Aufgaben:Aufgabe 3.9Z: Gauß gefaltet mit Gauß: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 44: Zeile 44:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''  Durch Fouriertransformation erhält man:
+
'''(1)'''  Durch Fouriertransformation erhält man:
 
:$$X( f ) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x  \cdot f} \right)^2 } , \hspace{0.5cm}H(f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_h  \cdot f} \right)^2 } .$$
 
:$$X( f ) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x  \cdot f} \right)^2 } , \hspace{0.5cm}H(f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_h  \cdot f} \right)^2 } .$$
 
Die gesuchten Werte sind $X(f = 0)\;\underline{ = 4 \,\text{mV/Hz}}$ und $H(f = 0)\; \underline{= 1}$.
 
Die gesuchten Werte sind $X(f = 0)\;\underline{ = 4 \,\text{mV/Hz}}$ und $H(f = 0)\; \underline{= 1}$.
  
'''2.'''  Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich:
+
 
 +
[[Datei:P_ID589__Sig_Z_3_9_b_neu.png|right|frame|Faltungsergebnis für „$\rm Gauß \ \ast \ Gauß$”]]
 +
'''(2)'''  Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich:
 
:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2  + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$
 
:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2  + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$
 
Mit der Abkürzung $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5\, \text{ms}$ kann hierfür auch geschrieben werden:
 
Mit der Abkürzung $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5\, \text{ms}$ kann hierfür auch geschrieben werden:
 
:$$Y(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \cdot f} \right)^2 } .$$
 
:$$Y(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \cdot f} \right)^2 } .$$
Bei der Frequenz $f = 0$ sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt $Y(f = 0) \;\underline{= 4 \text{mV/Hz}}$. Der Funktionsverlauf von ${Y(f)}$ ist schmaler als ${X(f)}$ und auch schmaler als ${H(f)}$.
+
*Bei der Frequenz $f = 0$ sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt:
[[Datei:P_ID589__Sig_Z_3_9_b_neu.png|center|Zur Faltung von Gauß mit Gauß]]
+
:$$Y(f = 0) \;\underline{= 4 \text{mV/Hz}}.$$  
 +
*Der Funktionsverlauf von ${Y(f)}$ ist schmaler als ${X(f)}$ und auch schmaler als ${H(f)}$.
 +
 
 +
 
  
'''3.'''  Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz:
+
'''(3)'''  Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz:
 
:$${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \cdot f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
 
:$${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \cdot f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
 
Damit erhält man:
 
Damit erhält man:
 
:$$y(t) = x(t) * h(t) = x_0  \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
 
:$$y(t) = x(t) * h(t) = x_0  \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
*Der Maximalwert des Signals ${y(t)}$ liegt ebenfalls bei $t = 0$ und beträgt $y_0 \underline{= 0.8 V}$.  
+
*Der Maximalwert des Signals ${y(t)}$ liegt ebenfalls bei $t = 0$ und beträgt $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8 V}$.  
*Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu $\Delta t_y \underline{= 5 \text{ms}}$ (siehe obiges Bild, rechte Skizze).  
+
*Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu $\Delta t_y \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \text{ms}}$ (siehe obiges Bild, rechte Skizze).  
 
*Das bedeutet: Das Gaußfilter ${H(f)}$ bewirkt, dass der Ausgangsimpuls ${y(t)}$ kleiner und breiter als der Eingangsimpuls ${x(t)}$ ist.  
 
*Das bedeutet: Das Gaußfilter ${H(f)}$ bewirkt, dass der Ausgangsimpuls ${y(t)}$ kleiner und breiter als der Eingangsimpuls ${x(t)}$ ist.  
 
*Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig.
 
*Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig.

Version vom 18. Januar 2018, 11:51 Uhr

Gaußförmige $x(t)$ und $h(t)$

Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden. Wir betrachten einen gaußförmigen Eingangsimpuls ${x(t)}$ mit der Amplitude $x_0 = 1\,\text{ V}$ und der äquivalenten Dauer $\Delta t_x = 4 \,\text{ms}$ sowie eine ebenfalls gaußförmige Impulsantwort ${h(t)}$, welche die äquivalente Dauer $\Delta t_h = 3 \,\text{ms}$ aufweist:

$$x( t ) = x_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_x } )^2 } ,$$
$$h( t ) = \frac{1}{\Delta t_h } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_h } )^2 } .$$

Gesucht ist das Ausgangssignal ${y(t)} = {x(t)} ∗{h(t)}$, wobei der Umweg über die Spektralfunktionen gegangen werden soll.



Hinweise:


Fragebogen

1

Geben Sie die Spektralfunktionen ${X(f)}$ und ${H(f)}$ an. Welche Werte ergeben sich für $f = 0$?

$X(f = 0)\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$
$H(f = 0)\ = \ $

2

Berechnen Sie die Spektralfunktion ${Y(f)}$ des Ausgangssignals. Wie groß ist der Spektralwert bei $f = 0$?

$Y(f = 0)\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$

3

Berechnen Sie den Ausgangsimpuls ${y(t)}$. Welche Werte ergeben sich für die Amplitude $y_0 = y(t = 0)$ und die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_y$?

$y_0\ = \ $

 $\text{V}$
$\Delta t_y\ = \ $

 $\text{ms}$


Musterlösung

(1)  Durch Fouriertransformation erhält man:

$$X( f ) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x \cdot f} \right)^2 } , \hspace{0.5cm}H(f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_h \cdot f} \right)^2 } .$$

Die gesuchten Werte sind $X(f = 0)\;\underline{ = 4 \,\text{mV/Hz}}$ und $H(f = 0)\; \underline{= 1}$.


Faltungsergebnis für „$\rm Gauß \ \ast \ Gauß$”

(2)  Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich:

$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$

Mit der Abkürzung $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5\, \text{ms}$ kann hierfür auch geschrieben werden:

$$Y(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \cdot f} \right)^2 } .$$
  • Bei der Frequenz $f = 0$ sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt:
$$Y(f = 0) \;\underline{= 4 \text{mV/Hz}}.$$
  • Der Funktionsverlauf von ${Y(f)}$ ist schmaler als ${X(f)}$ und auch schmaler als ${H(f)}$.


(3)  Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz:

$${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \cdot f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$

Damit erhält man:

$$y(t) = x(t) * h(t) = x_0 \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
  • Der Maximalwert des Signals ${y(t)}$ liegt ebenfalls bei $t = 0$ und beträgt $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8 V}$.
  • Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu $\Delta t_y \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \text{ms}}$ (siehe obiges Bild, rechte Skizze).
  • Das bedeutet: Das Gaußfilter ${H(f)}$ bewirkt, dass der Ausgangsimpuls ${y(t)}$ kleiner und breiter als der Eingangsimpuls ${x(t)}$ ist.
  • Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig.