$\alpha(f = f_0)  \approx \sqrt{\pi \cdot f_0 \cdot R' \cdot C'}= \sqrt{\pi \cdot 2 \cdot 10^{3} \cdot 130 \cdot 35 \cdot 10^{-9}}
+'''(3)'''&nbsp; Für das Kupferkabel gilt $f_0 \ll f_∗$. Deshalb ist hier die Näherung $α_{\rm II}(f)$ günstiger:
-  \hspace{0.1cm}\frac{\rm Np}{ {\rm km} }
+$$\alpha(f = f_0)  \approx \sqrt{\pi \cdot f_0 \cdot R' \cdot C'}= \sqrt{\pi \cdot 2 \cdot 10^{3} \cdot 130 \cdot 35 \cdot 10^{-9}}
+  \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }
 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.17 \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }}
   \hspace{0.05cm}.$$
-:Dagegen ist für die Bronzeleitung wegen <i>f</i><sub>0</sub> >> <i>f</i><sub>&#8727;</sub> die Näherung <i>&alpha;</i><sub>I</sub>(<i>f</i>) &ndash; die so genannte &bdquo;schwache Dämpfung&rdquo; &ndash; besser geeignet (siehe Teilaufgabe 1)):
+Dagegen ist für die Bronzeleitung wegen $f_0 \gg f_∗$ die Näherung $α_{\rm I}(f)$ &nbsp;&rArr;&nbsp, &bdquo;schwache Dämpfung&rdquo;  (siehe Teilaufgabe 1) besser geeignet:
-:$$\alpha(f = f_0)
+$$\alpha(f = f_0)
 \hspace{0.15cm}\underline{= 2.25 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }}
   \hspace{0.05cm}.$$