Aufgaben:Aufgabe 1.3: Entropienäherungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 74: Zeile 74:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Es handelt sich um die <u>Quelle Q3</u>, da die Symbole gleichwahrscheinlich sind &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <i>H</i><sub>1</sub> = <i>H</i><sub>0</sub> und keine statistischen Bindungen zwischen den Symbolen bestehen &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <i>H</i> = .... = <i>H</i><sub>2</sub> = <i>H</i><sub>1</sub>.
+
'''(1)'''&nbsp; Die schwarze Binärfolge stammt von der <u>Quelle '''Q3'''</u>, da die Symbole gleichwahrscheinlich sind &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $H_1 = H_0$ und keine statistischen Bindungen zwischen den Symbolen bestehen &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $H=$ .... $= H_2 = H_1$.
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Man erkennt hier, dass <b>A</b> sehr viel häufiger auftritt als <b>B</b>, so dass <i>H</i><sub>1</sub> < <i>H</i><sub>0</sub> gelten muss. Entsprechend der Tabelle erfüllt nur die <u>Quelle Q1</u> diese Bedingung. Aus <i>H</i><sub>1</sub> = 0.5 bit/Symbol kann man die Symbolwahrscheinlichkeiten <i>p</i><sub>A</sub>&asymp; 0.89 und <i>p</i><sub>B</sub> &asymp; 0.11 ermitteln.
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Durch Ausschlussverfahren kommt man zum <u>Ergebnis Q2</u>: Die Quelle Q1 gehört zur schwarzen Folge, Q3 zur blauen und Q4 zum Wiederholungscode und damit offensichtlich zur grünen Symbolfolge. Die rote Symbolfolge weist folgende Eigenschaften auf:
+
'''(2)'''&nbsp; Man erkennt bei der blauen Binärfolge, dass $\rm A$ sehr viel häufiger auftritt als $\rm B$, so dass $H_1 < H_0$ gelten muss. Entsprechend der Tabelle erfüllt nur die <u>Quelle '''Q1'''</u> diese Bedingung. Aus $H_1 = 0.5 \; \rm bit/Symbol$ kann man die Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm A} = 0.89$ und $p_{\rm B} = 0.11$ ermitteln.
  
:* Wegen <i>H</i><sub>1</sub> = <i>H</i><sub>0</sub> sind die Symbole gleichwahrscheinlich: <i>p</i><sub>A</sub> = <i>p</i><sub>B</sub> = 0.5.
 
  
:* Wegen <i>H</i> < <i>H</i><sub>1</sub> bestehen statistische Bindungen innerhalb der Folge. Diese erkennt man daran, dass es mehr Übergänge zwischen <b>A</b> und <b>B</b> als bei statistischer Unabhängigkeit gibt.
+
'''(3)'''&nbsp; Durch Ausschlussverfahren kommt man für die rote Binärfolge zum <u>Quelle '''Q2'''</u>: Die Quelle '''Q1''' gehört nämlich zur blauen Folge, '''Q3''' zur schwarzen und '''Q4''' zum Wiederholungscode und damit offensichtlich zur grünen Symbolfolge. Die rote Symbolfolge weist folgende Eigenschaften auf:
 +
* Wegen $H_1 = H_0$ sind die Symbole gleichwahrscheinlich: $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$.
 +
* Wegen $H < H_1$ bestehen statistische Bindungen innerhalb der Folge. Diese erkennt man daran, dass es zwischen $\rm A$ und $\rm B$ mehr Übergänge als bei statistischer Unabhängigkeit gibt.
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Bei der grünen Symbolfolge (Quelle Q4) sind die Symbole <b>A</b> und <b>B</b> gleichwahrscheinlich:
+
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Bei der grünen Symbolfolge (Quelle '''Q4''') sind die Symbole $\rm A$ und $\rm B$ gleichwahrscheinlich:
 
:$$p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}H_1 = 1\,{\rm bit/Symbol}
 
:$$p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}H_1 = 1\,{\rm bit/Symbol}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
[[Datei:P_ID2247__Inf_A_1_3d.png|right|Symbolfolgen eines binären Wiederholungscodes]]
 
[[Datei:P_ID2247__Inf_A_1_3d.png|right|Symbolfolgen eines binären Wiederholungscodes]]
[[Datei:Inf_A_1_3d_vers2.png|right|Symbolfolgen eines binären Wiederholungscodes]]
+
Zur Berechnung von $H_2$ müssen Zweiertupel betrachtet und daraus die Verbundwahrscheinlichkeiten $p_{\rm AA}$, $p_{\rm AB}$, $p_{\rm PA}$ und $p_{\rm BB}$ berechnet werden. Aus der Skizze erkennt man:
:Zur Berechnung von <i>H</i><sub>2</sub> müssen Zweiertupel betrachtet und daraus die Verbundwahrscheinlichkeiten <i>p</i><sub>AA</sub>, <i>p</i><sub>AB</sub>, <i>p</i><sub>BA</sub> und <i>p</i><sub>BB</sub> berechnet werden. Aus der Skizze erkennt man:
+
* Die Kombinationen <b>AB</b> und <b>BA</b> sind nur dann möglich, wenn ein Tupel bei geradzahligem <i>&nu;</i> beginnt. Für die Verbundwahrscheinlichkeiten <i>p</i><sub>AB</sub> und <i>p</i><sub>BA</sub> gilt dann:
 
 
:* Die Kombinationen <b>AB</b> und <b>BA</b> sind nur dann möglich, wenn ein Tupel bei geradzahligem <i>&nu;</i> beginnt. Für die Verbundwahrscheinlichkeiten <i>p</i><sub>AB</sub> und <i>p</i><sub>BA</sub> gilt dann:
 
 
:$$p_{\rm AB} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(\nu {\rm \hspace{0.15cm}ist\hspace{0.15cm}gerade})  \cdot {\rm Pr}( q_{\nu} = \mathbf{A}) \cdot {\rm Pr}(q_{\nu+1} = \mathbf{B}\hspace{0.05cm} | q_{\nu} = \mathbf{A}) = \\
 
:$$p_{\rm AB} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(\nu {\rm \hspace{0.15cm}ist\hspace{0.15cm}gerade})  \cdot {\rm Pr}( q_{\nu} = \mathbf{A}) \cdot {\rm Pr}(q_{\nu+1} = \mathbf{B}\hspace{0.05cm} | q_{\nu} = \mathbf{A}) = \\
 
  \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = p_{\rm BA}
 
  \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = p_{\rm BA}
Zeile 111: Zeile 110:
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Nach ähnlichem Vorgehen kommt man bei Dreiertupeln zu den Verbundwahrscheinlichkeiten
+
'''(5)'''&nbsp; Nach ähnlichem Vorgehen kommt man bei Dreiertupeln zu den Verbundwahrscheinlichkeiten
 
:$$p_{\rm AAA} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} p_{\rm BBB} = 1/4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} p_{\rm ABA} = p_{\rm BAB} = 0 \hspace{0.05cm},\\
 
:$$p_{\rm AAA} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} p_{\rm BBB} = 1/4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} p_{\rm ABA} = p_{\rm BAB} = 0 \hspace{0.05cm},\\
 
  p_{\rm AAB} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} p_{\rm ABB} = p_{\rm BBA} = p_{\rm BAA} = 1/8$$
 
  p_{\rm AAB} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} p_{\rm ABB} = p_{\rm BBA} = p_{\rm BAA} = 1/8$$

Version vom 28. April 2017, 13:46 Uhr

Vier verschiedene Binärfolgen

Die Grafik zeigt vier Symbolfolgen $\langle q_\nu \rangle $mit jeweilger Länge $N = 60$. Die Quellensymbole sind jeweils $\rm A$ und $\rm B$. Daraus folgt direkt, dass für den Entscheidungsgehalt aller betrachteten Quellen $H_0 = 1 \; \rm bit/Symbol$ gilt. Die Symbole $\rm A$ und $\rm B$ treten jedoch nicht gleichwahrscheinlich auf, sondern mit den Wahrscheinlichkeiten $p_{\rm A}$ und $p_{\rm B}$.

Die folgende Tabelle zeigt neben $H_0$ noch die Entropienäherungen

  • $H_1$, basierend auf $p_{\rm A}$ und $p_{\rm B}$ (Spalte 2),
  • $H_2$, basierend auf Zweiertupel (Spalte 3),
  • $H_3$, basierend auf Dreiertupel (Spalte 4),
  • $H_4$, basierend auf Vierertupel (Spalte 5),
  • die tatsächliche Entropie $H$, die sich aus $H_k$ durch den Grenzübergang für $k \to \infty$ ergibt (letzte Spalte).


Zwischen diesen Entropien bestehen folgende Größenrelationen:   $H \le$ ... $\le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0 \hspace{0.05cm}.$

  • Nicht bekannt ist die Zuordnung zwischen den Quellen Q1, Q2, Q3, Q4 und den in der Grafik gezeigten gezeigten Symbolfolgen (Schwarz, Blau, Rot, Grün).
  • Es ist lediglich bekannt, dass die Quelle Q4 einen Wiederholungscode beinhaltet. Aufgrund der Tatsache, dass bei der entsprechenden Symbolfolge jedes zweite Symbol keinerlei Information lierfert, ist $H_0 = 0.5 \; \rm bit/Symbol$. Zudem sind die Entropienäherungen $H_1 = 1 \; \rm bit/Symbol$ (gleichwahrscheinliche Symbole) und $H_4 \approx 0.789 \; \rm bit/Symbol$ gegeben

Zu bestimmen sind für diese Nachrichtenquelle schließlich noch die Entropienäherungen $H_2$ und $H_3$.

Quellenentropie und Näherungen in „bit/Symbol”


Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nachrichtenquellen mit Gedächtnis.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Für die $k$–te Entropienäherung gilt bei Binärquellen ($M = 2$) mit der Verbundwahrscheinlichkeit $ p_i^{(k)}$ eines $k$–Tupels:
$$H_k = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i=1}^{2^k} p_i^{(k)} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_i^{(k)}} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol}) \hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Von welcher Quelle stammt die schwarze Symbolfolge?

Q1,
Q2,
Q3,
Q4.

2

Von welcher Quelle stammt die blaue Symbolfolge?

Q1,
Q2,
Q3,
Q4.

3

Von welcher Quelle stammt die rote Symbolfolge?

Q1,
Q2,
Q3,
Q4.

4

Berechnen Sie die Entropienäherung $H_2$ des Wiederholungscodes Q4.

$H_2 \ = $

$\ \rm bit/Symbol$

5

Berechnen Sie die Entropienäherung $H_3$ des Wiederholungscodes Q4.

$H_3 \ = $

$\ \rm bit/Symbol$


Musterlösung

(1)  Die schwarze Binärfolge stammt von der Quelle Q3, da die Symbole gleichwahrscheinlich sind   ⇒   $H_1 = H_0$ und keine statistischen Bindungen zwischen den Symbolen bestehen   ⇒   $H=$ .... $= H_2 = H_1$.


(2)  Man erkennt bei der blauen Binärfolge, dass $\rm A$ sehr viel häufiger auftritt als $\rm B$, so dass $H_1 < H_0$ gelten muss. Entsprechend der Tabelle erfüllt nur die Quelle Q1 diese Bedingung. Aus $H_1 = 0.5 \; \rm bit/Symbol$ kann man die Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm A} = 0.89$ und $p_{\rm B} = 0.11$ ermitteln.


(3)  Durch Ausschlussverfahren kommt man für die rote Binärfolge zum Quelle Q2: Die Quelle Q1 gehört nämlich zur blauen Folge, Q3 zur schwarzen und Q4 zum Wiederholungscode und damit offensichtlich zur grünen Symbolfolge. Die rote Symbolfolge weist folgende Eigenschaften auf:

  • Wegen $H_1 = H_0$ sind die Symbole gleichwahrscheinlich: $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$.
  • Wegen $H < H_1$ bestehen statistische Bindungen innerhalb der Folge. Diese erkennt man daran, dass es zwischen $\rm A$ und $\rm B$ mehr Übergänge als bei statistischer Unabhängigkeit gibt.


(4)  Bei der grünen Symbolfolge (Quelle Q4) sind die Symbole $\rm A$ und $\rm B$ gleichwahrscheinlich:

$$p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}H_1 = 1\,{\rm bit/Symbol} \hspace{0.05cm}.$$
Symbolfolgen eines binären Wiederholungscodes

Zur Berechnung von $H_2$ müssen Zweiertupel betrachtet und daraus die Verbundwahrscheinlichkeiten $p_{\rm AA}$, $p_{\rm AB}$, $p_{\rm PA}$ und $p_{\rm BB}$ berechnet werden. Aus der Skizze erkennt man:

  • Die Kombinationen AB und BA sind nur dann möglich, wenn ein Tupel bei geradzahligem ν beginnt. Für die Verbundwahrscheinlichkeiten pAB und pBA gilt dann:
$$p_{\rm AB} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(\nu {\rm \hspace{0.15cm}ist\hspace{0.15cm}gerade}) \cdot {\rm Pr}( q_{\nu} = \mathbf{A}) \cdot {\rm Pr}(q_{\nu+1} = \mathbf{B}\hspace{0.05cm} | q_{\nu} = \mathbf{A}) = \\ \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = p_{\rm BA} \hspace{0.05cm}.$$
  • Dagegen gelten für die beiden weiteren Kombinationen AA und BB:
$$p_{\rm AA} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(\nu {\rm \hspace{0.15cm}ist\hspace{0.15cm}ungerade,\hspace{0.15cm}zum\hspace{0.15cm}Beispiel\hspace{0.15cm}1}) \cdot {\rm Pr}( q_1 = \mathbf{A}) \cdot {\rm Pr}(q_{2} = \mathbf{A}\hspace{0.05cm} | q_{1} = \mathbf{A}) + \\ \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(\nu {\rm \hspace{0.15cm}ist\hspace{0.15cm}gerade,\hspace{0.15cm}zum\hspace{0.15cm}Beispiel\hspace{0.15cm}2}) \cdot {\rm Pr}( q_{2} = \mathbf{A}) \cdot {\rm Pr}(q_{3} = \mathbf{A}\hspace{0.05cm} | q_{2} = \mathbf{A}) = \\ \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} = p_{\rm BB} \hspace{0.05cm}.$$
Damit ergibt sich für die Entropienäherung:
$$H_2 \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} \frac{1}{2} \cdot \left [ 2 \cdot \frac{3}{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {8}{3} + 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(8)\right ] =\\ = \hspace{0.1cm} \frac{3}{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(8) - \frac{3}{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(3) + \frac{1}{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(8) =\\ \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} 1.5 -0.375 \cdot 1.585 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.906 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Nach ähnlichem Vorgehen kommt man bei Dreiertupeln zu den Verbundwahrscheinlichkeiten

$$p_{\rm AAA} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} p_{\rm BBB} = 1/4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} p_{\rm ABA} = p_{\rm BAB} = 0 \hspace{0.05cm},\\ p_{\rm AAB} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} p_{\rm ABB} = p_{\rm BBA} = p_{\rm BAA} = 1/8$$
und daraus zur Entropienäherung
$$H_3 = \frac{1}{3} \cdot \left [ 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(4) + 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(8)\right ] = \frac{2.5}{3} \hspace{0.15cm} \underline {= 0.833 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$
Zur Berechnung von H4 ergeben sich folgende 16 Wahrscheinlichkeiten:
$$p_{\rm AAAA} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} p_{\rm BBBB} = 3/16 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} p_{\rm AABB} = p_{\rm BBAA} = 2/16 \hspace{0.05cm},\\ p_{\rm AAAB} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} p_{\rm ABBA} = p_{\rm ABBB} = p_{\rm BBBA} = p_{\rm BAAB} = p_{\rm BAAA}= 1/16 \hspace{0.05cm},\\ p_{\rm AABA} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} p_{\rm ABAA} = p_{\rm ABAB} = p_{\rm BBAB} = p_{\rm BABB} = p_{\rm BABA}= 0\hspace{0.05cm}.$$
Daraus folgt:
$$H_4 \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} \frac{1}{4} \cdot \left [ 2 \cdot \frac{3}{16} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac{16}{3} + 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot{\rm log}_2\hspace{0.1cm}(8) + 6 \cdot \frac{1}{16} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(16)\right ] =\\ \hspace{0.1cm} = \hspace{0.2cm} \left [ 6 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.01cm}(16) - 6 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.01cm}(3) + 4 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.01cm}(8) + 6 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.01cm}(16)\right ]/32 {= 0.789 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$
Man erkennt, dass auch die Näherung H4 = 0.789 bit/Symbol noch weit vom tatsächlichen Entropiewert H = 0.5 bit/Symbol abweicht.
Hinweis: Der Wiederholungscode kann offensichtlich nicht durch eine Markovquelle modelliert werden. Wäre Q4 eine Markovquelle, so müsste nämlich gelten:
$$H = 2 \cdot H_2 - H_1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}H_2 = 1/2 \cdot (H+H_1) = 1/2 \cdot (0.5+1) = 0.75 \,{\rm bit/Symbol}\hspace{0.05cm}.$$