Aufgaben:Aufgabe 4.15: Optimale Signalraumbelegung

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Betrachtete 8–QAM

Betrachtet wird hier eine Signalraumkonstellation mit $M = 8$ Signalraumpunkten:

• Vier Punkte liegen auf einem Kreis mit Radius $r = 1$.
• Vier weitere Punkte liegen um $45^°$ versetzt auf einem zweiten Kreis mit Radius $R$, wobei gelten soll:

$$R_{\rm min} \le R \le R_{\rm max}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} R_{\rm min}= \frac{ \sqrt{3}-1}{ \sqrt{2}} \approx 0.518 \hspace{0.05cm},$$

$$R_{\rm max}= \frac{ \sqrt{3}+1}{ \sqrt{2}} \approx 1.932\hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Achsen (Basisfunktionen) seien jeweils normiert und werden vereinfachend mit $I$ und $Q$ bezeichnet. Zur weiteren Vereinfachung kann $E = 1$ gesetzt werden.

Im Fragebogen wird von blauen und roten Punkten gesprochen. Entsprechend der Grafik liegen die blauen Punkte auf dem Kreis mit Radius $r = 1$, die roten auf dem Kreis mit Radius $R$. Gezeichnet ist der Fall $R = R_{\rm max}$.

Der Systemparameter $R$ soll in dieser Aufgabe so bestimmt werden, dass der Quotient

$$\eta = \frac{ (d_{\rm min}/2)^2}{ E_{\rm B}} $$

maximal wird. $\eta$ ist ein Maß für die Güte eines Modulationsalphabets bei gegebener Sendeenergie pro Bit (Power Efficiency). Es berechnet sich aus

• der minimalen Distanz $d_{\rm min}$, und
• der Bitenergie $E_{\rm B}$.

Es ist darauf zu achten, dass $d_{\rm min}^2$ und $E_{\rm B}$ in gleicher Weise normiert sind, was aber bereits durch die Aufgabenstellung implizit gegeben ist.

Hinweis:

• Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite 6 und die Seite 7 des Kapitels Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die mittlere Energie $E_{\rm B}$ pro Bit abhängig von $R$, insbesondere für $R = 1$ und $R = 2^{\rm 0.5}$.

$R = 1 \text{:} \hspace{0.2cm} E_{\rm B}$ =

$R = 2^{\rm 0.5} \text{:} \hspace{0.2cm} E_{\rm B}$ =

2

Welche Aussagen gelten für den minimalen Abstand zweier Signalraumpunkte?

	Für $R < R_{\rm min}$: Minimale Distanz zwischen zwei roten Punkten.
	Für $R > R_{\rm max}$: Minimale Distanz zwischen zwei blauen Punkten.
	$R_{\rm min} ≤ R ≤ R_{\rm max}$: Minimale Distanz zwischen „Rot” und „Blau”.

3

Berechnen Sie die minimale Distanz abhängig von $R$, insbesondere für

$R = 1 \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min}$ =

$R = 2^{\rm 0.5} \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min}$ =

4

Geben Sie die Leistungseffizienz $\eta$ allgemein an. Welches $\eta$ ergibt sich für $R = 1$?

$R = 1 \text{:} \hspace{0.2cm} \eta$ =

5

Welche Werte ergeben sich für $R = R_{\rm min} und $R = R_{\rm max}$? Interpretation.

$R = R_{\rm min} \text{:} \hspace{0.2cm} \eta$ =

$R = R_{\rm max} \text{:} \hspace{0.2cm} \eta$ =

Musterlösung

Musterlösung

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