Aufgaben:Aufgabe 4.09: Entscheidungsregionen bei Laplace

• Zurück zum Buch

Drei verschiedene Entscheidungsregionen für Laplace

Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Die zwei gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$

gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu $E = 1$ und erhalten somit

$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$

$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$

Die Nachrichten $m_0$ und $m_1$ sind den so festgelegten Signalen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ eindeutig zugeordnet.

Die zwei Rauschkomponenten $n_1(t)$ und $n_2(t)$ seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter $a = 1$:

$$p_{n_1} (\eta_1) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) = {1}/{4} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $$

Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der Aufgabe Z4.9 noch eingehend behandelt.

Das Empfangssignal $\boldsymbol{r}$ setzt sich additiv aus dem Sendesignal $\boldsymbol{s}$ und dem Rauschsignal $\boldsymbol{n}$ zusammen:

$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2) \hspace{0.05cm},$$

$$ \boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2) \hspace{0.05cm}. $$

Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:

$$\boldsymbol{ s }\hspace{-0.1cm} \ : \ \hspace{-0.1cm} \hspace{0.1cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12}) \hspace{0.05cm},$$

$$ \boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ : \ \hspace{-0.1cm} \hspace{0.1cm} (\rho_{1},\rho_{2}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ n }: \hspace{0.1cm} (\eta_{1},\eta_{2}) \hspace{0.05cm}.$$

Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten:

Entscheide für das Symbol $m_0$, falls

$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$$

Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür (Entscheidung für $m_0$) auch geschrieben werden:

$${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] > {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| < | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$

Auf diese Funktion $L(\rho_1, \rho_2)$ wird in den nachfolgenden Aufgaben häufig Bezug genommen.

Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen ($I_0, I_1$). Bei AWGN–Rauschen wäre nur die obere Variante A optimal. Auch beim hier betrachteten Laplace–Rauschen führt die Variante A zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe Aufgabe Z4.9:

$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$

Zu untersuchen ist, ob die Variante B bzw. die Variante C ebenfalls optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich $\rho_{\rm min}$ sind.

Hinweis:

• Die Aufgabe bezieht sich auf die letzten Theorieseiten des Kapitels Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit.

Fragebogen

1

Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für $m_0$, falls

	$\rho_{\it r|m}(\rho_1, \ \rho_2|m_0) > p_{\it r|m}(\rho_1, \ \rho_2|m_1)$,
	$L(\rho_1, \ \rho_2) = |\rho_1+1| \, –|\rho_1 \, –1| + |\rho_2+1| \, –|\rho_2 \, –1| < 0$,
	$L(\rho_1, \ \rho_2) = \rho_1 + \rho_2 ≥ 0$.

2

Wie lässt sich der Ausdruck $|x+1| \ –|x \ –1|$ umformen?

	Für $x ≥ 1$ ist $|x + 1| \, –|x \, –1| = 2$.
	Für $x ≤ \, –1$ ist $|x+1| \, –|x \, –1| = \, –2$.
	Für $–1 ≤ x ≤ 1$ ist $|x+1| \, –|x \, –1| = 2x$.

3

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $–1 ≤ \rho_1 ≤ +1$, $–1 ≤ \rho_2 ≤ +1$?

	Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
	Entscheidung für $m_1$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

4

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 > +1$?

	Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

5

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 < \, –1$?

	Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

6

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 > +1$?

	Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

7

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 < \, –1$?

	Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
	Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

8

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Die Variante A führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
	Die Variante B führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
	Die Variante C führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)