Applets:Impulse und Spektren: Unterschied zwischen den Versionen

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Hierbei ist zu beachten:
 
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* Dargestellt werden $x(t)$ bzw. $X(f)$ für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm.
 
* Dargestellt werden $x(t)$ bzw. $X(f)$ für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm.
* Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den ersten Parametersatz, die blauen für den zweiten Parametersatz.
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* Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechtten Parametersatz.
 
* Die Abszissen $t$ (Zeit) und $f$ (Frequenz) sowie die Ordinaten $x(t)$ (Signalwerte) bzw. $X(f)$  (Spektralwerte) sind jeweils normiert.  
 
* Die Abszissen $t$ (Zeit) und $f$ (Frequenz) sowie die Ordinaten $x(t)$ (Signalwerte) bzw. $X(f)$  (Spektralwerte) sind jeweils normiert.  
  
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==Zur Handhabung des Programms==
 
==Zur Handhabung des Programms==
Wie im alten Programm mit Grafik
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==Theoretischer Hintergrund==
 
==Theoretischer Hintergrund==
===Zusammenhang zwischen $x(t)$ und $X(f)$===
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===Zusammenhang $x(t)\Leftrightarrow X(f)$===
Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]] gegeben:
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*Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]] gegeben:
 
:$$X(f)={\rm FT} [x(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm}
 
:$$X(f)={\rm FT} [x(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm}
 
\rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$  
 
\rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$  
  
Um aus der Spektralfunktion $X(f)$ die Zeitfunktion $x(t)$ berechnen zu können, benötigt man das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|zweite Fourierintegral]]:
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*Um aus der Spektralfunktion $X(f)$ die Zeitfunktion $x(t)$ berechnen zu können, benötigt man das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|zweite Fourierintegral]]:
:$$x(t)={\cal{IFT}} [X(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm}
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:$$x(t)={\rm IFT} [X(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm}
{\cal{IFT}}\hspace{-0.3cm}: \rm  Inverse Fouriertransformation.$$  
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{\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm  Inverse \ Fouriertransformation.$$  
  
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*In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:
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:$$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t \ \ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\ \ \ x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$
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*$x(t)$ und $X(f)$ haben unterschiedliche Einheiten, z. B. $x(t)$ in $\rm V$, $X(f)$ in $\rm V/Hz$.
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*Der Zusammenhang zwischen diesem Modul „Impulse & Spektren”  und dem ähnlich aufgebauten Applet [[Tiefpaässe im Zeit- und Frequenzbereich]] basiert auf dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]].
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*Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ normiert und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ das Spektrum $X(f)$ muss noch mit $T$ multipliziert werden.
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$\text{Beispiel:}$&nbsp; Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude $A_1 = 1$ und äquivalenter Impulsdauer $\Delta t_1 = 1$ ein, so ist $x_1(t)$ im Bereich $-0.5 < t < +0.5$ gleich $1$ und außerhalb dieses Bereichs gleich $0$. Die Spektralfunktion $X_1(f)$ verläuft si&ndash;förmig mit $X_1(f= 0) = 1$ und der ersten Nullstelle bei $f=1$.
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Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit $A = K = 3 \ \rm V$ und $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$ nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit $K = 3 \ \rm V$ und alle Spektralwerte mit $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$ zu multiplizieren. Der maximale Spektralwert ist dann $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$ und die ersteNullstelle liegt bei $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$.}}
  
und deren Inversen (IFT) $$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot e^{j2\pi f t} \hspace{0.15cm} {\rm d}f$$ gegeben.
 
*In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:
 
$$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t$$  und
 
$$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$
 
*$x(t)$ und $X(f)$ haben unterschiedliche Einheiten, z. B. $x(t)$ in V, $X(f)$ in V/Hz.
 
*Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ das Spektrum $X(f)$ muss noch mit $T$ multipliziert werden.
 
*Der Zusammenhang zwischen Impulse und deren Spektren und der ähnlich aufgebauten Animation &bdquo;Tiefpass&ldquo; basiert auf dem Vertauschungssatz.
 
  
===Gaußimpuls===
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===Gaussian $\Rightarrow$ Gaußimpuls===
  
 
*Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:  
 
*Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:  
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*Praktisch ist der Gaußimpuls in Zeit und Frequenz begrenzt. Zum Beispiel ist $x(t)$ bereits bei $t=1.5 \Delta \cdot t$ auf $1\% $ des Maximums abgefallen.
 
*Praktisch ist der Gaußimpuls in Zeit und Frequenz begrenzt. Zum Beispiel ist $x(t)$ bereits bei $t=1.5 \Delta \cdot t$ auf $1\% $ des Maximums abgefallen.
  
===Rechteckimpuls===
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===Rectangular  $\Rightarrow$ Rechteckimpuls===
$\txt{Rechteckimpuls}$==
 
 
*Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:
 
*Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:
  
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*Das Integral über der Spektralfunktion $X(f)$ ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt $t=0$, also der Impulsamplitude $K$.
 
*Das Integral über der Spektralfunktion $X(f)$ ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt $t=0$, also der Impulsamplitude $K$.
  
$\txt{Dreieckimpuls}$==  
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===Triangular  $\Rightarrow$ Dreieckimpuls===
 
*Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:
 
*Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:
  
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*Der asymptotische Abfall von $X(f)$ erfolgt hier mit $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit $1/f$ abfällt.
 
*Der asymptotische Abfall von $X(f)$ erfolgt hier mit $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit $1/f$ abfällt.
  
$\txt{Trapezimpuls}$
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===Trapezoid  $\Rightarrow$ Trapezimpuls===
 
Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:
 
Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:
  
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*Der asymptotische Abfall von $X(f)$ liegt zwischen $1/f$ (für Rechteck, $r=0$) und $1/f^2$ (für Dreieck, $r=1$).
 
*Der asymptotische Abfall von $X(f)$ liegt zwischen $1/f$ (für Rechteck, $r=0$) und $1/f^2$ (für Dreieck, $r=1$).
  
$\txt{Cosinus-Rolloff-Impuls}$==
+
===Cosine-rolloff  $\Rightarrow$ Cosinus-Rolloff-Impuls===
 
Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:
 
Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:
  
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*Je größer der Rolloff-Faktor $r$ ist, desto schneller nimmt $X(f)$ asymptotisch mit $f$ ab.
 
*Je größer der Rolloff-Faktor $r$ ist, desto schneller nimmt $X(f)$ asymptotisch mit $f$ ab.
  
$\txt{Cosinus-Quadrat-Impuls}$==
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===Cosine-square  $\Rightarrow$ Cosinus-Quadrat-Impuls===
 
*Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impuls und ergibt sich für $r=1 \ (t_1=0, t_2= \Delta t)$:
 
*Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impuls und ergibt sich für $r=1 \ (t_1=0, t_2= \Delta t)$:
  
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Version vom 1. Oktober 2017, 14:05 Uhr

Applet in neuem Tab öffnen

Anmerkung: Einen auffälligen Button verwenden

Programmbeschreibung

Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale   ⇒   „Impulse” $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich Gauß–, Rechteck–, Dreieck–, Trapez–, Cosinus–Rolloff– und Cosinus–Quadrat–Impuls.

Hierbei ist zu beachten:

  • Dargestellt werden $x(t)$ bzw. $X(f)$ für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm.
  • Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechtten Parametersatz.
  • Die Abszissen $t$ (Zeit) und $f$ (Frequenz) sowie die Ordinaten $x(t)$ (Signalwerte) bzw. $X(f)$ (Spektralwerte) sind jeweils normiert.


$\text{Beispiel:}$  Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude $A_1 = 1$ und äquivalenter Impulsdauer $\Delta t_1 = 1$ ein, so ist $x_1(t)$ im Bereich $-0.5 < t < +0.5$ gleich $1$ und außerhalb dieses Bereichs gleich $0$. Die Spektralfunktion $X_1(f)$ verläuft si–förmig mit $X_1(f= 0) = 1$ und der ersten Nullstelle bei $f=1$.

Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit $A = K = 3 \ \rm V$ und $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$ nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit $K = 3 \ \rm V$ und alle Spektralwerte mit $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$ zu multiplizieren. Der maximale Spektralwert ist dann $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$ und die ersteNullstelle liegt bei $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$.

Zur Handhabung des Programms

Wie im alten Programm mit Grafik

Theoretischer Hintergrund

Zusammenhang $x(t)\Leftrightarrow X(f)$

  • Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch das erste Fourierintegral gegeben:
$$X(f)={\rm FT} [x(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm} \rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$
  • Um aus der Spektralfunktion $X(f)$ die Zeitfunktion $x(t)$ berechnen zu können, benötigt man das zweite Fourierintegral:
$$x(t)={\rm IFT} [X(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm} {\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm Inverse \ Fouriertransformation.$$
  • In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:
$$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t \ \ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\ \ \ x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$
  • $x(t)$ und $X(f)$ haben unterschiedliche Einheiten, z. B. $x(t)$ in $\rm V$, $X(f)$ in $\rm V/Hz$.
  • Der Zusammenhang zwischen diesem Modul „Impulse & Spektren” und dem ähnlich aufgebauten Applet Tiefpaässe im Zeit- und Frequenzbereich basiert auf dem Vertauschungssatz.
  • Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ normiert und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ das Spektrum $X(f)$ muss noch mit $T$ multipliziert werden.

$\text{Beispiel:}$  Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude $A_1 = 1$ und äquivalenter Impulsdauer $\Delta t_1 = 1$ ein, so ist $x_1(t)$ im Bereich $-0.5 < t < +0.5$ gleich $1$ und außerhalb dieses Bereichs gleich $0$. Die Spektralfunktion $X_1(f)$ verläuft si–förmig mit $X_1(f= 0) = 1$ und der ersten Nullstelle bei $f=1$.

Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit $A = K = 3 \ \rm V$ und $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$ nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit $K = 3 \ \rm V$ und alle Spektralwerte mit $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$ zu multiplizieren. Der maximale Spektralwert ist dann $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$ und die ersteNullstelle liegt bei $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$.


Gaussian $\Rightarrow$ Gaußimpuls

  • Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:

$$x(t)=K\cdot e^{-\pi\cdot(t/\Delta t)^2}.$$

  • Die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
  • Der Wert bei t=$\Delta t/2$ ist um den Faktor 0.456 kleiner als der Wert bei $t=0$.
  • Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot e^{-\pi(f\cdot \Delta t)^2} .$$

  • Je kleiner die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum (Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer).
  • Sowohl $x(t)$ als auch $X(f)$ sind zu keinem $ f$- bzw. $t$-Wert exakt gleich Null.
  • Praktisch ist der Gaußimpuls in Zeit und Frequenz begrenzt. Zum Beispiel ist $x(t)$ bereits bei $t=1.5 \Delta \cdot t$ auf $1\% $ des Maximums abgefallen.

Rectangular $\Rightarrow$ Rechteckimpuls

  • Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.} \\ \end{array}$$

  • Der $\pm \Delta t/2$ - Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
  • Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral):

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot si(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$

  • Der Spektralwert bei $f=0$ ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion.
  • Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t$.
  • Das Integral über der Spektralfunktion $X(f)$ ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt $t=0$, also der Impulsamplitude $K$.

Triangular $\Rightarrow$ Dreieckimpuls

  • Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \Big(1-\frac{|t|}{\Delta t}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$

  • Die absolute Zeitdauer ist $2 \cdot \Delta t$, d.h. doppelt so groß als die des Rechtecks.
  • Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot si^2(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$

  • Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite $\Delta t \Rightarrow X(f)$ beinhaltet anstelle der $si$-Funktion die $si^2$-Funktion.
  • $X(f)$ weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen $1/\Delta f$ auf.
  • Der asymptotische Abfall von $X(f)$ erfolgt hier mit $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit $1/f$ abfällt.

Trapezoid $\Rightarrow$ Trapezimpuls

Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \frac{t_2-|t|}{t_2-t_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$

  • Für die äquivalente Zeitdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$.
  • Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:

$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$

  • Sonderfall $r=0$: Rechteckimpuls. Sonderfall $r=1$: Dreieckimpuls.
  • Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot si(\pi\cdot \Delta t \cdot f)\cdot si(\pi \cdot r \cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$

  • Der asymptotische Abfall von $X(f)$ liegt zwischen $1/f$ (für Rechteck, $r=0$) und $1/f^2$ (für Dreieck, $r=1$).

Cosine-rolloff $\Rightarrow$ Cosinus-Rolloff-Impuls

Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|-t_1}{t_2-t_1}\cdot \frac{\pi}{2}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$

  • Für die äquivalente Zeitdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$.
  • Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:

$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$

  • Sonderfall $r=0$: Rechteckimpuls. Sonderfall $r=1$: Cosinus$^2$-Impuls.
  • Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot \Delta t \cdot f)}{1-(2\cdot r\cdot \Delta t \cdot f)^2} \cdot si(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$

  • Je größer der Rolloff-Faktor $r$ ist, desto schneller nimmt $X(f)$ asymptotisch mit $f$ ab.

Cosine-square $\Rightarrow$ Cosinus-Quadrat-Impuls

  • Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impuls und ergibt sich für $r=1 \ (t_1=0, t_2= \Delta t)$:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|\cdot \pi}{2\cdot \Delta t}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$

  • Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot \frac{\pi}{4}\cdot [si(\pi(\Delta t\cdot f +0.5))+si(\pi(\Delta t\cdot f -0.5))]\cdot si(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$

  • Wegen der letzten $si$-Funktion ist $X(f)=0$ für alle Vielfachen von $F=1/\Delta t$. Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten.
  • Aufgrund des Klammerausdrucks weist $X(f)$ nun weitere Nulldurchgänge bei $f=\pm1.5 F$, $\pm2.5 F$, $\pm3.5 F$, ... auf.
  • Für die Frequenz $f=\pm F/2$ erhält man die Spektralwerte $K\cdot \Delta t/2$.
  • Der asymptotische Abfall von $X(f)$ verläuft in diesem Sonderfall mit $1/f^3$.

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