Aufgaben:Aufgabe 3.3: Codesequenzberechnung über U(D) und G(D)

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Betrachtete Generatormatrix

Nebenstehend ist für den betrachteten Faltungscode der linke obere Ausschnitt der Generatormatrix $\mathbf{G}$ dargestellt. Daraus sollen unter der Randbedingung $m ≤ 2$ die Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ extrahiert werden, womit dann die Übergangsfunktionsmatrix entsprechend folgender Gleichung zusammengestellt werden kann:

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \sum_{l = 0}^{m} {\boldsymbol{\rm G}}_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l =$$

$$ \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + ... \hspace{0.05cm}+ {\boldsymbol{\rm G}}_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m \hspace{0.02cm}.$$

Gesucht werden die $n$ Codesequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \ ... \ , \ \underline{x}^{(n)}$, wobei von der Informationssequenz

$$\underline{u} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm}) $$

auszugehen ist. Diese Sequenz ist dabei in $k$ Teilsequenzen $\underline{u}^{(1)}, \ \underline{u}^{(2)}, \ ... \ , \ \underline{u}^{(k)}$ aufzuspalten. Aus deren $D$–Transformierten

$${U}^{(1)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(1)},\hspace{0.25cm} ...\hspace{0.25cm},\hspace{0.05cm} {U}^{(k)}(D) \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm} \underline{u}^{(k)} $$

wird dann der Vektor $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \ ... \ , \ U^{(k)}(D))$ gebildet. Dann gilt für den Codesequenzvektor in $D$–Darstellung:

$$\underline{X}(D) = \left (\hspace{0.05cm} {X}^{(1)}(D)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.12cm}, \hspace{0.05cm} {X}^{(k)}(D)\hspace{0.05cm}\right ) = \underline{U}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D)\hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Algebraische und polynomische Beschreibung.
• Der hier zugrunde liegende Codierer ist identisch mit dem von Aufgabe A3.2.
• Nachdem auch von der gleichen Informationssequenz $\underline{u}$ ausgegangen wird, muss sich hier die gleiche Codesequenz $\underline{x}$ ergeben wie in Aufgabe A3.2, siehe Musterlösung.
• Die Lösungswege beider Aufgaben unterscheiden sich allerdings grundlegend.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Wie lauten die Codeparameter? Hinweis: Für das Gedächtnis gelte $m ≤ 2$.

$n \ \ = \ $

$k \ \ \ = \ $

$m \ = \ $

2

Welche Aussagen sind für die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$ richtig?

	Das $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 1, Spalte 1 ist „$1$”.
	Das $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 2, Spalte 2 ist „$1 + D$”.
	Das $\mathbf{G}(D)$–Element in Zeile 3, Spalte 3 ist „$1 + D^2$”.

3

Welche Aussagen treffen für die $D$–Transformierten der Eingangssequenzen zu?

	$U^{(1)}(D) = 1$,
	$U^{(2)}(D) = 1 + D$,
	$U^{(3)}(D) = D^2$.

4

Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz $\underline{x}^{(1)}$?

	$\underline{x}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1, \, ...)$,
	$\underline{x}^{(1)} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$,
	$\underline{x}^{(1)} = (0, \, 0, \, 1, \, ...)$.

5

Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz $\underline{x}^{(2)}$?

	$\underline{x}^{(2)} = (0, \, 1, \, 1, \, ...)$,
	$\underline{x}^{(2)} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$,
	$\underline{x}^{(2)} = (0, \, 0, \, 1, \, ...)$.

6

Wie lauten die ersten drei Bit der Codesequenz $\underline{x}^{(3)}$?

	$\underline{x}^{(3)} = (0, \, 1, \, 1, \, ...)$,
	$\underline{x}^{(3)} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$,
	$\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1, \, ...)$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Die Generatormatrix eines Faltungscodes hat die allgemeine Form:

$${ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix} { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\ & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & &\\ & & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m &\\ & & & \ddots & \ddots & & & \ddots \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$

Aus der Grafik auf der Angabenseite lassen sich die $k × n$–Teilmatrizen ermitteln:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_0=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} { \boldsymbol{\rm G}}_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} { \boldsymbol{\rm G}}_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$

Die Codeparameter lauten somit: $\underline{n = 4}, \ \underline{k = 3}$ und $\underline{m = 2}$. Hinweis: Der dargestellte Teil von $\mathbf{G}$ hätte für $m > 2$ das gleiche Aussehen wie für $m = 2$. Deshalb war die Zusatzangabe $m ≤ 2$ erforderlich.

(2)  Entsprechend dem Angabenblatt gilt

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + {\boldsymbol{\rm G}}_2 \cdot D^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1+D & 1+D & 1 \\ 0 & D & 1+D^2 & 1+D^2 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet: Alle Lösungsvorschläge sind richtig.

(3)  Nach Aufteilung der Informationssequenz

$$\underline{u} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm})$$

auf die drei Teilsequenzen $\underline{u}^{(1)}$, $\underline{u}^{(2)}$ und $\underline{u}^{(3)}$ und anschließender $D$–Transformation erhält man

$$\underline{u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad {U}^{(1)}(D) = D + D^2 \hspace{0.05cm},$$

$$\underline{u}^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad {U}^{(2)}(D) = 1+D \hspace{0.05cm},$$

$$\underline{u}^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad {U}^{(3)}(D) = 1 + D^2 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist demnach nur der Lösungsvorschlag 2.

(4)  In der ersten Spalte von $\mathbf{G}(D)$ steht nur eine Eins in Zeile 1, die zwei anderen Matrixelemente sind $0$  ⇒  Es handelt sich um einen systematischen Code  ⇒  $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1)$  ⇒  Lösungsvorschlag 1.

(5)  Die $D$–Transformierte $X^{(2)}(D)$ ergibt sich als das Vektorprodukt aus der $D$–Transformierten der Informationssequenz  ⇒  $\underline{U}(D) = (U^{(1)}(D), \, U^{(2)}(D), \, U^{(3)}(D))$ und der zweiten Spalte von $\mathbf{G}(D)$:

$$X^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 1 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot D\hspace{0.03cm}=$$

$$\ = \ \hspace{-0.15cm}D + D^2 +1 +D +D + D^2 +D + D^3 = 1+D^3 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist also der Lösungsvorschlag 2, nämlich $\underline{x}^{(2)} = (1, \, 0, \, 0)$. Da wir uns nur für die drei ersten Bit interessieren, ist der Beitrag $D^3$ nicht relevant.

(6)  Analog zur Teilaufgabe (5) erhält man hier:

$$X^{(3)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( D + D^2) \cdot 0 + ( 1+D) \cdot ( 1+D) +( 1+D^2) \cdot ( 1+D^2)=$$

$$\ = \ \hspace{-0.15cm}1 + D + D + D^2 +1 + D^2 + D^2 + D^4 = D^2 + D^4 \hspace{0.05cm}.$$

Daraus ergibt sich $\underline{x}^{(3)} = (0, \, 0, \, 1)$  ⇒  Lösungsvorschlag 3. Das gleiche Ergebnis erhält man auch für $\underline{x}^{(4)}$. Nach Zusammenfügen aller $n = 4$ Teilsequenzen erhält man

$$\underline{x} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm},$$

und damit (natürlich) das gleiche Ergebnis wie in der Aufgabe A3.2.