Stochastische Signaltheorie/Wiener–Kolmogorow–Filter: Unterschied zwischen den Versionen
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==Optimierungskriterium des Wiener–Kolmogorow–Filters== | ==Optimierungskriterium des Wiener–Kolmogorow–Filters== | ||
| − | Als weiteres Beispiel zur Optimalfilterung betrachten wir nun die Aufgabenstellung, die Form eines Nutzsignals $s(t)$ aus dem durch additives Rauschen $n(t)$ gestörten Empfangssignals $r(t)$ im Sinne des ''mittleren quadratischen Fehlers'' (MQF) möglichst gut zu rekonstruieren: | + | <br> |
| − | $${\rm{MQF}} = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{{T_{\rm M} }}\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {\left| {d(t) - s(t)} \right|^2 \, {\rm{d}}t} \mathop = \limits^! {\rm{Minimum}}.$$ | + | Als ein weiteres Beispiel zur Optimalfilterung betrachten wir nun die Aufgabenstellung, die Form eines Nutzsignals $s(t)$ aus dem durch additives Rauschen $n(t)$ gestörten Empfangssignals $r(t)$ im Sinne des ''mittleren quadratischen Fehlers'' (MQF) möglichst gut zu rekonstruieren: |
| + | :$${\rm{MQF}} = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{{T_{\rm M} }}\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {\left| {d(t) - s(t)} \right|^2 \, {\rm{d}}t} \mathop = \limits^! {\rm{Minimum}}.$$ | ||
Das entsprechende Filter ist nach seinen Erfindern [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Norbert Wiener] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Andrei_Nikolajewitsch_Kolmogorow Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow] benannt. Den entsprechenden Frequenzgang bezeichnen wir mit $H_{\rm WF}(f).$ | Das entsprechende Filter ist nach seinen Erfindern [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Norbert Wiener] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Andrei_Nikolajewitsch_Kolmogorow Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow] benannt. Den entsprechenden Frequenzgang bezeichnen wir mit $H_{\rm WF}(f).$ | ||
| − | + | [[Datei:P_ID650__Sto_T_5_5_S1_neu.png|right |frame| Zur Herleitung des Wiener-Filters]] | |
Für diese Optimierungsaufgabe gelten folgende Voraussetzungen: | Für diese Optimierungsaufgabe gelten folgende Voraussetzungen: | ||
| − | *Das zu rekonstruierende Signal $s(t)$ ist das Ergebnis eines Zufallsprozesses { | + | *Das zu rekonstruierende Signal $s(t)$ ist das Ergebnis eines Zufallsprozesses $\{s(t)\}$, von dem nur die statistischen Eigenschaften in Form des Leistungsdichtespektrums ${\it Φ}_s(f)$ bekannt sind. |
| − | *Das Störsignal $n(t)$ ist durch das LDS ${\it Φ}_n(f)$ gegeben. Korrelationen zwischen dem Nutz– und dem Störsignal | + | *Das Störsignal $n(t)$ ist durch das LDS ${\it Φ}_n(f)$ gegeben. Korrelationen zwischen dem Nutz– und dem Störsignal werden durch die [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte#Kreuzleistungsdichtespektrum|Kreuzleistungsdichtespektren]] ${\it Φ}_{sn}(f) = \hspace{0.1cm} –{ {\it Φ}_{ns} }^∗(f)$ berücksichtigt. |
| − | *Das Ausgangssignal des gesuchten Filters ist mit $d(t)$ bezeichnet, das sich entsprechend des MQF möglichst wenig von $ | + | *Das Ausgangssignal des gesuchten Filters ist mit $d(t)$ bezeichnet, das sich entsprechend des MQF möglichst wenig von $s(t)$ unterscheiden soll. $T_{\rm M}$ bezeichnet wiederum die Messdauer. |
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Das Signal $s(t)$ sei mittelwertfrei $(m_s = 0)$ und leistungsbegrenzt. Das bedeutet: Die Signalenergie $E_s$ ist aufgrund der unendlichen Ausdehnung des Signals $s(t)$ unendlich und die Signalleistung besitzt einen endlichen Wert: | Das Signal $s(t)$ sei mittelwertfrei $(m_s = 0)$ und leistungsbegrenzt. Das bedeutet: Die Signalenergie $E_s$ ist aufgrund der unendlichen Ausdehnung des Signals $s(t)$ unendlich und die Signalleistung besitzt einen endlichen Wert: | ||
| − | :$$P_s = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{{T_{\rm M} }}\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {s(t)^2 \, {\rm{d}}t > 0.}$$ | + | :$$P_s = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{{T_{\rm M} }}\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} |{s(t)|^2 \, {\rm{d}}t > 0.}$$ |
| − | Ein grundsätzlicher Unterschied zur Aufgabenstellung beim Matched–Filter ist das stochastische und leistungsbegrenzte Nutzsignal $s(t)$. Erinnern wir uns: Beim Matched–Filter war das zu rekonstruierende Signal $g(t)$ deterministisch, zeitlich begrenzt und damit auch energiebegrenzt. | + | *Ein grundsätzlicher Unterschied zur Aufgabenstellung beim Matched–Filter ist das stochastische und leistungsbegrenzte Nutzsignal $s(t)$. |
| + | *Erinnern wir uns: Beim Matched–Filter war das zu rekonstruierende Signal $g(t)$ deterministisch, zeitlich begrenzt und damit auch energiebegrenzt. | ||
==Ergebnis der Filteroptimierung== | ==Ergebnis der Filteroptimierung== | ||
| − | A. Kolmogorow und N. Wiener haben dieses Optimierungsproblem nahezu zur gleichen Zeit unabhängig voneinander gelöst. Die Übertragungsfunktion des optimalen Filters kann über die so genannte ''Wiener-Hopfsche Integralgleichung'' ermittelt werden, und lautet: | + | <br> |
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| + | [https://de.wikipedia.org/wiki/Andrei_Nikolajewitsch_Kolmogorow A. Kolmogorow] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener N. Wiener] haben dieses Optimierungsproblem nahezu zur gleichen Zeit unabhängig voneinander gelöst. Die '''Übertragungsfunktion des optimalen Filters''' kann über die so genannte ''Wiener-Hopfsche Integralgleichung'' ermittelt werden, und lautet: | ||
:$$H_{\rm WF} (f) = \frac{{ {\it \Phi }_s (f) + {\it \Phi }_{ns} (f)} }{ { {\it \Phi }_s (f) + {\it \Phi }_{sn} (f) + {\it \Phi }_{ns} (f) + {\it \Phi }_n (f)}}.$$ | :$$H_{\rm WF} (f) = \frac{{ {\it \Phi }_s (f) + {\it \Phi }_{ns} (f)} }{ { {\it \Phi }_s (f) + {\it \Phi }_{sn} (f) + {\it \Phi }_{ns} (f) + {\it \Phi }_n (f)}}.$$ | ||
| − | Der Index „WF” steht für Wiener-Filter und lässt leider die Verdienste von Kolmogorow nicht erkennen. Auf die exakte, mathematische Ableitung der Gleichung wird hier verzichtet. Vielmehr soll dieses Filter im Folgenden an einigen Sonderfällen verdeutlicht und interpretiert werden. | + | Der Index „WF” steht für Wiener-Filter und lässt leider die Verdienste von Kolmogorow nicht erkennen. |
| − | *Sind Signal und Störung unkorreliert ⇒ ${\it Φ}_{sn}(f) = {\it Φ}_{ns}(f) = 0$, so vereinfacht sich die obige Gleichung wie folgt: | + | |
| + | Die Herleitung dieses Ergebnisses ist nicht trivial und zum Beispiel in [Hän97]<ref>Hänsler, E.: ''Statistische Signale: Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1997.</ref> zu finden. }} | ||
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| + | Auf die exakte, mathematische Ableitung der Gleichung wird hier verzichtet. Vielmehr soll dieses Filter im Folgenden an einigen Sonderfällen verdeutlicht und interpretiert werden. | ||
| + | *Sind Signal und Störung unkorreliert ⇒ ${\it Φ}_{sn}(f) = {\it Φ}_{ns}(f) = 0$, so vereinfacht sich die obige Gleichung wie folgt: | ||
:$$H_{\rm WF} (f) = \frac{{ {\it \Phi }_s (f) }}{{ {\it \Phi }_s (f) + {\it \Phi }_n (f) }} = \frac{1}{{1 + {\it \Phi }_n (f) / {\it \Phi }_s (f) }}.$$ | :$$H_{\rm WF} (f) = \frac{{ {\it \Phi }_s (f) }}{{ {\it \Phi }_s (f) + {\it \Phi }_n (f) }} = \frac{1}{{1 + {\it \Phi }_n (f) / {\it \Phi }_s (f) }}.$$ | ||
*Das Filter wirkt dann wie ein frequenzabhängiger Teiler, wobei das Teilerverhältnis durch die Leistungsdichtespektren von Nutzsignal und Störsignal bestimmt wird. | *Das Filter wirkt dann wie ein frequenzabhängiger Teiler, wobei das Teilerverhältnis durch die Leistungsdichtespektren von Nutzsignal und Störsignal bestimmt wird. | ||
| − | *Der „Durchlassbereich” liegt vorwiegend bei den Frequenzen, bei denen das Nutzsignal sehr viel größere Anteile besitzt als die Störung: ${\it Φ}_s(f) \gg {\it Φ}_n(f).$ | + | *Der „Durchlassbereich” liegt vorwiegend bei den Frequenzen, bei denen das Nutzsignal sehr viel größere Anteile besitzt als die Störung: |
| − | *Der mittlere quadratische Fehler (MQF) zwischen dem Filterausgangssignal $d(t)$ und dem zu approximierenden Eingangssignal $s(t)$ ist | + | :$${\it Φ}_s(f) \gg {\it Φ}_n(f).$$ |
| + | *Der ''mittlere quadratische Fehler'' (MQF) zwischen dem Filterausgangssignal $d(t)$ und dem zu approximierenden Eingangssignal $s(t)$ ist | ||
:$${\rm MQF} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{ {\it \Phi }_s (f) \cdot {\it \Phi }_n (f)}}{{ {\it \Phi }_s(f) + {\it \Phi }_n (f)}}\,{\rm{d}}f = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f) \cdot {\it \Phi }_n (f)}\, {\rm{d}}f.}$$ | :$${\rm MQF} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{ {\it \Phi }_s (f) \cdot {\it \Phi }_n (f)}}{{ {\it \Phi }_s(f) + {\it \Phi }_n (f)}}\,{\rm{d}}f = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f) \cdot {\it \Phi }_n (f)}\, {\rm{d}}f.}$$ | ||
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==Interpretation des Wiener-Filters== | ==Interpretation des Wiener-Filters== | ||
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In diesem Abschnitten wird das Wiener–Kolmogorow–Filter anhand zweier Beispiele verdeutlicht. | In diesem Abschnitten wird das Wiener–Kolmogorow–Filter anhand zweier Beispiele verdeutlicht. | ||
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| − | *Damit ist bekannt, dass $s(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $ | + | $\text{Beispiel 1:}$ Zur Verdeutlichung des Wiener–Filters betrachten wir als Grenzfall ein Sendesignal $s(t)$ mit dem LDS ${\it Φ}_s(f) = P_{\rm S} · δ(f ± f_{\rm S}).$ |
| + | *Damit ist bekannt, dass $s(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_{\rm S}$ ist. | ||
*Unbekannt sind dagegen Amplitude und Phase der aktuellen Musterfunktion $s(t)$. | *Unbekannt sind dagegen Amplitude und Phase der aktuellen Musterfunktion $s(t)$. | ||
| − | Bei weißem Rauschen ⇒ ${\it Φ}_n(f) = N_0/2$ | + | Bei weißem Rauschen ⇒ ${\it Φ}_n(f) = N_0/2$ lautet somit der Frequenzgang des Wiener-Filters: |
| − | :$$H_{\rm WF} (f) = \frac{1}{{1 +({N_0 /2})/{( | + | :$$H_{\rm WF} (f) = \frac{1}{ {1 +({N_0 /2})/{( P_{\rm S} \cdot\delta ( {f \pm f_{\rm S} } )} })}.$$ |
| − | *Bei allen Frequenzen mit Ausnahme von $f = | + | *Bei allen Frequenzen mit Ausnahme von $f = ±f_{\rm S}$ ergibt sich $H_{\rm WF}(f) = 0$, da hier der Nenner unendlich groß wird. |
| − | *Berücksichtigt man weiter, dass $δ(f = | + | *Berücksichtigt man weiter, dass $δ(f = ±f_{\rm S})$ an der Stelle $f = ±f_{\rm S}$ unendlich groß ist, so erhält man weiter $H_{\rm MF}(f = ±f_{\rm S} ) = 1. $ |
| − | *Das optimale Filter ist somit ein Bandpass um $ | + | *Das optimale Filter ist somit ein Bandpass um $f_{\rm S}$ mit unendlich kleiner Bandbreite. Der mittlere quadratische Fehler zwischen dem Sendesignal $s(t)$ und dem Filterausgangssignal $d(t)$ beträgt |
| − | :$${\rm{MQF}} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f) \cdot {\it \Phi_n} (f) \,{\rm{d}}f = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.03cm} {\rm > \hspace{0.03cm}0,}\;\;\varepsilon \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}\rm 0 } }\hspace{0.1cm} \int_{ | + | :$${\rm{MQF} } = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f) \cdot {\it \Phi_n} (f) \,{\rm{d} }f = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.03cm} {\rm > \hspace{0.03cm}0,}\;\;\varepsilon \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}\rm 0 } }\hspace{0.1cm} \int_{f_{\rm S} - \varepsilon }^{f_{\rm S} + \varepsilon }\hspace{-0.3cm} {N_0 }\,\,{\rm{d} }f = 0.$$ |
*Dieses unendlich schmale Bandpass–Filter würde bei den getroffenen Voraussetzungen die vollständige Regenerierung der Harmonischen hinsichtlich Amplitude und Phase erlauben. Unabhängig von der Größe der Störung $(N_0)$ würde somit $d(t) = s(t)$ gelten. | *Dieses unendlich schmale Bandpass–Filter würde bei den getroffenen Voraussetzungen die vollständige Regenerierung der Harmonischen hinsichtlich Amplitude und Phase erlauben. Unabhängig von der Größe der Störung $(N_0)$ würde somit $d(t) = s(t)$ gelten. | ||
| − | *Allerdings ist ein unendlich schmales Filter nicht realisierbar. Bei endlicher Bandbreite $Δf$ ist der mittlere quadratische Fehler (MQF) gleich $N_0 · Δf$. | + | *Allerdings ist ein unendlich schmales Filter nicht realisierbar. Bei endlicher Bandbreite $Δf$ ist der mittlere quadratische Fehler (MQF) gleich $N_0 · Δf$. }} |
| − | Dieses Beispiel hat einen Sonderfall behandelt, bei dem das bestmögliche Ergebnis $\rm MQF = 0$ zumindest theoretisch möglich | + | Dieses Beispiel hat einen Sonderfall behandelt, bei dem das bestmögliche Ergebnis $\rm MQF = 0$ zumindest theoretisch möglich wäre. Das folgende Beispiel geht von realistischeren Annahmen aus und liefert das Ergebnis $\rm MQF > 0$. |
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| − | + | $\text{Beispiel 2:}$ Nun betrachten wir ein ''stochastisches rechteckförmiges Binärsignal'' $s(t)$, das durch weißes Rauschen $n(t)$ additiv überlagert ist. Die Grafik enthält folgende Diagramme: | |
[[Datei:P_ID662__Sto_T_5_5_S3_neu.png |frame| Signale beim Wiener-Filter | rechts]] | [[Datei:P_ID662__Sto_T_5_5_S3_neu.png |frame| Signale beim Wiener-Filter | rechts]] | ||
*Oben ist grau das Summensignal $r(t) = s(t) + n(t)$ für ${\it Φ}_0/N_0 = 5$ dargestellt, wobei ${\it Φ}_0$ die Energie eines Einzelimpulses bezeichnet und $N_0$ die Rauschleistungsdichte des weißen Rauschens angibt. | *Oben ist grau das Summensignal $r(t) = s(t) + n(t)$ für ${\it Φ}_0/N_0 = 5$ dargestellt, wobei ${\it Φ}_0$ die Energie eines Einzelimpulses bezeichnet und $N_0$ die Rauschleistungsdichte des weißen Rauschens angibt. | ||
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| + | '''(2)''' Im Signal $d(t)$ fehlen vorwiegend die höherfrequenten Signalanteile (also die Sprünge). | ||
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| + | Mit keinem anderen Filter ergibt sich bei diesen Voraussetzungen ein kleinerer (mittlerer quadratischer) Fehler als mit dem Wiener-Filter. | ||
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*Der Gleichsignalübertragungsfaktor ergibt sich zu $H_{\rm WF}(f = 0) = {\it Φ}_0/({\it Φ}_0 + N_0/2) = 10/11.$ | *Der Gleichsignalübertragungsfaktor ergibt sich zu $H_{\rm WF}(f = 0) = {\it Φ}_0/({\it Φ}_0 + N_0/2) = 10/11.$ | ||
*Bei Vielfachen der Symbolfolgefrequenz $1/T$, bei denen das stochastische Nutzsignal $s(t)$ keine Spektralanteile besitzt, ist $H_{\rm WF}(f) = 0$. | *Bei Vielfachen der Symbolfolgefrequenz $1/T$, bei denen das stochastische Nutzsignal $s(t)$ keine Spektralanteile besitzt, ist $H_{\rm WF}(f) = 0$. | ||
| − | *Je mehr Nutzsignalanteile bei einer bestimmten Frequenz vorhanden sind, desto durchlässiger ist bei dieser Frequenz auch das Wiener-Filter. | + | *Je mehr Nutzsignalanteile bei einer bestimmten Frequenz vorhanden sind, desto durchlässiger ist bei dieser Frequenz auch das Wiener-Filter.}} |
==Aufgabe zum Kapitel== | ==Aufgabe zum Kapitel== | ||
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| − | [[Aufgaben:5.9 Minimierung des MQF|Aufgabe 5.9: | + | [[Aufgaben:5.9 Minimierung des MQF|Aufgabe 5.9: Minimierung des MQF]] |
Version vom 16. April 2018, 08:24 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Optimierungskriterium des Wiener–Kolmogorow–Filters
Als ein weiteres Beispiel zur Optimalfilterung betrachten wir nun die Aufgabenstellung, die Form eines Nutzsignals $s(t)$ aus dem durch additives Rauschen $n(t)$ gestörten Empfangssignals $r(t)$ im Sinne des mittleren quadratischen Fehlers (MQF) möglichst gut zu rekonstruieren:
- $${\rm{MQF}} = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{{T_{\rm M} }}\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {\left| {d(t) - s(t)} \right|^2 \, {\rm{d}}t} \mathop = \limits^! {\rm{Minimum}}.$$
Das entsprechende Filter ist nach seinen Erfindern Norbert Wiener und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow benannt. Den entsprechenden Frequenzgang bezeichnen wir mit $H_{\rm WF}(f).$
Zur Herleitung des Wiener-Filters
Für diese Optimierungsaufgabe gelten folgende Voraussetzungen:
- Das zu rekonstruierende Signal $s(t)$ ist das Ergebnis eines Zufallsprozesses $\{s(t)\}$, von dem nur die statistischen Eigenschaften in Form des Leistungsdichtespektrums ${\it Φ}_s(f)$ bekannt sind.
- Das Störsignal $n(t)$ ist durch das LDS ${\it Φ}_n(f)$ gegeben. Korrelationen zwischen dem Nutz– und dem Störsignal werden durch die Kreuzleistungsdichtespektren ${\it Φ}_{sn}(f) = \hspace{0.1cm} –{ {\it Φ}_{ns} }^∗(f)$ berücksichtigt.
- Das Ausgangssignal des gesuchten Filters ist mit $d(t)$ bezeichnet, das sich entsprechend des MQF möglichst wenig von $s(t)$ unterscheiden soll. $T_{\rm M}$ bezeichnet wiederum die Messdauer.
Das Signal $s(t)$ sei mittelwertfrei $(m_s = 0)$ und leistungsbegrenzt. Das bedeutet: Die Signalenergie $E_s$ ist aufgrund der unendlichen Ausdehnung des Signals $s(t)$ unendlich und die Signalleistung besitzt einen endlichen Wert:
- $$P_s = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{{T_{\rm M} }}\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} |{s(t)|^2 \, {\rm{d}}t > 0.}$$
- Ein grundsätzlicher Unterschied zur Aufgabenstellung beim Matched–Filter ist das stochastische und leistungsbegrenzte Nutzsignal $s(t)$.
- Erinnern wir uns: Beim Matched–Filter war das zu rekonstruierende Signal $g(t)$ deterministisch, zeitlich begrenzt und damit auch energiebegrenzt.
Ergebnis der Filteroptimierung
$\text{Hier ohne Beweis:}$ A. Kolmogorow und N. Wiener haben dieses Optimierungsproblem nahezu zur gleichen Zeit unabhängig voneinander gelöst. Die Übertragungsfunktion des optimalen Filters kann über die so genannte Wiener-Hopfsche Integralgleichung ermittelt werden, und lautet:
- $$H_{\rm WF} (f) = \frac{{ {\it \Phi }_s (f) + {\it \Phi }_{ns} (f)} }{ { {\it \Phi }_s (f) + {\it \Phi }_{sn} (f) + {\it \Phi }_{ns} (f) + {\it \Phi }_n (f)}}.$$
Der Index „WF” steht für Wiener-Filter und lässt leider die Verdienste von Kolmogorow nicht erkennen.
Die Herleitung dieses Ergebnisses ist nicht trivial und zum Beispiel in [Hän97][1] zu finden.
Auf die exakte, mathematische Ableitung der Gleichung wird hier verzichtet. Vielmehr soll dieses Filter im Folgenden an einigen Sonderfällen verdeutlicht und interpretiert werden.
- Sind Signal und Störung unkorreliert ⇒ ${\it Φ}_{sn}(f) = {\it Φ}_{ns}(f) = 0$, so vereinfacht sich die obige Gleichung wie folgt:
- $$H_{\rm WF} (f) = \frac{{ {\it \Phi }_s (f) }}{{ {\it \Phi }_s (f) + {\it \Phi }_n (f) }} = \frac{1}{{1 + {\it \Phi }_n (f) / {\it \Phi }_s (f) }}.$$
- Das Filter wirkt dann wie ein frequenzabhängiger Teiler, wobei das Teilerverhältnis durch die Leistungsdichtespektren von Nutzsignal und Störsignal bestimmt wird.
- Der „Durchlassbereich” liegt vorwiegend bei den Frequenzen, bei denen das Nutzsignal sehr viel größere Anteile besitzt als die Störung:
- $${\it Φ}_s(f) \gg {\it Φ}_n(f).$$
- Der mittlere quadratische Fehler (MQF) zwischen dem Filterausgangssignal $d(t)$ und dem zu approximierenden Eingangssignal $s(t)$ ist
- $${\rm MQF} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{ {\it \Phi }_s (f) \cdot {\it \Phi }_n (f)}}{{ {\it \Phi }_s(f) + {\it \Phi }_n (f)}}\,{\rm{d}}f = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f) \cdot {\it \Phi }_n (f)}\, {\rm{d}}f.}$$
Interpretation des Wiener-Filters
In diesem Abschnitten wird das Wiener–Kolmogorow–Filter anhand zweier Beispiele verdeutlicht.
$\text{Beispiel 1:}$ Zur Verdeutlichung des Wiener–Filters betrachten wir als Grenzfall ein Sendesignal $s(t)$ mit dem LDS ${\it Φ}_s(f) = P_{\rm S} · δ(f ± f_{\rm S}).$
- Damit ist bekannt, dass $s(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_{\rm S}$ ist.
- Unbekannt sind dagegen Amplitude und Phase der aktuellen Musterfunktion $s(t)$.
Bei weißem Rauschen ⇒ ${\it Φ}_n(f) = N_0/2$ lautet somit der Frequenzgang des Wiener-Filters:
- $$H_{\rm WF} (f) = \frac{1}{ {1 +({N_0 /2})/{( P_{\rm S} \cdot\delta ( {f \pm f_{\rm S} } )} })}.$$
- Bei allen Frequenzen mit Ausnahme von $f = ±f_{\rm S}$ ergibt sich $H_{\rm WF}(f) = 0$, da hier der Nenner unendlich groß wird.
- Berücksichtigt man weiter, dass $δ(f = ±f_{\rm S})$ an der Stelle $f = ±f_{\rm S}$ unendlich groß ist, so erhält man weiter $H_{\rm MF}(f = ±f_{\rm S} ) = 1. $
- Das optimale Filter ist somit ein Bandpass um $f_{\rm S}$ mit unendlich kleiner Bandbreite. Der mittlere quadratische Fehler zwischen dem Sendesignal $s(t)$ und dem Filterausgangssignal $d(t)$ beträgt
- $${\rm{MQF} } = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f) \cdot {\it \Phi_n} (f) \,{\rm{d} }f = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.03cm} {\rm > \hspace{0.03cm}0,}\;\;\varepsilon \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}\rm 0 } }\hspace{0.1cm} \int_{f_{\rm S} - \varepsilon }^{f_{\rm S} + \varepsilon }\hspace{-0.3cm} {N_0 }\,\,{\rm{d} }f = 0.$$
- Dieses unendlich schmale Bandpass–Filter würde bei den getroffenen Voraussetzungen die vollständige Regenerierung der Harmonischen hinsichtlich Amplitude und Phase erlauben. Unabhängig von der Größe der Störung $(N_0)$ würde somit $d(t) = s(t)$ gelten.
- Allerdings ist ein unendlich schmales Filter nicht realisierbar. Bei endlicher Bandbreite $Δf$ ist der mittlere quadratische Fehler (MQF) gleich $N_0 · Δf$.
Dieses Beispiel hat einen Sonderfall behandelt, bei dem das bestmögliche Ergebnis $\rm MQF = 0$ zumindest theoretisch möglich wäre. Das folgende Beispiel geht von realistischeren Annahmen aus und liefert das Ergebnis $\rm MQF > 0$.
$\text{Beispiel 2:}$ Nun betrachten wir ein stochastisches rechteckförmiges Binärsignal $s(t)$, das durch weißes Rauschen $n(t)$ additiv überlagert ist. Die Grafik enthält folgende Diagramme:
Signale beim Wiener-Filter
- Oben ist grau das Summensignal $r(t) = s(t) + n(t)$ für ${\it Φ}_0/N_0 = 5$ dargestellt, wobei ${\it Φ}_0$ die Energie eines Einzelimpulses bezeichnet und $N_0$ die Rauschleistungsdichte des weißen Rauschens angibt.
- In Bildmitte sind die Leistungsdichtespektren ${\it Φ}_s(f)$ und ${\it Φ}_n(f)$ in blauer bzw. roter Farbe skizziert und formelmäßig angegeben. Grün gezeichnet ist der Frequenzgang $H_{\rm WF}(f)$.
- Das untere Bild zeigt als grauen Kurvenzug das Ausgangssignal $d(t)$ des Wiener-Filters im Vergleich zum blau gezeichneten Sendesignal $s(t)$. Im Idealfall sollte $d(t) = s(t)$ gelten.
Die untere Darstellung zeigt:
(1) Der mittlere quadratische Fehler (MQF) zwischen den Signalen $d(t)$ und $s(t)$ beträgt hier etwa $11\%$ der Nutzleistung $P_{\rm S} $.
(2) Im Signal $d(t)$ fehlen vorwiegend die höherfrequenten Signalanteile (also die Sprünge).
(3) Diese Anteile werden zugunsten einer besseren Störunterdrückung bei diesen Frequenzen ausgefiltert.
Mit keinem anderen Filter ergibt sich bei diesen Voraussetzungen ein kleinerer (mittlerer quadratischer) Fehler als mit dem Wiener-Filter.
Dessen Frequenzgang (grüner Kurvenverlauf) lautet hier:
- $$H_{\rm WF} (f) = \frac{1}{ {1 + ({N_0 /2})/( {\it \Phi}_0 \cdot {\rm si^2} ( \pi f T )})} \hspace{0.15cm} .$$
Aus dem mittleren Diagramm erkennt man weiter:
- Der Gleichsignalübertragungsfaktor ergibt sich zu $H_{\rm WF}(f = 0) = {\it Φ}_0/({\it Φ}_0 + N_0/2) = 10/11.$
- Bei Vielfachen der Symbolfolgefrequenz $1/T$, bei denen das stochastische Nutzsignal $s(t)$ keine Spektralanteile besitzt, ist $H_{\rm WF}(f) = 0$.
- Je mehr Nutzsignalanteile bei einer bestimmten Frequenz vorhanden sind, desto durchlässiger ist bei dieser Frequenz auch das Wiener-Filter.
Aufgabe zum Kapitel
Aufgabe 5.9: Minimierung des MQF
Quellenverzeichnis
- ↑ Hänsler, E.: Statistische Signale: Grundlagen und Anwendungen. 2. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1997.
