Aufgaben:Aufgabe 1.13Z: Nochmals BEC–Decodierung: Unterschied zwischen den Versionen
| Zeile 10: | Zeile 10: | ||
* Im Gegensatz zur [[Aufgaben:1.13_BEC–Decodierung|Aufgabe 1.13]] soll hier die Lösung nicht streng formal, sondern eher intuitiv gefunden werden. | * Im Gegensatz zur [[Aufgaben:1.13_BEC–Decodierung|Aufgabe 1.13]] soll hier die Lösung nicht streng formal, sondern eher intuitiv gefunden werden. | ||
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | * Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
| + | |||
| + | |||
| Zeile 15: | Zeile 17: | ||
===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
| − | |||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
Wie groß ist die minimale Distanz des vorliegenden Codes? | Wie groß ist die minimale Distanz des vorliegenden Codes? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $\ d_{\rm min}$ | + | $\ d_{\rm min} \ = \ $ { 3 3% } |
{Ist der Code systematisch? | {Ist der Code systematisch? | ||
| Zeile 28: | Zeile 26: | ||
+ JA. | + JA. | ||
- NEIN. | - NEIN. | ||
| − | |||
{Bis zu wie vielen ''Erasures'' ist die erfolgreiche Decodierung gewährleistet? | {Bis zu wie vielen ''Erasures'' ist die erfolgreiche Decodierung gewährleistet? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $\ e_{\ max} \ = \ ${ 2 3% } | + | $\ e_{\ max} \ = \ $ { 2 3% } |
{Wie lautet das gesendete Informationswort $\underline{u}$ für $\underline{y} = (1, 0, {\rm E}, {\rm E}, 0, 1, 0)$? | {Wie lautet das gesendete Informationswort $\underline{u}$ für $\underline{y} = (1, 0, {\rm E}, {\rm E}, 0, 1, 0)$? | ||
| Zeile 52: | Zeile 49: | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''(1)''' Betrachtet wird der (7, 4, 3)–Hamming–Code. Dementsprechend ist die minimale Distanz $d_{\rm min} \underline{= 3}$ | + | '''(1)''' Betrachtet wird der $(7, 4, 3)$–Hamming–Code. Dementsprechend ist die minimale Distanz $d_{\rm min} \ \underline{= 3}$. |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | '''(2)''' Die ersten $k = 4 \ \rm Bit$ eines jeden Codewortes $\underline{x}$ stimmen mit dem Informationswort $\underline{u} überein. Richtig ist somit <u>JA</u>. | ||
| Zeile 63: | Zeile 58: | ||
| − | + | '''(4)''' In der Tabelle auf der Angabenseite findet man ein einziges Codewort, das mit „$10$” beginnt und mit „$010$” endet, nämlich $\underline{x} = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$. Da es sich um einen systematischen Code handelt, beschreiben die ersten $k = 4 \ \rm Bit$ das Informationswort $\underline{u} = (1, 0, 0, 1)$ ⇒ <u>Antwort 2</u>. | |
| − | '''(4)''' In der Tabelle auf der Angabenseite findet man ein einziges Codewort, das mit | ||
'''(5)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. | '''(5)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. | ||
| − | * $\underline{y}_{\rm D} = (1, 0, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, 0)$ kann nicht decodiert werden, da weniger als $k = 4$ | + | * $\underline{y}_{\rm D} = (1, 0, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, 0)$ kann nicht decodiert werden, da weniger als $k = 4 \ \rm Bit$ (Anzahl der Informationsbit) ankommen. |
*$\underline{y}_{\rm C} = ( {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, 1, 0, 1, 0)$ ist ebenfalls nicht decodierbar, da sowohl $\underline{x} = (0, 1, 1, 1, 0, 1, 0)$ als auch $\underline{x} = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$ als mögliches Ergebnis in Frage kommen. | *$\underline{y}_{\rm C} = ( {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, 1, 0, 1, 0)$ ist ebenfalls nicht decodierbar, da sowohl $\underline{x} = (0, 1, 1, 1, 0, 1, 0)$ als auch $\underline{x} = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$ als mögliches Ergebnis in Frage kommen. | ||
| Zeile 76: | Zeile 70: | ||
*$\underline{y}_{\rm A} = (1, 0, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$ ist decodierbar. Es fehlen nur die $m = 3$ Prüfbit. Damit liegt das Informationswort $\underline{u} = (1, 0, 0, 1)$ ebenfalls fest (systematischer Code). | *$\underline{y}_{\rm A} = (1, 0, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$ ist decodierbar. Es fehlen nur die $m = 3$ Prüfbit. Damit liegt das Informationswort $\underline{u} = (1, 0, 0, 1)$ ebenfalls fest (systematischer Code). | ||
| − | |||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
Version vom 20. Dezember 2017, 22:46 Uhr
Wir betrachten wieder wie in der vorherigen Aufgabe die Decodierung eines Hamming–Codes nach der Übertragung über einen Auslöschungskanal ⇒ Binary Erasure Channel (abgekürzt BEC). Der $(7, 4, 3)$–Hamming–Code wird durch die nebenstehende Codetabelle $\underline{u}_{i} → \underline{x}_{i}$ vollständig beschrieben, anhand derer alle Lösungen gefunden werden können.
Hinweise :
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Decodierung linearer Blockcodes.
- Im Gegensatz zur Aufgabe 1.13 soll hier die Lösung nicht streng formal, sondern eher intuitiv gefunden werden.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Die ersten $k = 4 \ \rm Bit$ eines jeden Codewortes $\underline{x}$ stimmen mit dem Informationswort $\underline{u} überein. Richtig ist somit <u>JA</u>.
'''(3)''' Es können bis zu $e_{\rm max} = d_{\rm min} – 1 \underline{ = 2}$ Bit ausgelöscht sein, damit eine Decodierung mit Sicherheit möglich ist. Jedes Codewort unterscheidet sich von jedem anderen in mindestens drei Bitpositionen. Bei nur zwei Auslöschungen kann deshalb das Codewort in jedem Fall rekonstruiert werden.
'''(4)''' In der Tabelle auf der Angabenseite findet man ein einziges Codewort, das mit „$10$” beginnt und mit „$010$” endet, nämlich $\underline{x} = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$. Da es sich um einen systematischen Code handelt, beschreiben die ersten $k = 4 \ \rm Bit$ das Informationswort $\underline{u} = (1, 0, 0, 1)$ ⇒ <u>Antwort 2</u>.
'''(5)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
* $\underline{y}_{\rm D} = (1, 0, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, 0)$ kann nicht decodiert werden, da weniger als $k = 4 \ \rm Bit$ (Anzahl der Informationsbit) ankommen.
*$\underline{y}_{\rm C} = ( {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, 1, 0, 1, 0)$ ist ebenfalls nicht decodierbar, da sowohl $\underline{x} = (0, 1, 1, 1, 0, 1, 0)$ als auch $\underline{x} = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$ als mögliches Ergebnis in Frage kommen.
*$\underline{y}_{\rm B} = ( {\rm E}, {\rm E}, 0, {\rm E}, 0, 1, 0)$ ist dagegen decodierbar, da von allen 16 möglichen Codeworten nur $\underline{x} = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$ mit $\underline{y}_{\rm B}$ in den (richtigen) Bitpositionen 3, 5, 6 und 7 übereinstimmt.
*$\underline{y}_{\rm A} = (1, 0, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$ ist decodierbar. Es fehlen nur die $m = 3$ Prüfbit. Damit liegt das Informationswort $\underline{u} = (1, 0, 0, 1)$ ebenfalls fest (systematischer Code).
