Aufgaben:Aufgabe 1.10: Einige Generatormatrizen: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Wir betrachten nun verschiedene Binärcodes einheitlicher Länge | + | Wir betrachten nun verschiedene Binärcodes einheitlicher Länge $n$. Alle Codes der Form |
:$$\underline{x} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} ( x_1, x_2, ... \hspace{0.05cm}, x_n) \hspace{0.05cm},$$ | :$$\underline{x} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} ( x_1, x_2, ... \hspace{0.05cm}, x_n) \hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$ x_i \hspace{-0.15cm}\ \in \ \hspace{-0.15cm} \{ 0, 1 \},\hspace{0.2cm} i = 1, ... \hspace{0.05cm}, n$$ | :$$ x_i \hspace{-0.15cm}\ \in \ \hspace{-0.15cm} \{ 0, 1 \},\hspace{0.2cm} i = 1, ... \hspace{0.05cm}, n$$ | ||
− | lassen sich in einem | + | lassen sich in einem $n$–dimensionalen Vektorraum darstellen und interpretieren ⇒ $\rm GF(2^n)$. |
− | Durch eine $k×n$–Generatormatrix | + | Durch eine $k×n$–Generatormatrix $\mathbf{G}$ (also eine Matrix mit $k$ Zeilen und $n$ Spalten) ergibt sich ein $(n, \, k)$–Code, allerdings nur dann, wenn der Rang (englisch: ''Rank'') der Matrix $\mathbf{G}$ ebenfalls gleich $k$ ist. Weiter gilt: |
− | *Jeder Code | + | *Jeder Code $C$ spannt einen $k$–dimensionalen linearen Untervektorraum des Galoisfeldes $\rm GF(2^n$) auf. |
− | *Als Basisvektoren dieses Untervektorraums können | + | *Als Basisvektoren dieses Untervektorraums können $k$ unabhängige Codeworte von $C$ verwendet werden. Eine weitere Einschränkung gibt es für die Basisvektoren nicht. |
− | *Die Prüfmatrix | + | *Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ spannt ebenfalls einen Untervektorraum von $\rm GF(2^n)$ auf. Dieser hat aber die Dimension $m = n – k$ und ist orthogonal zum Untervektorraum, der auf $\mathbf{G}$ basiert. |
− | *Bei einem linearen Code gilt $ \underline{x} = \underline{u} · \boldsymbol{ {\rm G}} $, wobei $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{k})$ das Informationswort angibt. Ein systematischer Code liegt vor, wenn $x_{1} = u_{1}, ... , x_{k} = u_{k}$ gilt. | + | *Bei einem linearen Code gilt $\underline{x} = \underline{u} · \boldsymbol{ {\rm G}}$, wobei $\underline{u} = (u_{1}, \, u_{2}, \, ... \, , \, u_{k})$ das Informationswort angibt. Ein systematischer Code liegt vor, wenn $x_{1} = u_{1}, \, ... \, , \, x_{k} = u_{k}$ gilt. |
− | *Bei einem systematischen Code besteht ein einfacher Zusammenhang zwischen | + | *Bei einem systematischen Code besteht ein einfacher Zusammenhang zwischen $\mathbf{G}$ und $\mathbf{H}$. Nähere Angaben hierzu finden Sie im [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|Theorieteil]]. |
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+ | * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer | ||
+ | Blockcodes]]. | ||
+ | * Für die gesamte Aufgabe gilt $n = 6$. In der Teilaufgabe (4) soll geklärt werden, welche der Matrizen $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm A}, \ \boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm B}$ bzw. $ \boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm C}$ zu einem $(6, \, 3)$–Blockcode mit den nachfolgend aufgeführten Codeworten führen: | ||
+ | :$$ \mathcal{C}_{(6,\hspace{0.05cm} 3)} = \{ \ ( 0, 0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 0, 1, 0, 1, 1), \hspace{0.1cm}(0, 1, 0, 1, 0, 1), \hspace{0.1cm}(0, 1, 1, 1, 1, 0), \\ \hspace{2cm} ( 1, 0, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.1cm}(1, 0, 1, 1, 0, 1), \hspace{0.1cm}(1, 1, 0, 0, 1, 1), \hspace{0.1cm}(1, 1, 1, 0, 0, 0) \}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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{Bekannt sind nur die zwei Codeworte $(0, 1, 0, 1, 0, 1)$ und $(1, 0, 0, 1, 1, 0)$ eines linearen Codes. Welche Aussagen sind zutreffend? | {Bekannt sind nur die zwei Codeworte $(0, 1, 0, 1, 0, 1)$ und $(1, 0, 0, 1, 1, 0)$ eines linearen Codes. Welche Aussagen sind zutreffend? | ||
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− | - Es könnte sich um einen (5, 2)–Code handeln. | + | - Es könnte sich um einen $(5, \, 2)$–Code handeln. |
− | + Es könnte sich um einen (6, 2)–Code handeln. | + | + Es könnte sich um einen $(6, \, 2)$–Code handeln. |
− | + Es könnte sich um einen (6, 3)–Code handeln. | + | + Es könnte sich um einen $(6, \, 3)$–Code handeln. |
− | {Wie lauten die Codeworte des linearen (6, 2)–Codes explizit? | + | {Wie lauten die Codeworte des linearen $(6, \, 2)$–Codes explizit? |
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− | - $(0 0 1 0 1 1), | + | - $(0 0 1 0 1 1), \ (0 1 0 1 0 1), \ (1 0 0 1 1 0), \ (1 1 0 0 1 1).$ |
− | + $(0 0 0 0 0 0), | + | + $(0 0 0 0 0 0), \ (0 1 0 1 0 1), \ (1 0 0 1 1 0), \ (1 1 0 0 1 1).$ |
− | - $(0 0 0 0 0 0), | + | - $(0 0 0 0 0 0), \ (0 1 0 1 0 1), \ (1 0 0 1 1 0), \ (1 1 1 0 0 0).$ |
− | {Welche Aussagen gelten für diesen (6, 2)–Code | + | {Welche Aussagen gelten für diesen $(6, \, 2)$–Code $C$? |
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+ Für alle Codeworte $(i = 1, ... , 4)$ gilt $\underline{x}_{i} \in {\rm GF}(2^6)$. | + Für alle Codeworte $(i = 1, ... , 4)$ gilt $\underline{x}_{i} \in {\rm GF}(2^6)$. | ||
− | + | + | + $C$ ist ein 2–dimensionaler linearer Untervektorraum von $\rm GF(2^6)$. |
− | + | + | + $\mathbf{G}$ gibt Basisvektoren dieses Untervektorraumes $GF \, (2^2)$ an. |
− | - | + | - $\mathbf{G}$ und $\mathbf{H}$ sind jeweils $2×6$–Matrizen. |
− | {Welche der Generatormatrizen (siehe Grafik) führen zu einem (6, 3)–Code? | + | {Welche der Generatormatrizen (siehe Grafik) führen zu einem $(6, \, 3)$–Code? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
+ Generatormatrix $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm A}$, | + Generatormatrix $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm A}$, |
Version vom 20. Dezember 2017, 09:38 Uhr
Wir betrachten nun verschiedene Binärcodes einheitlicher Länge $n$. Alle Codes der Form
- $$\underline{x} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} ( x_1, x_2, ... \hspace{0.05cm}, x_n) \hspace{0.05cm},$$
- $$ x_i \hspace{-0.15cm}\ \in \ \hspace{-0.15cm} \{ 0, 1 \},\hspace{0.2cm} i = 1, ... \hspace{0.05cm}, n$$
lassen sich in einem $n$–dimensionalen Vektorraum darstellen und interpretieren ⇒ $\rm GF(2^n)$.
Durch eine $k×n$–Generatormatrix $\mathbf{G}$ (also eine Matrix mit $k$ Zeilen und $n$ Spalten) ergibt sich ein $(n, \, k)$–Code, allerdings nur dann, wenn der Rang (englisch: Rank) der Matrix $\mathbf{G}$ ebenfalls gleich $k$ ist. Weiter gilt:
- Jeder Code $C$ spannt einen $k$–dimensionalen linearen Untervektorraum des Galoisfeldes $\rm GF(2^n$) auf.
- Als Basisvektoren dieses Untervektorraums können $k$ unabhängige Codeworte von $C$ verwendet werden. Eine weitere Einschränkung gibt es für die Basisvektoren nicht.
- Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ spannt ebenfalls einen Untervektorraum von $\rm GF(2^n)$ auf. Dieser hat aber die Dimension $m = n – k$ und ist orthogonal zum Untervektorraum, der auf $\mathbf{G}$ basiert.
- Bei einem linearen Code gilt $\underline{x} = \underline{u} · \boldsymbol{ {\rm G}}$, wobei $\underline{u} = (u_{1}, \, u_{2}, \, ... \, , \, u_{k})$ das Informationswort angibt. Ein systematischer Code liegt vor, wenn $x_{1} = u_{1}, \, ... \, , \, x_{k} = u_{k}$ gilt.
- Bei einem systematischen Code besteht ein einfacher Zusammenhang zwischen $\mathbf{G}$ und $\mathbf{H}$. Nähere Angaben hierzu finden Sie im Theorieteil.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes.
- Für die gesamte Aufgabe gilt $n = 6$. In der Teilaufgabe (4) soll geklärt werden, welche der Matrizen $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm A}, \ \boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm B}$ bzw. $ \boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm C}$ zu einem $(6, \, 3)$–Blockcode mit den nachfolgend aufgeführten Codeworten führen:
- $$ \mathcal{C}_{(6,\hspace{0.05cm} 3)} = \{ \ ( 0, 0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 0, 1, 0, 1, 1), \hspace{0.1cm}(0, 1, 0, 1, 0, 1), \hspace{0.1cm}(0, 1, 1, 1, 1, 0), \\ \hspace{2cm} ( 1, 0, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.1cm}(1, 0, 1, 1, 0, 1), \hspace{0.1cm}(1, 1, 0, 0, 1, 1), \hspace{0.1cm}(1, 1, 1, 0, 0, 0) \}\hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(2) Da es sich um einen linearen Code handelt, muss die Modulo–2–Summe
- $$(0, 1, 0, 1, 0, 1) \oplus (1, 0, 0, 1, 1, 0) = (1, 1, 0, 0, 1, 1)$$
ebenfalls ein gültiges Codewort sein. Ebenso das Nullwort:
- $$(0, 1, 0, 1, 0, 1) \oplus (0, 1, 0, 1, 0, 1) = (0, 0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.05cm}.$$
Richtig ist somit Antwort 2.
(3) Richtig sind hier die Aussagen 1 bis 3. Basisvektoren der Generatormatrix G sind beispielsweise die beiden gegebenen Codeworte, woraus sich auch die Prüfmatrix H bestimmen lässt:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &0 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &0 &0 &1 &0\\ 0 &1 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
Allgemein wird durch die k Basisvektoren der Generatormatrix G ein k–dimensionaler Untervektorraum aufgespannt und durch die $m×n$–Matrix H (mit $m = n – k$) ein hierzu orthogonaler Untervektorraum der Dimension m. Anmerkung: Der hier angegebene
- $$\mathcal{C}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \{ (0, 0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 1, 0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.1cm}(1, 1, 0, 0, 1, 1) \}$$
ist nicht sonderlich effektiv, da $p_{1} = x_{3}$ stets 0 ist. Durch Punktierung kommt man zum Code
- $$\mathcal{C}_{(5,\hspace{0.05cm} 2)} = \{ (0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.1cm}(1, 1, 0, 1, 1) \}$$
mit gleicher Minimaldistanz $d_{\rm min} = 3$, aber größerer Coderate $R = 2/5$ gegenüber $R = 1/3$.
(4)Die drei Zeilen $g_{1}, g_{2} {\rm und} g_{3}$ der Matrix $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm A}$ sind als Basisvektoren geeignet, da sie linear unabhängig sind, das heißt, es gilt
- $$\underline{g}_1 \oplus \underline{g}_2 \hspace{-0.15cm} \ \ne \ \hspace{-0.15cm} \underline{g}_3\hspace{0.05cm},\\ \underline{g}_1 \oplus \underline{g}_3 \hspace{-0.15cm} \ \ne \ \hspace{-0.15cm} \underline{g}_2\hspace{0.05cm},\\ \underline{g}_2 \oplus \underline{g}_3 \hspace{-0.15cm} \ \ne \ \hspace{-0.15cm} \underline{g}_1\hspace{0.05cm}.$$
Gleiches gilt für Matrix $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm B}$. Die Basisvektoren sind hier so gewählt, dass der Code auch systematisch ist.
Für die letzte Generatormatrix gilt: $\underline{g}_{1}⊕\underline{g}_{2} = \underline{g}_{3}$ ⇒ der Rang der Matrix (2) ist kleiner als deren Ordnung (3). Hier führt nicht nur $\underline{u} = (0, 0, 0)$ zum Codewort $(0, 0, 0, 0, 0, 0)$, sondern auch $\underline{u} = (1, 1, 1)$. Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2.