Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: L–Werte des BEC–Modells: Unterschied zwischen den Versionen
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* der Eingangsgröße $x ∈ \{+1, \, –1\}$, | * der Eingangsgröße $x ∈ \{+1, \, –1\}$, | ||
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* der Auslöschungswahrscheinlichket $\lambda$. | * der Auslöschungswahrscheinlichket $\lambda$. | ||
Version vom 6. Dezember 2017, 13:14 Uhr
BEC–Kanalmodell
Wir betrachten das so genannte BEC–Kanalmodell (Binary Erasure Channel) mit
- der Eingangsgröße $x ∈ \{+1, \, –1\}$,
- der Ausgangsgröße $y ∈ \{+1, \, –1, \, {\rm E}\}$, und
- der Auslöschungswahrscheinlichket $\lambda$.
Hierbei bedeutet $y = {\rm E}$ (Erasure), dass der Ausgangswert $y$ weder als „$+1$” noch als „$–1$” entschieden werden konnte.
Bekannt sind zudem die Eingangswahrscheinlichkeiten
- $${\rm Pr}(x = +1) = 3/4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Pr}(x = -1) = 1/4\hspace{0.05cm}.$$
Das Log–Likelihood–Verhältnis (kurz: $L$–Wert, englisch: Log Likelihood Ratio, LLR) der binären Zufallsgröße $x$ ist bei bipolarer Betrachtungsweise wie folgt gegeben:
- $$L(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = +1)}{{\rm Pr}(x = -1)}\hspace{0.05cm}.$$
Entsprechend gilt für den bedingten $L$–Wert in Vorwärtsrichtung für alle $y ∈ \{+1, \, – \, {\rm E}\}$:
- $$L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = +1)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} \hspace{0.05cm}. $$
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Soft–in Soft–out Decoder.
Fragebogen
Musterlösung
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(2)
(3)
(4)
(5)
