Aufgaben:Aufgabe 4.08: Entscheidungsregionen bei drei Symbolen: Unterschied zwischen den Versionen

@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Multiple-Choice
+{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 01}$?
 |type="[]"}
-+ correct
++ $y = 3/2 \, &ndash;2 \cdot x$,
-- false
+- $y = x/3$,
+- $y = \, &ndash;3/4 + 3/2 \cdot x$.
-{Input-Box Frage
+{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 02}$?
-|type="{}"}
+|type="[]"}
-$xyz$ = { 5.4 3% } $ab$
+- $y = 3/2 \, &ndash;2 \cdot x$,
+- $y = x/3$,
++ $y = \, &ndash;3/4 + 3/2 \cdot x$.
+{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 12}$?
+|type="[]"}
+- $y = 3/2 \, &ndash;2 \cdot x$,
++ $y = x/3$,
+- $y = \, &ndash;3/4 + 3/2 \cdot x$.
+{Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen $G_{\rm 01}$, $G_{\rm 02}$ und $G_{\rm 12}$ in einem Punkt?
+|type="()"}
++ ja,
+- nein.
+{Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?
+|type="[]"}
++ $A = (0.5, 0.25)$ gehört zur Region $I_0$.
++ $\boldsymbol{B} = (1, 0)$ gehört zur Region $I_2$.
++ $C = (0.75, 0.5)$ gehört zur Region $I_1$.
 </quiz>

Version vom 7. November 2017, 17:53 Uhr

Zurück zum Buch

Signalraumkonstellationen mit M = 3

Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum ($N = 2$) mit der Signalmenge:

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$

jeweils bezogen auf den Normierungswert $E^{\rm 1/2}$.

Gesucht sind hierzu die Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:

Die Region $I_i$ soll den Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten ($i = 0, 1, 2$).
Die Signale $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind gleichwahrscheinlich
Die Regionen sollen so bestimmt werden, dass sich beispielsweise für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.

Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen $G_{\it ik}$ zwischen den Regionen $I_i$ und $I_k$ jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$ verlaufen ($i = 0, 1, 2, k = 0, 1, 2, i ≠ k$).

Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte

$$\boldsymbol{ A } = (0.50, \hspace{0.1cm}0.25)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B } = (1, \hspace{0.1cm}0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$

eingezeichnet, die in der Teilaufgabe (5) jeweils einer Region $I_i$ zugeordnet werden sollen.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit.
Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:

$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 01}$?

	$y = 3/2 \, –2 \cdot x$,
	$y = x/3$,
	$y = \, –3/4 + 3/2 \cdot x$.

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 02}$?

	$y = 3/2 \, –2 \cdot x$,
	$y = x/3$,
	$y = \, –3/4 + 3/2 \cdot x$.

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 12}$?

	$y = 3/2 \, –2 \cdot x$,
	$y = x/3$,
	$y = \, –3/4 + 3/2 \cdot x$.

Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen $G_{\rm 01}$, $G_{\rm 02}$ und $G_{\rm 12}$ in einem Punkt?

	ja,
	nein.

Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?

	$A = (0.5, 0.25)$ gehört zur Region $I_0$.
	$\boldsymbol{B} = (1, 0)$ gehört zur Region $I_2$.
	$C = (0.75, 0.5)$ gehört zur Region $I_1$.

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5)