Aufgaben:Aufgabe 4.10Z: Signalraumkonstellation der 16–QAM: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 26. Juli 2017, 10:59 Uhr

Signalraumkonstellation der 16-QAM

Wir betrachten weiter das 16–QAM–Verfahren entsprechend dem im Theorieteil angegebenen Blockschaltbild. Die Grafik zeigt die möglichen komplexen Amplitudenkoeffizienten $a = a_{\rm I} + {\rm j} · a_{\rm Q}$.

Für diese Aufgabe soll ebenso wie für die Aufgabe 4.10 vorausgesetzt werden:

Die möglichen Amplitudenkoeffizienten $a_{\rm I}$ und $a_{\rm Q}$ der beiden Komponentensignale sind jeweils $ ±1$ und $±1/3$.
Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist rechteckförmig und weist die Amplitude $g_0 = 1\ \rm V$ und die Dauer $T = 1 \ \rm μs$ auf.
Das Quellensignal $q(t)$ vor dem Seriell–Parallel–Wandler ist binär und redundanzfrei.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Quadratur–Amplitudenmodulation.
Zur Lösung der Aufgabe ist die Seite QAM–Signalraumkonstellationen hilfreich.
Die zu den farbigen Punkten gehörigen Signale sind auf der Angabenseite zur Aufgabe 4.10 in gleicher Farbe dargestellt.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

$R_B$ =

$Mbit/s$

$a = 1 + j: |a|$ =

$arc (a)$ =

$Grad$

$ a = 1/3 + j/3: |a|$ =

$arc (a)$ =

$Grad$

$ a = –1 + j/3: |a|$ =

$arc (a)$ =

$Grad$

$ a = –1 – j/3: |a|$ =

$arc (a)$ =

$Grad$

$N_{|a|}$ =

$N_{arc}$ =

Musterlösung

1. Durch ein Symbol werden jeweils $ld 16 = 4 Bit$ des Quellensignals dargestellt, zwei durch den vierstufigen Koeffizienten $a_I$ und zwei weitere durch $a_Q$. Die Bitdauer beträgt somit $T_B = T/4 = 0.25 μs$. Damit ist die Bitrate $R_B = 1/T_B = 4 Mbit/s$.

2. Aus der Geometrie folgt für $a = 1 + j$: $$a| = \sqrt{1^2 + 1^2}= \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { =1.414}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm arc}\hspace{0.15cm} a = \arctan \left (\frac {1}{1} \right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 45^{\circ}}\hspace{0.05cm}.$$ 3. Der Winkel ergibt sich wie bei der Aufgabe b), der Betrag ist um den Faktor 3 kleiner: |a| = 0.471.

4. Für den komplexen Amplitudenkoeffizienten a = –1 + j/3 erhält man aus der Geometrie: $$|a| = \sqrt{1^2 + (1/3)^2}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.054}\hspace{0.05cm},$$ $$ {\rm arc}\hspace{0.15cm} a = 180^{\circ} - \arctan \left (\frac {1}{3} \right ) = 180^{\circ} - 18.43^{\circ} \hspace{0.15cm}\underline {= 161.57^{\circ}}\hspace{0.05cm}.$$ 5. Das violette Symbol hat den gleichen Betrag 1.054 wie das grüne Symbol nach Teilaufgabe c), während der Phasenwinkel das Vorzeichen ändert: arc a = –161.57°.

6. Für den Betrag sind $N_{|a|} = 3$ verschiedene Ergebnisse möglich: 1.414, 1.054 und 0.471. Dagegen gibt es $N_{arc} = 12$ mögliche Phasenlagen: $$ \pm \arctan (1/3) = \pm 18.43^{\circ}, \hspace{0.2cm}\pm \arctan (1) = \pm 45^{\circ}, \hspace{0.2cm}\pm \arctan (3) = \pm 71.57^{\circ}\hspace{0.05cm},$$ $$\pm (180^{\circ}-71.57^{\circ}) = \pm 108.43^{\circ}, \hspace{0.2cm}\pm (180^{\circ}-45^{\circ}) = \pm 135^{\circ}, \hspace{0.2cm}\pm 161.57^{\circ} \hspace{0.05cm}.$$

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-[[Datei:P_ID1719__Mod_Z_4_9.png|right|]]
+[[Datei:P_ID1719__Mod_Z_4_9.png|right|frame|Signalraumkonstellation der 16-QAM]]
-Wir betrachten weiter das 16–QAM–Verfahren entsprechend dem im Theorieteil angegebenen Blockschaltbild. Die Grafik zeigt die möglichen komplexen Amplitudenkoeffizienten $a = a_I + j · a_Q$. Für diese Aufgabe soll ebenso wie für die [http://www.lntwww.de/Aufgaben:4.9_16%E2%80%93QAM%E2%80%93Signal Aufgabe A4.9] vorausgesetzt werden:
+Wir betrachten weiter das 16–QAM–Verfahren entsprechend dem im Theorieteil angegebenen Blockschaltbild. Die Grafik zeigt die möglichen komplexen Amplitudenkoeffizienten $a = a_{\rm I} + {\rm j} · a_{\rm Q}$.
-:* Die möglichen Amplitudenkoeffizienten $a_I$ und $a_Q$ der beiden Komponentensignale sind jeweils ±1 und ±1/3.
-:* Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist rechteckförmig und weist die Amplitude $g_0 = 1 V$ und die Dauer $T = 1 μs$ auf.
+Für diese Aufgabe soll ebenso wie für die [[Aufgaben:4.10_Signalverläufe_der_16–QAM|Aufgabe 4.10]] vorausgesetzt werden:
-:*  Das Quellensignal $q(t)$ vor dem Seriell–Parallel–Wandler ist binär und redundanzfrei.
+* Die möglichen Amplitudenkoeffizienten $a_{\rm I}$ und $a_{\rm Q}$ der beiden Komponentensignale sind jeweils $ ±1$ und $±1/3$.
+* Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist rechteckförmig und weist die Amplitude $g_0 = 1\ \rm  V$ und die Dauer $T = 1 \ \rm μs$ auf.
+*  Das Quellensignal $q(t)$ vor dem Seriell–Parallel–Wandler ist binär und redundanzfrei.
+''Hinweise:''
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].
+*Zur Lösung der Aufgabe ist die Seite [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#QAM.E2.80.93Signalraumkonstellationen|QAM&ndash;Signalraumkonstellationen]] hilfreich.
+*Die zu den farbigen Punkten gehörigen Signale sind auf der Angabenseite zur [[Aufgaben:4.10_Signalverläufe_der_16–QAM|Aufgabe 4.10]] in gleicher Farbe dargestellt.
+*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
-'''Hinweis:'''  Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation Kapitel 4.3]. Die zu den farbigen Punkten gehörigen Signale sind auf der Angabenseite zur Aufgabe A4.9 in gleicher Farbe dargestellt.
 ===Fragebogen===