Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen
| Zeile 2: | Zeile 2: | ||
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}} | {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}} | ||
==Z1.1 Tiefpass 1. und 2. Ordnung== | ==Z1.1 Tiefpass 1. und 2. Ordnung== | ||
| − | [[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png|Dämpfungs– und Phasenfunktion|right|frame]] | + | [[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png|Vorgegebene Dämpfungs– und Phasenfunktion|right|frame]] |
Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]] – hat folgenden Frequenzgang: | Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]] – hat folgenden Frequenzgang: | ||
:$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$ | :$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$ | ||
| Zeile 65: | Zeile 65: | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
'''(1)''' Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet: | '''(1)''' Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet: | ||
| − | $$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$ | + | :$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$ |
Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np): | Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np): | ||
| − | $$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \Rightarrow a_1(f = f_0) = 0.34657 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.804719 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$ | + | :$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \Rightarrow a_1(f = f_0) = 0.34657 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.804719 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$ |
Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit $1/0.11513 = 8.68589$ und führt zu den Ergebnissen $ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$ für $ f = f_0$ und $ \underline{6.99 \: {\rm dB}}$ für $ f = 2f_0$. Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_0$. | Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit $1/0.11513 = 8.68589$ und führt zu den Ergebnissen $ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$ für $ f = f_0$ und $ \underline{6.99 \: {\rm dB}}$ für $ f = 2f_0$. Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_0$. | ||
'''(2)''' Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden: | '''(2)''' Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden: | ||
| − | $$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$ | + | :$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$ |
Damit ergibt sich für den Phasengang: | Damit ergibt sich für den Phasengang: | ||
| − | $$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$ | + | :$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$ |
Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$. | Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$. | ||
'''(3)''' Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt: | '''(3)''' Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt: | ||
| − | $$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$ | + | :$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$ |
Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe: | Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe: | ||
| − | $$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$ | + | :$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$ |
Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall: | Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall: | ||
| − | $$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$ | + | :$$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$ |
Die dB–Werte lauten nun: | Die dB–Werte lauten nun: | ||
*$ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$, | *$ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$, | ||
| − | *$\rm \underline{13.98 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$. | + | *$\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$. |
| − | Damit ist offensichtlich, dass für $n | + | Damit ist offensichtlich, dass für $n > 1$ der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt. Für $n = 2$ ⇒ „Tiefpass zweiter Ordnung” gilt vielmehr der Zusammenhang: ${f_{\rm G} } = {f_0}/\sqrt{2}$. |
'''(4)''' Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt: | '''(4)''' Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt: | ||
| − | $$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$ | + | :$$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$ |
Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist | Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist | ||
*$b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$, | *$b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$, | ||
* $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$. | * $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$. | ||
| + | |||
Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$. | Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$. | ||
Version vom 15. Februar 2018, 11:31 Uhr
Z1.1 Tiefpass 1. und 2. Ordnung
Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend Aufgabe 1.1 – hat folgenden Frequenzgang:
- $$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter
- oben der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$,
- unten der Phasenverlauf $b_1(f)$ .
Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
- $$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$
In dieser Aufgabe sollen – ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ für den Tiefpass erster Ordnung – der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden. Allgemein gilt: $$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systembeschreibung im Frequenzbereich.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:
- $$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln (10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
- Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten:
- $$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):
- $$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \Rightarrow a_1(f = f_0) = 0.34657 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.804719 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$
Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit $1/0.11513 = 8.68589$ und führt zu den Ergebnissen $ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$ für $ f = f_0$ und $ \underline{6.99 \: {\rm dB}}$ für $ f = 2f_0$. Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_0$.
(2) Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:
- $$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
Damit ergibt sich für den Phasengang:
- $$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$
Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.
(3) Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt:
- $$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$
Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe:
- $$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$
Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:
- $$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$
Die dB–Werte lauten nun:
- $ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$,
- $\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$.
Damit ist offensichtlich, dass für $n > 1$ der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt. Für $n = 2$ ⇒ „Tiefpass zweiter Ordnung” gilt vielmehr der Zusammenhang: ${f_{\rm G} } = {f_0}/\sqrt{2}$.
(4) Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:
- $$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$
Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist
- $b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
- $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.
Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.
