Aufgaben:Aufgabe 4.7: Kupfer-Doppelader 0.5 mm: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 3: Zeile 3:
 
}}
 
}}
  
[[Datei:P_ID1818__LZI_A_4_7.png|right|Impulsantwort der Kupfer-Doppelader]]
+
[[Datei:P_ID1818__LZI_A_4_7.png|right|frame|Impulsantwort der Kupfer-Doppelader]]
Hier soll das Zeitverhalten einer Kupferdoppelader mit Durchmesser $d = 0.5 \ \rm mm$ analysiert werden. Der Frequenzgang lautet mit der Leitungslänge $l = 1.5 \ \rm km$  und der Bitrate $R = 10  \rm Mbit/s$:
+
Das Zeitverhalten einer Kupferdoppelader mit Durchmesser $d = 0.5 \ \rm mm$ soll analysiert werden.  
 +
 
 +
Der Frequenzgang lautet mit der Leitungslänge $l = 1.5 \ \rm km$  und der Bitrate $R = 10  \rm Mbit/s$:
 
:$$H_{\rm K}(f)  =  {\rm e}^{-{\rm a}_0 } \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot  \hspace{0.01cm}\tau_{\rm P}}
 
:$$H_{\rm K}(f)  =  {\rm e}^{-{\rm a}_0 } \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot  \hspace{0.01cm}\tau_{\rm P}}
 
   \cdot {\rm
 
   \cdot {\rm
Zeile 12: Zeile 14:
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
Verwendet sind folgende Größen, die sich aus dem Dämpfungs– und Phasenmaß ableiten lassen:
 
Verwendet sind folgende Größen, die sich aus dem Dämpfungs– und Phasenmaß ableiten lassen:
$${\rm a}_0  =  \alpha_0 \cdot l\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\alpha_0 = 0.5066\,\, \frac{\rm Np}{\rm km}\hspace{0.05cm},$$
+
:$${a}_0  =  \alpha_0 \cdot l\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\alpha_0 = 0.5066\,\, \frac{\rm Np}{\rm km}\hspace{0.05cm},$$
$$  \tau_{\rm P}  =  \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\beta_1 = 30.6\,\,
+
:$$  \tau_{\rm P}  =  \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\beta_1 = 30.6\,\,
 
   \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$
 
   \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$
$$  {\rm a}_1  =  \alpha_1 \cdot l \cdot {{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}
+
:$$  {a}_1  =  \alpha_1 \cdot l \cdot {{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}
 
   \alpha_1 = 0.136\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$
 
   \alpha_1 = 0.136\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$
$$  {\rm a}_2  =  \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}
+
:$$  {a}_2  =  \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}
   \alpha_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot MHz^{0.5}}\hspace{0.05cm},$$
+
   \alpha_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$
$$  {\rm b}_2  =  \beta_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}
+
:$$  {b}_2  =  \beta_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}
 
   \beta_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot
 
   \beta_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot
   MHz^{0.5}}\hspace{0.05cm}.$$
+
   \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
  
 
Die Impulsantwort lässt sich somit in der Form
 
Die Impulsantwort lässt sich somit in der Form
$$h_{\rm K}(t )  = K \cdot \left [ \delta(t - \tau_{\rm P})\star h_{1}(t) \star h_{2}(t) \right ]$$
+
:$$h_{\rm K}(t )  = K \cdot \left [ \delta(t - \tau_{\rm P})\star h_{1}(t) \star h_{2}(t) \right ]$$
 
darstellen, wobei  
 
darstellen, wobei  
 
* die Teilimpulsantwort $h_1(t)$ auf den dritten Term in obiger Gleichung zurückgeht, und
 
* die Teilimpulsantwort $h_1(t)$ auf den dritten Term in obiger Gleichung zurückgeht, und
Zeile 30: Zeile 32:
  
  
Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil $h_2(t)$ der Impulsantwort und das Faltungsprodukt $h_1(t) \star h_2(t)$ (blauer Kurvenverlauf). Dabei ist $h_2(t)$ gleich der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln#Impulsantworten_von_Koaxialkabeln|Koaxialkabel–Impulsantwort]] mit der charakteristischen Kabeldämpfung ${\rm a}_\star = {\rm a}_2$.
+
Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil $h_2(t)$ der Impulsantwort und das Faltungsprodukt $h_1(t) \star h_2(t)$ (blauer Kurvenverlauf). Dabei ist $h_2(t)$ gleich der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln#Impulsantworten_von_Koaxialkabeln|Koaxialkabel–Impulsantwort]] mit der charakteristischen Kabeldämpfung ${a}_\star = {a}_2$.
  
  
Zeile 37: Zeile 39:
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 
*Die Parameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ wurden aus den $k$–Parametern umgerechnet, wie in [[Aufgaben:4.6_k-Parameter_und_Alpha-Parameter|Aufgabe 4.6]] gezeigt.  
 
*Die Parameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ wurden aus den $k$–Parametern umgerechnet, wie in [[Aufgaben:4.6_k-Parameter_und_Alpha-Parameter|Aufgabe 4.6]] gezeigt.  
*Der Phasenmaßparameter $\beta_2$ wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter $\alpha_2$ gesetzt. Der Dämpfungsanteil ${\rm a}_2$ und der Phasenanteil ${b}_2$ unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit.  
+
*Der Phasenmaßparameter $\beta_2$ wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter $\alpha_2$ gesetzt. Der Dämpfungsanteil ${a}_2$ und der Phasenanteil ${b}_2$ unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit.  
 
*Auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Diskussion_der_gefundenen_N.C3.A4herungsl.C3.B6sung|Diskussion der gefundenen Näherungslösung]] wird dargelegt, warum diese Maßnahme erforderlich ist.
 
*Auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Diskussion_der_gefundenen_N.C3.A4herungsl.C3.B6sung|Diskussion der gefundenen Näherungslösung]] wird dargelegt, warum diese Maßnahme erforderlich ist.
 +
*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]] benutzen.
  
  
Zeile 48: Zeile 51:
 
{Berechnen Sie die Konstante $K$ der Impulsantwort $h_{\rm K}(t )$.
 
{Berechnen Sie die Konstante $K$ der Impulsantwort $h_{\rm K}(t )$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$K \ =$  { 0.468 3% }
+
$K \ = \ $  { 0.468 3% }
  
  
{Berechnen Sie die Phasenlaufzeit $\tau_P$, bezogen auf die Symboldauer $T$>.
+
{Berechnen Sie die Phasenlaufzeit $\tau_P$, bezogen auf die Symboldauer $T$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$\tau_P/T \ =$ { 73 3% }
 
$\tau_P/T \ =$ { 73 3% }
  
  
{Wie groß ist die charakteristische Dämpfung des vergleichbaren Koaxialkabels?
+
{Wie groß ist die charakteristische Dämpfung $a_\star$ des vergleichbaren Koaxialkabels?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$a_\star \ =$ { 25.5 } $\ \rm dB$
+
$a_\star \ = \ $ { 25.5 } $\ \rm dB$
  
  

Version vom 28. März 2018, 16:58 Uhr

Impulsantwort der Kupfer-Doppelader

Das Zeitverhalten einer Kupferdoppelader mit Durchmesser $d = 0.5 \ \rm mm$ soll analysiert werden.

Der Frequenzgang lautet mit der Leitungslänge $l = 1.5 \ \rm km$ und der Bitrate $R = 10 \rm Mbit/s$:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm a}_0 } \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.01cm}\tau_{\rm P}} \cdot {\rm e}^{-{\rm a}_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.02cm}2f/R}\cdot {\rm e}^{-{\rm a}_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}} \hspace{0.05cm}.$$

Verwendet sind folgende Größen, die sich aus dem Dämpfungs– und Phasenmaß ableiten lassen:

$${a}_0 = \alpha_0 \cdot l\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\alpha_0 = 0.5066\,\, \frac{\rm Np}{\rm km}\hspace{0.05cm},$$
$$ \tau_{\rm P} = \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\beta_1 = 30.6\,\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$
$$ {a}_1 = \alpha_1 \cdot l \cdot {{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} \alpha_1 = 0.136\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$
$$ {a}_2 = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} \alpha_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$
$$ {b}_2 = \beta_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} \beta_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm}.$$

Die Impulsantwort lässt sich somit in der Form

$$h_{\rm K}(t ) = K \cdot \left [ \delta(t - \tau_{\rm P})\star h_{1}(t) \star h_{2}(t) \right ]$$

darstellen, wobei

  • die Teilimpulsantwort $h_1(t)$ auf den dritten Term in obiger Gleichung zurückgeht, und
  • $h_2(t)$ die gemeinsame Zeitbereichsdarstellung der beiden letzten Terme angibt.


Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil $h_2(t)$ der Impulsantwort und das Faltungsprodukt $h_1(t) \star h_2(t)$ (blauer Kurvenverlauf). Dabei ist $h_2(t)$ gleich der Koaxialkabel–Impulsantwort mit der charakteristischen Kabeldämpfung ${a}_\star = {a}_2$.


Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Eigenschaften von Kupfer–Doppeladern.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Die Parameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ wurden aus den $k$–Parametern umgerechnet, wie in Aufgabe 4.6 gezeigt.
  • Der Phasenmaßparameter $\beta_2$ wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter $\alpha_2$ gesetzt. Der Dämpfungsanteil ${a}_2$ und der Phasenanteil ${b}_2$ unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit.
  • Auf der Seite Diskussion der gefundenen Näherungslösung wird dargelegt, warum diese Maßnahme erforderlich ist.
  • Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet Zeitverhalten von Kupferkabeln benutzen.



Fragebogen

1

Berechnen Sie die Konstante $K$ der Impulsantwort $h_{\rm K}(t )$.

$K \ = \ $

2

Berechnen Sie die Phasenlaufzeit $\tau_P$, bezogen auf die Symboldauer $T$.

$\tau_P/T \ =$

3

Wie groß ist die charakteristische Dämpfung $a_\star$ des vergleichbaren Koaxialkabels?

$a_\star \ = \ $

$\ \rm dB$

4

Welche Eigenschaften weist die Teilimpulsantwort $h_{\rm 1}(t )$ auf?

$h_{\rm 1}(t )$ ist eine gerade Funktion.
Das Maximum von $h_{\rm 1}(t )$ liegt bei $t = 0$.
Das Integral über $h_{\rm 1}(t )$ ergibt den Wert $2$.

5

Welche Eigenschaften erkennt man an der Funktion $h_1(t ) \star h_2(t )$?

$h_1(t ) \star h_2(t )$ gibt die Verzerrungen von $h_{\rm K}(t )$ vollständig wieder.
$h_1(t ) \star h_2(t )$ unterscheidet sich von $h_{\rm K}(t )$ nur durch einen Faktor.


Musterlösung

(1)  Mit ${\rm }a_0 = \alpha_0 \cdot l \approx 0.76 \ \rm Np$ erhält man für die Konstante $K$, die den Einfluss des Koeffizienten $ \alpha_0$auf die Impulsantwort angibt: $$K = {\rm e}^{-{\rm a}_0 }= {\rm e}^{-0.76} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.468} \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Für die Phasenlaufzeit gilt mit der angegebenen Gleichung: $$\tau_{\rm P} = \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi}= \frac{30.6 \cdot 1.5}{2 \pi}\, {\rm \mu s}\approx 7.31\, {\rm \mu s}\hspace{0.05cm},$$ undauf die Symboldauer $T = 0.1 \ μ\rm s$ bezogen:   ${\tau_{\rm P}}/{T} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 73}\hspace{0.05cm}.$


(3)  Die Impulsantwort eines Koaxialkabels ist näherungsweise gleich $h_2(t)$), wenn dieses Koaxialkabel folgende charakteristische Kabeldämpfung aufweist: $${\rm a}_\star ={\rm a}_2 = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}} = 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot MHz^{0.5}} \cdot 1.5\,{\rm km} \cdot \sqrt{\frac{10\,{\rm MHz}}{2}} = 2.93\,{\rm Np} = 2.93\,{\rm Np} \cdot8.686\,\frac {\rm dB}{\rm Np} \hspace{0.15cm}\underline{ =25.5\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richig sind die Aussagen 1 und 2.

  • Die Fouriertransformierte $H_1(f) = {\rm e}^{-A \cdot |f|}$ mit $A = 2 \cdot {\rm a}_1/R$ ist reell und gerade, so dass $h_1(t)$ ebenfalls reell und gerade ist.
  • Aufgrund der Tiefpass–Charakteristik von $H_1(f)$ liegt das Maximum bei $t = 0$.
  • Die letzte Aussage falsch ist dagegen falsch : Das Integral über $h_1(t)$ im gesamten Zeitbereich $ \pm \infty$ ist gleich $H_1(f=0) = 1$.


(5)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 1:

  • Die Teilimpulsantwort $h_1(t ) \star h_2(t )$ berücksichtigt den Einfluss von $\alpha_1$, $\alpha_2$ und $\beta_2$ und damit alle Terme, die zu Verzerrungen führen. Dagegen führt $\alpha_0$ nur zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung und$\beta_1$ lediglich zu einer für alle Frequenzen konstanten Laufzeit.
  • Der Lösungsvorschlag 2 trifft dagegen nicht zu. Zunächst (bei kleinen $t$–Werten) ist $h_1(t ) \star h_2(t )$ kleiner als $h_2(t )$. Bei großen $t$–Werten liegt dann die blaue Kurve oberhalb der roten. Das bedeutet: $\alpha_1$ und damit auch $h_1(t )$ bewirken tatsächlich zusätzliche Verzerrungen, auch wenn diese nicht ins Gewicht fallen.