Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Regeneratorfeldlänge

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Ergebnisse einer Systemsimulation

Per Simulation wurde gezeigt, dass zwischen dem so genannten Systemwirkungsgrad $\eta$ und der charakteristischen Kabeldämpfung $a_*$ eines Koaxialkabels – beide in dB aufgetragen – etwa ein linearer Zusammenhang besteht, wenn die charakteristische Kabeldämpfung hinreichend groß ist ($a_* ≥ 40 \ \rm dB$):

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta \hspace{0.15cm} {\rm (in \hspace{0.15cm}dB)}= A + B \cdot a_{\star} \hspace{0.05cm}.$$

In der Tabelle sind für vier beispielhafte Systemvarianten die empirisch gefundenen Koeffizienten $A$ und $B$ angegeben:

• für das impulsinterferenzbehaftete Binärsystem ($M = 2$) mit Gaußtiefpass $\rm (GTP)$, siehe Kapitel Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen,
• für das impulsinterferenzbehaftete Oktalsystem ($M = 8$) mit Gaußtiefpass $\rm (GTP)$, siehe Kapitel Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung,
• für die optimalen impulsinterferenzfreien Systeme $\rm (ONE)$, siehe Kapitel Lineare Nyquistentzerrung für $M = 2$ und $M = 8$.

Je größer der Systemwirkungsgrad $\eta$ ist, um so besser ist ein System für einen gegebenen Wert $a_*$ (und damit eine feste Kabellänge).

Für die Berecnung der Regeneratorfeldlänge (Abstand zweier Zwischenverstärker) ist zu beachten, dass

• die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit nicht größer sein soll als $10^{\rm –10}$, woraus sich der minimale Sinkenstörabstand ergibt:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm min} \approx 16.1\,{\rm dB} \hspace{0.05cm},$$

• das logarithmierte Verhältnis von Sendeenergie (pro Bit) und AWGN–Rauschleistungsdichte ca. $100 \ \rm dB$ beträgt, zum Beispiel:

$$s_0 = 3\,{\rm V},\hspace{0.2cm}R_{\rm B} = 1\,{\rm Gbit/s},\hspace{0.2cm}N_{\rm 0} = 9 \cdot 10^{-19}\,{\rm V^2/Hz}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}}= 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{9\,{\rm V^2} } {9 \cdot 10^{-19}\,{\rm V^2/Hz} \cdot 10^{-9}\,{\rm 1/s}} = 100\,{\rm dB} \hspace{0.05cm},$$

• ein Normalkoaxialkabel mit den Abmessungen $2.6 \ \rm mm$ (innen) und $9.5 \ \rm mm$ (außen) eingesetzt werden soll, bei dem der folgende Zusammenhang gültig ist:

$$a_{\star} = \frac{2.36\,{\rm dB} } {{\rm km} \cdot \sqrt{{\rm MHz}}} \cdot l \cdot \sqrt{{R_{\rm B}}/{2}} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet $a_*$ die charakteristische Dämpfung bei der halben Bitrate – im Beispiel bei $500 \ \rm MHz$ – und $l$ die Kabellänge.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Linare Nyquistentzerrung.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion benutzen.

Hinweis:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Lineare Nyquistentzerrung.

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Das System (ONE, $M = 8$) ist für beliebiges $a_*$ am besten
	Das System (GTP, $M = 2$) ist für $a_* ≥ 40 \ \rm dB$ am schlechtesten.

2

Ab welcher Kabeldämpfung ist (GTP, $M = 8$) besser als (ONE, $M = 2$)?

$a_{\rm *, \ Grenz}$ = $\ \rm dB$

3

Welchen Minimalwert $\eta_{\rm min}$ darf der Systemwirkungsgrad nicht unterschreiten?

$10 \cdot {\rm lg} \ \eta_{\rm min}$ = $\ \rm dB$

4

Welche Länge darf das Koaxialkabel bei (ONE, $M = 8$) maximal besitzen?

${\rm ONE,} \ M = 8 \text{:} \hspace{0.4cm} l_{\rm max}$ = $\ \rm km$

5

Welche Länge darf das Koaxialkabel bei (GTP, $M = 2$) maximal besitzen?

${\rm GTP,} \ M = 2 \text{:} \hspace{0.4cm} l_{\rm max}$ = $\ \rm km$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Berechnet man den Systemwirkungsgrad unter der Vorraussetzung $a_* = 40 \ \rm dB$, so erhält man für die vier Systemvarianten:

$${\rm GTP},\hspace{0.1cm}M=2 \hspace{-0.3cm} \hspace{0.2cm} : \ \hspace{-0.1cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = +9.4\,{\rm dB} -1.10 \cdot 40\,{\rm dB} = -34.6\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm GTP},\hspace{0.1cm}M=8 \hspace{-0.3cm} \hspace{0.2cm} : \ \hspace{-0.1cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = -1.3\,{\rm dB} -0.91 \cdot 40\,{\rm dB} = -37.7\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm ONE},\hspace{0.1cm}M=2 \hspace{-0.3cm} \hspace{0.2cm} : \ \hspace{-0.1cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = +4.5\,{\rm dB} -0.96 \cdot 40 \,{\rm dB}= -33.9\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm ONE},\hspace{0.1cm}M=8 \hspace{-0.3cm} \hspace{0.2cm} : \ \hspace{-0.1cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = -9.3\,{\rm dB} -0.54 \cdot 40\,{\rm dB} = -30.9\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

Die erste Aussage ist zutreffend, da das System (ONE, $M = 8$) bereits bei $40 \ \rm dB$ Kabeldämpfung am besten ist und zudem den günstigsten B–Koeffizienten aufweist. Dagegen trifft die zweite Aussage nicht zu, da zum Beispiel bei $40 \ \rm dB$ Kabeldämpfung das oktale GTP–System schlechter ist als das binäre.

(2)  Als Bestimmungsgleichung benutzen wir

$$-1.3\,{\rm dB} -0.91 \cdot a_{\star} = +4.5 \,{\rm dB}-0.96 \cdot a_{\star}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} 0.05 \cdot a_{\star} = 5.8\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}a_{\star,\hspace{0.05cm}{\rm Grenz}} \hspace{0.15cm}\underline {= 116\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

Das heißt: Bis zur charakteristischen Kabeldämpfung $a_* = 116 \ \rm dB$ (Anmerkung: dies ist ein unrealistisch großer Wert für realisierte Systeme) ist das binäre Nyquistsystem dem System (GTP, $M = 8$) überlegen. Erst für größere Werte als $a_{\rm *, \ Grenz} = 116 \ \rm dB$ überwiegt bei Letzterem der Vorteil ($M = 8$ und damit deutlich niedrigere Symbolrate) gegenüber dem Nachteil (oktale Entscheidung und dadurch größeres Gewicht der Impulsinterferenzen).

(3)  Das Sinken–SNR soll mindestens $16.1 \ \rm dB$ betragen, das heißt es muss gelten:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}} + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta \ > \ 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm min} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}} =$$

$$\ = \ 16.1\,{\rm dB}- 100\,{\rm dB} \hspace{0.15cm}\underline {= -83.9\,{\rm dB} = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta_{\rm min}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Beim hier betrachteten System gilt:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = -9.3\,{\rm dB} -0.54 \cdot a_{\star}\hspace{0.05cm}.$$

Aus „ $10 \cdot {\rm lg} \, \eta > \hspace{0.1cm}–83.9 \ \rm dB $” ergibt sich die Bedingung für die charakteristische Kabeldämpfung:

$$a_{\star} < \frac{-83.9\,{\rm dB} + 9.3\,{\rm dB}} {-0.54} \approx 138.1\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

Mit der angegebenen Gleichung

$$a_{\star} = \frac{2.36\,{\rm dB} } {{\rm km} \cdot \sqrt{{\rm MHz}}} \cdot l \cdot \sqrt{{R_{\rm B}}/{2}} \hspace{0.05cm}.$$

ist damit die maximale Kabellänge (Regeneratorfeldlänge) angebbar:

$$l_{\rm max} = \frac{138.1\,{\rm dB} } {2.36\,{\rm dB}/{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz})\cdot \sqrt{500\,{\rm MHz}}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62\, {\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Nach gleichem Vorgehen, aber in kompakterer Schreibweise, ergibt sich für dieses „schlechtere” System eine kleinere Regeneratorfeldlänge:

$$l_{\rm max} = \frac{-(83.9\,{\rm dB}+A)/B } {2.36\,{\rm dB}/{\rm km} \cdot \sqrt{500}} = \frac{+(83.9+9.4)/1.10 } {2.36\cdot \sqrt{500}}\hspace{0.1cm}{\rm km}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.61\, {\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$