Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: 3D–Darstellung von Codes

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Raum $\rm GF(2^3)$ und
Code der Länge $n = 3$

Codes zur Fehlererkennung bzw. Fehlererkorrektur lassen sich sehr anschaulich im  $n$–dimensionalen Raum darstellen. Wir beschränken uns hier auf binäre Codes der Länge  $n = 3$:

$$\underline{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} x_i = \{0, 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$

Allgemein gilt bei der Blockcodierung:

• Das Informationswort  $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \ \text{...} , \ u_{k})$  wird eindeutig in das Codewort  $\underline{x} =(x_{1}, x_{2}, \ \text{...} , \ , x_{n})$  überführt.
• Die Coderate beträgt  $R = k/n$.
• Die Hamming–Distanz  $d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')$  zwischen zwei Codeworten  $x ∈ \mathcal{C}$  und  $x\hspace{0.05cm}' ∈ \mathcal{C}$  gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich  $x$  und  $x\hspace{0.05cm}'$  unterscheiden.
• Die Minimaldistanz  $d_{\rm min} = {\rm min}\big[d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')\big]$  ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.
• Es können  $e =d_{\rm min} – 1$  Fehler erkannt und  $t =(d_{\rm min} – 1)/2$  Fehler korrigiert werden.
• Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades  $d_{\rm min}$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Zielsetzung der Kanalcodierung.
• Zusätzlich werden einige einfache Fragen zum Kapitel  Beispiele binärer Blockcodes  vorweg genommen.

Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten, wenn alle Punkte in  $\rm GF(2^3)$  belegt sind?

	Es gilt die Zuordnung  $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$   →   $\underline{x} = (x_{1}, x_{2},x_{3})$.
	Es gilt die Identität  $\underline{x} = \underline{u}$.
	Die Coderate ist  $R = 1$.
	Die Minimaldistanz zwischen zwei Codeworten ist  $d_{\rm min} = 2$.

2

Welche Aussagen gelten für einen (3, 2, 2)–Blockcode?

	Code  $\mathcal{C}_{1} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)\}$  ist möglich.
	Code  $\mathcal{C}_{2} = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$  ist möglich.
	Code  $\mathcal{C}_{3} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$  ist möglich.

3

Welche Eigenschaften zeigt der in Teilaufgabe (2) definierte Code  $\mathcal{C}_{1}$?

	Ein Bitfehler lässt sich erkennen.
	Ein Bitfehler kann korrigiert werden.

4

Welche Eigenschaften zeigt der Code  $\mathcal{C}_{4}= \{(0, 0, 0), (1, 1, 1)\}$?

	Die Coderate beträgt  $R = 1/4$.
	Die Coderate beträgt  $R = 1/3$.
	Ein Bitfehler lässt sich erkennen.
	Ein Bitfehler kann korrigiert werden.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig sind die Aussagen 1 und 3:

• Bei dieser Belegung werden $k = 3$ Informationsbits auf $n = 3$ Codebits abgebildet   ⇒   $R = k/n = 1$.
• Die Aussage $\underline{x} = \underline{u} $ würde nur bei systematischer Codierung gelten.
• Prinzipiell möglich wäre zum Beispiel auch $(0, 0, 0)$   →   $(0, 1, 1)$.
• Die letzte Aussage ist mit Sicherheit falsch: Aus der Grafik erkennt man die Minimaldistanz $d_{\rm min} = 1$.

Zwei (3, 2, 2)–Blockcodes

(2)  Richtig sind die Aussagen 1 und 3:

• $\mathcal{C}_{1}$ und $\mathcal{C}_{2}$ beschreiben tatsächlich Codes mit der Rate $R = 2/3$ und der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 2$.
• In der Grafik markieren die grünen Punkte den Code $\mathcal{C}_{1}$ und die blauen Punkte den Code $\mathcal{C}_{2}$.
• Beim Code $\mathcal{C}_{3}$ – ebenfalls mit Rate $R = 2/3$ – ist die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten $d_{\rm min} = 1$, zum Beispiel zwischen $(0, 0, 0)$ und $(1, 0, 0)$ oder zwischen $(0, 1, 1)$ und $(1, 1, 1)$.

(3)  Richtig ist nur die Aussage 1:

• Mit der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 2$ kann lediglich ein Bitfehler erkannt werden.
• In der oberen Grafik kennzeichnen die grünen Punkte zulässige Codeworte von $\mathcal{C}_{1}$. Wird ein blauer Punkt empfangen, so weist dies auf einen Übertragungsfehler hin.
• Eine Fehlerkorrektur ist mit $d_{\rm min} = 2$ dagegen nicht möglich.
• Der Code $\mathcal{C}_{1}$ entspricht dem Single Parity–check Code (3, 2, 2).

(3, 1, 3)–Blockcode

(4)  Richtig sind die Antworten 2, 3 und 4:

• $C_{4}$ beschreibt den (3, 1, 3)–Wiederholungscode.
• Bei diesem Code sind zwar zwei der insgesamt acht möglichen Punkte belegt, woraus man fälschlicherweise auf die Coderate $R = 1/4$ schließen könnte. Die Coderate berechnet sich aber gemäß $R = k/n = 1/3$.
• Aus der unteren Grafik erkennt man, dass wegen $d_{\rm min} = 3$ nun auch ein Bitfehler korrigiert werden kann.
• Bei der Decodierung werden alle hellgrünen Punkte (mit schwarzer Umrahmung) in den grünen Punkt $(0, 0, 0)$ überführt und alle hellblauen in den blauen Punkt $(1, 1, 1)$.
• Gleichzeitig können bis zu zwei Bitfehler erkannt werden (einer natürlich auch).