Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Thermisches Rauschen

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Beispielhafte Signale für TP– und BP–Rauschen

Eine fundamentale und bei jedem Nachrichtensystem auftretende Störung ist das thermische Rauschen, da jeder Widerstand $R$ mit der absoluten Temperatur $θ$ (in „Grad Kelvin”) ein Rauschsignal $n(t)$ mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte

$${N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.3cm}\left(k_{\rm B} = 1.38 \cdot 10^{-23} \hspace{0.05cm}{\rm Ws}/{\rm K}\right)$$

abgibt. $k_{\rm B}$ bezeichnet man als die Boltzmann–Konstante.

Allerdings ist diese aus physikalischen Gründen auf $6$ THz begrenzt. Weiterhin ist zu beobachten, dass dieser minimale Wert nur bei exakter Widerstandsanpassung erreicht werden kann.

Bei der Realisierung einer Schaltungseinheit – zum Beispiel eines Verstärkers – ist die wirksame Rauschleistungsdichte meist deutlich größer, da sich mehrere Rauschquellen addieren und zudem Fehlanpassungen eine Rolle spielen. Dieser Effekt wird durch die Rauschzahl $F$ erfasst, und es gilt:

$$N_0 = F \cdot {N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.05cm}.$$

Für die wirksame Rauschleistung gilt mit der Bandbreite $B$:

$$N = N_0 \cdot B \hspace{0.1cm}\left(= N_0 \cdot B\cdot R = \sigma_n^2\right) \hspace{0.01cm}.$$

• Nach der ersten Gleichung ergibt sich die tatsächliche, physikalische Leistung in „Watt” $\rm (W)$.
• Nach der zweiten, in Klammern angegebenen Gleichung hat das Ergebnis die Einheit „$\rm V^{ 2 }$”.
• Das heißt: Hier ist die Leistung – wie in der Nachrichtentechnik allgemein üblich – auf den Bezugswiderstand $R = 1\ Ω$ umgerechnet.
• Diese Gleichung muss auch herangezogen werden, um den Effektivwert (die Streuung) σn des Rauschsignals $n(t)$ zu berechnen.

Alle Gleichungen gelten unabhängig davon, ob es sich um Tiefpass– oder Bandpass–Rauschen handelt. Die Grafik zeigt zwei Rauschsignale $n_1(t)$ und $n_2(t)$ gleicher Bandbreite. In Teilaufgabe (4) ist gefragt, welches dieser Signale am Ausgang eines Tiefpasses bzw. eines Bandpasses auftreten wird.

Die zweiseitige Rauschleistungsdichte von bandbegrenztem Tiefpass–Rauschen $n_{\rm TP}(t)$ lautet:

$$ {\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm TP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < B,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}$$

Dagegen gilt bei bandpassartigem Rauschen $n_{\rm BP}(t)$ mit der Mittenfrequenz $f_{\rm M}$:

$${\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm BP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f - f_{\rm M}\hspace{0.05cm} \right| < B/2,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}.$$

Für alle nachfolgenden numerischen Berechnungen wird vorausgesetzt:

$$ F = 10, \hspace{0.2cm}\theta = 290\,{\rm K},\hspace{0.2cm}R = 50\,{\rm \Omega},\hspace{0.2cm}B = 30\,{\rm kHz},\hspace{0.2cm}f_{\rm M} = 0 \hspace{0.1cm}{\rm bzw.}\hspace{0.1cm}100\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Qualitätskriterien.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Einige Anmerkungen zum AWGN–Kanalmodel.
• Durch die Angabe der Leistungen in $\rm W$att sind diese unabhängig vom Bezugswiderstand $R$, während die Leistung mit der Einheit $\rm V^2$ nur für $R = 1\ \Omega$ direkt ausgewertet werden kann.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Rauschleistungsdichte $N_0$ mit der Rauschzahl $F = 10$ und $θ = 290$ Grad Kelvin .

$N_0 \ = \ $ $\ \cdot 10^{ -20 }\ \text{W/Hz}$

2

Wie groß ist die maximale Rauschleistung (ohne Bandbegrenzung)?

$N_{\rm max} \ = \ $ $\ \cdot 10^{ -6 }\ \text{W/Hz}$

3

Welche Rauschleistung $N$ ergibt sich mit der Bandbreite $B = 30$ kHz? Wie groß ist der Rauscheffektivwert $σ_n$?

$N \ = \ $ $\ \cdot 10^{ -16 }\ \text{W/Hz}$

$σ_n \ = \ $ $\ \cdot 10^{ -6 }\ \text{V}$

4

Welches der Signale –$n_1(t)$ oder $n_2(t)$ – zeigt TP– und welches BP–Rauschen?

	Das Rauschsignal $n_1(t)$ hat Tiefpass–Charakter.
	Das Rauschsignal $n_1(t)$ hat Bandpass–Charakter.

5

Welchen Wert hat die Rauschleistungsdichte des Tiefpass–Rauschens bei der Frequenz $f = 20$ kHz? Es gelte $B = 30$ kHz.

${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 20 \ \rm kHz) \ = \ $ $\ \cdot 10^{ -12 }\ \text{W/Hz}$

6

Welchen Wert besitzt die Rauschleistungsdichte des Bandpass–Rauschens bei $f = 120$ kHz? Es gelte $f_{\rm M} = 100$ kHz und $B = 30$ kHz.

${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f = 120 \ \rm kHz) \ = \ $ $\ \cdot 10^{ -12 }\ \text{W/Hz}$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Mit der Boltzmann–Konstante $k_{\rm B}$ gilt:

$$N_0 = F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta = 10 \cdot 1.38\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-23} \hspace{0.05cm}\frac{\rm Ws}{\rm K}\cdot 290\,{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 4\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-20} \hspace{0.05cm}{\rm W}/{\rm Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Die angegebene Rauschleistungsdichte $N_0$ ist physikalisch auf $6$ THz begrenzt. Damit beträgt die maximale Rauschleistung:

$$N_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-20} \hspace{0.08cm}\frac{\rm W}{\rm Hz}\cdot 6 \cdot10^{12} \hspace{0.08cm}{\rm Hz}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.24\hspace{0.08cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm W}}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Nun ergibt sich für die Rauschleistung:

$$N = N_0 \cdot B = 4\hspace{0.08cm}\cdot 10^{-20} \hspace{0.08cm}\frac{\rm W}{\rm Hz}\cdot 3 \cdot10^{4} \hspace{0.08cm}{\rm Hz}\hspace{0.15cm}\underline {= 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm W}}\hspace{0.05cm},$$

bzw. umgerechnet auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ Ω$:

$$N = N_0 \cdot B \cdot R = 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm W}\hspace{0.05cm} \cdot 50 \; {\rm \Omega}= 6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}\hspace{0.05cm}.$$

Der Rauscheffektivwert $σ_n$ ist die Quadratwurzel hieraus:

$$\sigma_n= \sqrt{6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.245 \hspace{0.05cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

Leistungsdichtespektren bei bandbegrenztem Rauschen

(4)  Im Zufallssignal $n_2(t)$ erkennt man gewisse Regelmäßigkeiten ähnlich einer harmonischen Schwingung – es ist Bandpass–Rauschen. Dagegen handelt es sich beim Signal $n_1(t)$ um Tiefpass–Rauschen   ⇒   Lösungsvorschlag 1.

(5)  Die Rauschleistungsdichte des Zufallssignals $n_1(t)$ ist im Frequenzbereich $|f| < 30$ kHz konstant gleich

$${\it \Phi}_{n,\hspace{0.05cm}{ \rm TP} }(f) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} \frac{N_0}{2} \hspace{0.15cm}\underline {=2\hspace{0.05cm}\hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} 10^{-12} \hspace{0.05cm}{\rm W}/{\rm Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

Dieser Wert gilt somit auch für die Frequenz $f = 20$ kHz.

(6)  Wie aus der Grafik hervorgeht, ist ${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f)$ nur im Bereich zwischen $85$ kHz und $115$ kHz ungleich Null, wenn die Bandbreite $B = 30$ kHz beträgt. Bei der Frequenz $f = 120$ kHz ist die Rauschleistungsdichte somit Null:

$${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f = 120 \ \rm kHz)\hspace{0.15cm}\underline{=0}.$$