Aufgaben:Aufgabe 4.5Z: Tangens Hyperbolikus und Inverse: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | { | + | {Es gelte $\underline{L}_{\rm APP} = (+1.0, +0.4, -1.0)$. Berechnen Sie die extrinsischen $L$–Werte ⇒ $\underline{L}_E = (L_{\rm E}(1), \ L_{\rm E}(2), \ L_{\rm E}(3))$ nach der vorne angegebenen Gleichung: |
| + | |type="{}"} | ||
| + | $L_{\rm E}(1) \ = \ ${ -0.188387--0.177413 } | ||
| + | $L_{\rm E}(2) \ = \ ${ -0.446711--0.420689 } | ||
| + | $L_{\rm E}(3) \ = \ ${ -0.1829 3% } | ||
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| + | {Welche der Eigenschaften weist die Funktion $y = \tanh {(x)}$ auf? | ||
| + | |type="[]"} | ||
| + | + Es gilt $\tanh {(x)} = (e^x - e^{-x}) \ / \ (e^x + e^{-x})$. | ||
| + | + Es gilt $\tanh {(x)} = (1 - e^{-2x}) \ / \ (1 + e^{-2x})$. | ||
| + | + Die Funktion $y = \tanh {(x)}$ ist für alle $x$–Werte definiert. | ||
| + | - Es gilt $y_{\rm min} = 0$ und $y_{\rm max} → ∞$ | ||
| + | + Es gilt $y_{\rm min} = -1$ und $y_{\rm max} = +1$. | ||
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| + | {Welche Eigenschaften weist die inverse Funktion $x = \tanh {(-1)}(y)$ auf? | ||
| + | |type="[]"} | ||
| + | - Die Funktion $x = \tanh^{-1}{(y)}$ ist für alle $y$–Werte definiert. | ||
| + | + Es gilt $x = \tanh^{-1}{(y)} = 1/2 \cdot \ln {[(1 + y) \ / \ (1 - y)]}$. | ||
| + | - Es gilt $x_{\rm min} = -1$ und $x_{\rm max} = +1$. | ||
| + | + Es gilt $x_{\rm min} → -∞$ und $x_{\rm max} → +∞$. | ||
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| + | {Wie lässt sich $L_{\rm E}(i)$ auch darstellen? Es sei $\pi$ wie auf der Angabenseite definiert. | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | + | + | - Es gilt $L_{\rm E}(i) = \tanh^{-1}{(\pi)}$. |
| − | - | + | + Es gilt $L_{\rm E}(i) = 2 \cdot \tanh^{-1}{(\pi)}$. |
| + | - Es gilt $L_{\rm E}(i) = 2 \cdot \tanh^{-1}{\ln {[(1 + \pi) \ / \ (1 - \pi)]}}$. | ||
| − | { | + | {Berechnen Sie die extrinsischen $L$–Werte mit der Gleichung gemäß Aufgabe (4). Verwenden Sie hierzu die Tabelle auf der Angabenseite. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $ | + | $L_{\rm E}(1) \ = \ ${ -0.18849--0.17751 } |
| + | $L_{\rm E}(2) \ = \ ${ -0.446608--0.420592 } | ||
| + | $L_{\rm E}(3) \ = \ ${ -0.183 3% } | ||
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Version vom 9. Dezember 2017, 11:08 Uhr
Tabelle $y = \tanh {(x)}$
Im Theorieteil wurde am Beispiel des Single Parity–check Codes gezeigt, dass der extrinsische $L$–Wert bezüglich des $i$–ten Symbols wie folgt definiert ist:
- $$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}\frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]} \hspace{0.05cm}.$$
Diese Gleichung ist auch bei vielen anderen Kanalcodes anwendbar. Das Codewort $\underline{x}^{(-i)}$ in dieser Definition beinhaltet alle Symbole mit Ausnahme von $x_i$ und hat somit die Länge $n-1$.
In der Aufgabe A4.4 wurde gezeigt, dass der extrinsische $L$–Wert auch wie folgt geschrieben werden kann:
- $$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + \pi}{1 - \pi}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm} \pi = \prod\limits_{j \ne i}^{n} \hspace{0.15cm}{\rm tanh}(L_j/2) \hspace{0.05cm}.$$
In dieser Aufgabe soll nun nach einer weiteren Berechnungsmöglichkeit gesucht werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 4.1.
- Rechts oben sehen Sie eine Tabelle mit den Zahlenwerten der Funktion $y = \tanh {(x)}$ ⇒ Tangens Hyperbolikus. Mit den rot hinterlegten Zeilen kann man die Werte der inversen Funktion $x = \tanh^{-1}{(y)}$ ablesen, die für die Teilaufgabe (5) benötigt werden.
Fragebogen
Musterlösung
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
