Aufgaben:Aufgabe 3.4Z: Äquivalente Faltungscodes?: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | Die obere Darstellung zeigt einen Faltungscodierer, der druch folgende Gleichungen beschrieben wird: | ||
| + | :$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i-1}^{(1)}+ u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},$$ | ||
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| + | Gesucht sind die Übertragungsfunktionsmatrizen | ||
| + | * $\mathbf{G}(D)$ dieses nichtsystematischen Codes, und | ||
| + | * $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ des äquivalenten systematischen Codes. | ||
| + | Die Matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ erhält man in folgender Weise: | ||
| + | * Man spaltet von der $k × n$–Matrix $\mathbf{G}(D)$ vorne eine quadratische Matrix $\mathbf{T}(D)$ mit jeweils $k$ Zahlen und Spalten ab. Den Rest bezeichnet man mit $\mathbf{Q}(D)$. | ||
| + | * Anschließend berechnet man die zu $\mathbf{T}(D)$ inverse Matrix $\mathbf{T}^{–1}(D)$ und daraus die gesuchte Matrix für den äquivalenten systematischen Code: | ||
| + | :$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | * Da $\mathbf{T}^{–1}(D) \cdot \mathbf{T}(D)$ die $k × k$–Einheitsmatrix $\mathbf{I}_k$ ergibt, kann die Übertragungsfunktionsmatrix des äquivalenten systematischen Codes in der gewünschten Form geschrieben werden: | ||
| + | :$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big [ \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D) \hspace{0.05cm}\big ] | ||
| + | \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \hspace{0.05cm}. | ||
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| − | }} | + | Die untere Schaltung erzeugt mit Sicherheit einen systematischen Code mit gleichen Parametern $k$ und $n$. In der Teilaufgabe (5) ist zu klären, ob es sich dabei tatsächlich um den <i>äquivalenten systematischen Code</i> handelt. Das heißt, ob sich tatsächlich für die beiden Schaltungen genau die gleiche $\{ \ \underline{x} \ \}$ an Codesequenzen ergibt, wenn man alle möglichen Informationssequenzen $\{ \ \underline{u} \ \}$ berücksichtigt. |
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| + | ''Hinweis:'' | ||
| + | * Die Aufgabe bezieht sich auf ein Themengebiet aus dem Kapitel [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]] | ||
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Version vom 30. November 2017, 10:38 Uhr
Die obere Darstellung zeigt einen Faltungscodierer, der druch folgende Gleichungen beschrieben wird:
- $$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i-1}^{(1)}+ u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},$$
- $$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},$$
- $$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)}\hspace{0.05cm}.$$
Gesucht sind die Übertragungsfunktionsmatrizen
- $\mathbf{G}(D)$ dieses nichtsystematischen Codes, und
- $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ des äquivalenten systematischen Codes.
Die Matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ erhält man in folgender Weise:
- Man spaltet von der $k × n$–Matrix $\mathbf{G}(D)$ vorne eine quadratische Matrix $\mathbf{T}(D)$ mit jeweils $k$ Zahlen und Spalten ab. Den Rest bezeichnet man mit $\mathbf{Q}(D)$.
- Anschließend berechnet man die zu $\mathbf{T}(D)$ inverse Matrix $\mathbf{T}^{–1}(D)$ und daraus die gesuchte Matrix für den äquivalenten systematischen Code:
- $${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{0.05cm}.$$
- Da $\mathbf{T}^{–1}(D) \cdot \mathbf{T}(D)$ die $k × k$–Einheitsmatrix $\mathbf{I}_k$ ergibt, kann die Übertragungsfunktionsmatrix des äquivalenten systematischen Codes in der gewünschten Form geschrieben werden:
- $${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big [ \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D) \hspace{0.05cm}\big ] \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \hspace{0.05cm}. \hspace{0.05cm}$$
Die untere Schaltung erzeugt mit Sicherheit einen systematischen Code mit gleichen Parametern $k$ und $n$. In der Teilaufgabe (5) ist zu klären, ob es sich dabei tatsächlich um den äquivalenten systematischen Code handelt. Das heißt, ob sich tatsächlich für die beiden Schaltungen genau die gleiche $\{ \ \underline{x} \ \}$ an Codesequenzen ergibt, wenn man alle möglichen Informationssequenzen $\{ \ \underline{u} \ \}$ berücksichtigt.
Hinweis:
- Die Aufgabe bezieht sich auf ein Themengebiet aus dem Kapitel Algebraische und polynomische Beschreibung
Fragebogen
Musterlösung
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
