Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: Verabredung zum Frühstück

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Frau M. und Herr S. treffen sich ja bekanntlich öfter einmal zu einem gemeinsamen Frühstück. Beide versprechen, an einem bestimmten Tag zwischen 8 Uhr und 9 Uhr zu einem solchen Treffen zu kommen. Weiter vereinbaren sie, dass jeder von ihnen in diesem Zeitraum (und nur in diesem) auf „Gut Glück” eintrifft und bis zu einer Viertelstunde auf den Anderen wartet.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.

• Verwenden Sie bei den nachfolgenden Fragen als Zeitangabe die Minute der Ankunftszeit: „Minute = 0” steht für 8 Uhr, „Minute = 60” für 9 Uhr.
• Die Aufgabe entstand vor der Bundestagswahl 2002, als sowohl Angela Merkel als auch Edmund Stoiber Kanzlerkandidat(in) der CDU/CSU werden wollten. Bei einem gemeinsamen Frühstück in Wolfratshausen verzichtete Frau Merkel. Die spätere Wahl gewann Gerhard Schröder.

Fragebogen

1

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_1$, dass sich die beiden treffen, wenn Herr S. um 8 Uhr 30 ankommt? Begründen Sie Ihre Antwort.

$p_1 \ = $ $\ \%$

2

Welche Ankunftszeit sollte Frau M. wählen, wenn sie Herrn S. eigentlich nicht treffen möchte, sich aber trotzdem an die getroffene Vereinbarung halten will? Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit $p_2$, dass sich Frau M. und Herr S. treffen werden?

$p_2 \ = $ $\ \%$

3

Welche Ankunftszeit sollte Frau M. wählen, wenn sie nicht nur ein Treffen möglichst vermeiden, sondern die Wartezeit minimieren möchte?

$\rm Minute$ =

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_4$ für ein Zusammentreffen generell, das heißt, wenn beide tatsächlich auf „Gut Glück” erscheinen?

$p_4 \ = $ $\ \%$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Kommt Herr S. um 8 Uhr 30, so trifft er Frau M., wenn diese zwischen 8 Uhr 15 und 8 Uhr 45 ankommt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit $$p_1 = \text{Pr(Herr S. trifft Frau M.)}\hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$

(2)  Kommt Frau M. um 8 Uhr, so trifft sie Herrn S. nur dann, wenn dieser vor 8 Uhr 15 kommt. Erscheint Frau M. um 9 Uhr, dann muss Herr S. nach 8 Uhr 45 angekommen sein, damit sich beide treffen können. Die Wahrscheinlichkeit für ein Zusammentreffen ist in beiden Fällen: $$p_1 = \text{Min[Pr(Herr S. trifft Frau M.)]}\hspace{0.15cm}\underline{=25\%}.$$

(3)  Von den beiden unter (2) berechneten Ankunftszeiten ist 9 Uhr ($\underline{\text{Minute = 60}}$) günstiger, da sie – falls Herr S. nicht da ist – sofort wieder gehen kann.

(4)  Die Wahrscheinlichkeit $p_4$ ergibt sich als das Verhältnis der roten Fläche in der Grafik zur Gesamtfläche $1$. Mit den Dreiecksflächen erhält man: $$p_{\rm d}=\rm 1-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{7}{16}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.4375}.$$