Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Redundanzfreie Binärquelle

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Eine jede digitale Quelle kann durch ihre Quellensymbolfolge $$\langle q_\nu \rangle = \langle \hspace{0.05cm}q_0 \hspace{0.05cm}, q_1 \hspace{0.05cm}, q_2 \hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm} \rangle$$ vollständig beschrieben werden, wobei hier entgegen dem Theorieteil die Laufvariable $\nu$ mit 0 beginnt. Entstammt jedes einzelne Symbol $q_\nu$ dem Symbolvorrat {L, H}, so spricht man von einer Binärquelle.

Unter Verwendung des Symbolabstandes $T$ kann man die Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle$ in äquivalenter Weise auch durch das diracförmige Quellensignal $$q(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot {\rm \delta} ( t - \nu \cdot T)$$ kennzeichnen, was eher einer systemtheoretischen Betrachtungsweise entspricht. Hierbei bezeichnet man $a_\nu$ als die Amplitudenkoeffizienten. Im Falle einer binären unipolaren Digitalsignalübertragung gilt: $$a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ Entsprechend gilt bei einem bipolaren System: $$a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ In der Grafik ist das diracförmige Quellensignal $q(t)$ einer Binärquelle dargestellt. Von dieser ist bekannt, dass sie redundanzfrei ist. Diese Aussage ist für die Lösung der Aufgabe durchaus relevant.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 1.1. In der Literatur werden die beiden möglichen Binärsymbole meist mit L und 0 bezeichnet. Um die etwas verwirrende Zuordnung a_ν = 1 für q_ν = 0 und a_ν = 0 für q_ν = L zu vermeiden, werden in unserem Lerntutorial die Symbole L („Low”) und H („High”) verwendet.

Fragebogen

1

Wie groß ist der Symbolabstand?

$T$ = $\mu s$

2

Wie groß ist die von der Quelle abgegebene Bitrate?

$R$ = $kbit/s$

3

Handelt es sich hierbei um die unipolare oder bipolare Repräsentation?

	Die Symbolfolge ist unipolar.
	Die Symbolfolge ist bipolar.

4

Wie lautet das Quellensymbol q₂?

	q2 = L,
	q2 = H.

5

Wie groß ist die Symbolwahrscheinlichkeit p_H = Pr(q_ν = H)?

pH =

Musterlösung

Musterlösung

(1) Entsprechend der Grafik beträgt der Abstand zweier Symbole T = 2 μs.

(2) Bei einer redundanzfreien Binärquelle – und nur bei dieser – ist die Bitrate R = 1/T.

Demzufolge ergibt sich hier R = 500 kbit/s.

(3) Die möglichen Amplitudenkoeffizienten sind ±1. Deshalb ist die gegebene Symbolfolge bipolar.

(4) Der Amplitudenkoeffizient a₂ kann bei 2T = 4 μs abgelesen werden. Entsprechend der bipolaren Zuordnung folgt aus a₂ = –1 für das Symbol: q₂ = L.

(5) Auch wenn die Grafik für den hier dargestellten kurzen Zeitabschnitt etwas anderes suggeriert: Bei einer redundanzfreien Binärquelle muss neben der statistischen Unabhängigkeit der Symbole auch die Bedingung p_H = p_L = 0.5 (gleichwahrscheinliche Symbole) gelten.