Aufgaben:Aufgabe 4.11Z: Coderate aus der Prüfmatrix: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | Sind die $m$ Prüfgleichungen aller Matrix–Zeilen linear unabhängig, so gilt in obiger Ungleichung das Gleichheitszeichen. | ||
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| + | Verwendet ist hier die folgende Nomenklatur: | ||
| + | * $w_{\rm Z}(j)$ mit $1 ≤ j ≤ m$ ist das [[Hamming–Gewicht]] der $j$–ten Zeile der Prüfmatrix. | ||
| + | * Durch <i>Erwartungswertbildung</i> ergibt sich: | ||
| + | :$${\rm E}[w_{{\rm Z}}] =\frac{1}{m} \cdot \sum_{j = 1}^{m} | ||
| + | w_{{\rm Z}}(j)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | * Entsprechend gibt $w_{\rm S}(i)$ mit $1 ≤ i ≤ n$ das Hamming–Gewicht der $i$–ten Spalte von $\mathbf{H}$ an, mit dem Erwartungswert | ||
| + | :$${\rm E}[w_{{\rm S}}] =\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} | ||
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| + | * Die Aufgabe gehört um Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes| Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes]] | ||
Version vom 12. Dezember 2017, 17:23 Uhr
Vorgegebene Prüfmatrizen
In dieser Aufgabe sollen die Coderaten der Codes $C_1, \, C_2, \, C_3$ und $C_4$ ermittelt werden, wobei die Codes allein durch ihre Prüfmatrizen gegeben sind. Eine untere Schranke für die Coderate $R$ lautet:
- $$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]} \hspace{0.05cm}.$$
Sind die $m$ Prüfgleichungen aller Matrix–Zeilen linear unabhängig, so gilt in obiger Ungleichung das Gleichheitszeichen.
Verwendet ist hier die folgende Nomenklatur:
- $w_{\rm Z}(j)$ mit $1 ≤ j ≤ m$ ist das Hamming–Gewicht der $j$–ten Zeile der Prüfmatrix.
- Durch Erwartungswertbildung ergibt sich:
- $${\rm E}[w_[[:Vorlage:\rm Z]]] =\frac{1}{m} \cdot \sum_{j = 1}^{m} w_[[:Vorlage:\rm Z]](j)\hspace{0.05cm}.$$
- Entsprechend gibt $w_{\rm S}(i)$ mit $1 ≤ i ≤ n$ das Hamming–Gewicht der $i$–ten Spalte von $\mathbf{H}$ an, mit dem Erwartungswert
- $${\rm E}[w_[[:Vorlage:\rm S]]] =\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} w_[[:Vorlage:\rm S]](i)\hspace{0.05cm}.$$
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört um Themengebiet des Kapitels Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes
Fragebogen
Musterlösung
(1)
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(3)
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(5)
