Aufgaben:Aufgabe 2.6Z: Synchrondemodulator: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Das dargestellte Blockschaltbild zeigt ein Übertragungssystem mit [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] (ZSB-AM) und [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulator]] (SD). Das Quellensignal bestehe aus zwei harmonischen Schwingungen mit den Frequenzen $f_2 = 2 \ \rm kHz$ und $f_5 = 5 \ \rm kHz$: | + | Das dargestellte Blockschaltbild zeigt ein Übertragungssystem |
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| − | *Dieses Signal wird mit dem dimensionslosen Trägersignal $z(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot T)$ der | + | *Dieses Signal wird mit dem dimensionslosen Trägersignal $z(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot T)$ der Frequenz $f_{\rm T} = 50 \ \rm kHz$ multipliziert. Bei ZSB–AM ist der gestrichelt eingezeichnete Block unerheblich, so dass für das Sendesignal gilt: |
:$$s(t) = q(t) \cdot {\rm cos}(\omega_{\rm T} t ) .$$ | :$$s(t) = q(t) \cdot {\rm cos}(\omega_{\rm T} t ) .$$ | ||
| − | *Im Synchrondemodulator wird das Empfängersignal $r(t)$ | + | *Im Synchrondemodulator wird das Empfängersignal $r(t)$ – bei idealem Kanal identisch mit dem Sendesignal $s(t)$ – mit dem empfangsseitigem Trägersignal $z_{\rm E}(t)$ multipliziert, wobei gilt: |
:$$z_{\rm E}(t) = K \cdot {\rm cos}(\omega_{\rm T} t - \Delta \varphi ) .$$ | :$$z_{\rm E}(t) = K \cdot {\rm cos}(\omega_{\rm T} t - \Delta \varphi ) .$$ | ||
| − | *Dieses Signal sollte nicht nur frequenzsynchron mit $z(t)$ sein, sondern auch phasensynchron – daher der Name „Synchrondemodulator”. Der obige Ansatz berücksichtigt einen Phasenversatz zwischen $z(t)$ und $z_{\rm E}(t)$, der idealerweise $\Delta \varphi = 0$ sein sollte, sich bei realen Systemen aber oft nicht vermeiden lässt. | + | *Dieses Signal sollte nicht nur frequenzsynchron mit $z(t)$ sein, sondern auch phasensynchron – daher der Name „Synchrondemodulator”. |
| + | *Der obige Ansatz berücksichtigt einen Phasenversatz zwischen $z(t)$ und $z_{\rm E}(t)$, der idealerweise $\Delta \varphi = 0$ sein sollte, sich bei realen Systemen aber oft nicht vermeiden lässt. | ||
| − | *Das Ausgangssignal $b(t)$ des zweiten Multiplizierers beinhaltet neben dem gewünschten NF-Anteil auch Anteile um die doppelte Trägerfrequenz. Durch einen idealen Tiefpass – | + | *Das Ausgangssignal $b(t)$ des zweiten Multiplizierers beinhaltet neben dem gewünschten NF-Anteil auch Anteile um die doppelte Trägerfrequenz. |
| + | *Durch einen idealen Tiefpass – zum Beispiel mit der Grenzfrequenz $f_{\rm T}$ – lässt sich das Sinkensignal $v(t)$ gewinnen, das im Idealfall gleich dem Quellensignal $q(t)$ sein sollte. | ||
Die Multiplikation beim Sender mit dem Trägersignal $z(t)$ führt im Allgemeinen zu zwei Seitenbändern. Bei der [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]] (ESB–AM) wird nur eines der beiden Bänder übertragen, zum Beispiel das untere Seitenband (USB). Damit erhält man bei idealem Kanal: | Die Multiplikation beim Sender mit dem Trägersignal $z(t)$ führt im Allgemeinen zu zwei Seitenbändern. Bei der [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]] (ESB–AM) wird nur eines der beiden Bänder übertragen, zum Beispiel das untere Seitenband (USB). Damit erhält man bei idealem Kanal: | ||
| − | :$$r(t) = s(t)= {1 \, \rm V} \cdot {\rm cos} | + | :$$r(t) = s(t)= {1 \, \rm V} \cdot {\rm cos}\big [(\omega_{\rm T} - |
| − | \omega_2 )t | + | \omega_2 )\cdot t \big ] - {0.5 \, \rm V} \cdot {\rm sin}\big [(\omega_{\rm T} - |
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*Hier führt die Synchrondemodulation unter Berücksichtigung eines Phasenversatzes $\Delta \varphi$, der Konstante $K = 4$ sowie des nachgeschalteten Tiefpasses zu folgendem verfälschten Sinkensignal: | *Hier führt die Synchrondemodulation unter Berücksichtigung eines Phasenversatzes $\Delta \varphi$, der Konstante $K = 4$ sowie des nachgeschalteten Tiefpasses zu folgendem verfälschten Sinkensignal: | ||
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]]. |
| − | *Die Thematik „Amplitudenmodulation/Synchrondemodulator” wird im Buch [[Modulationsverfahren]] noch ausführlich diskutiert. | + | *Die Thematik „Amplitudenmodulation/Synchrondemodulator” wird im Buch [[Modulationsverfahren]] noch ausführlich diskutiert. |
*Gegeben sind die folgenden trigonometrischen Zusammenhänge: | *Gegeben sind die folgenden trigonometrischen Zusammenhänge: | ||
| − | :$$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \ | + | :$$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \big [ 1 + |
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| − | {Wie lautet das Sinkensignal $v(t)$ bei ZSB-AM und phasensynchroner Synchrondemodulation ⇒ $\Delta \varphi = 0$? <br>Wie ist $K$ zu wählen, damit $v(t) = q(t)$ gilt? | + | {Wie lautet das Sinkensignal $v(t)$ bei ZSB-AM und phasensynchroner Synchrondemodulation ⇒ $\Delta \varphi = 0$? <br>Wie ist $K$ zu wählen, damit $v(t) = q(t)$ gilt? |
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$K \ = \ $ { 2 3% } | $K \ = \ $ { 2 3% } | ||
| − | {Es gelte $K = 2$. Geben Sie das Sinkensignal $v(t)$ unter Berücksichtigung eines Phasenversatzes $\Delta \varphi$ an. <br>Welche der folgenden Aussagen treffen zu? | + | {Es gelte $K = 2$. Geben Sie das Sinkensignal $v(t)$ unter Berücksichtigung eines Phasenversatzes $\Delta \varphi$ an. <br>Welche der folgenden Aussagen treffen zu? |
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| − | - Unabhängig von $\Delta \varphi$ gilt $v(t) = q(t)$. | + | - Unabhängig von $\Delta \varphi$ gilt $v(t) = q(t)$. |
| − | + $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung. | + | + $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung. |
| − | - Ein Phasenversatz $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu Dämpfungsverzerrungen. | + | - Ein Phasenversatz $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu Dämpfungsverzerrungen. |
| − | - Ein Phasenversatz $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu Phasenverzerrungen. | + | - Ein Phasenversatz $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu Phasenverzerrungen. |
| − | + Mit $\Delta \varphi = \hspace{-0.05cm}-\hspace{0.05cm}60^\circ$ gilt $v(t) = q(t)/2$. | + | + Mit $\Delta \varphi = \hspace{-0.05cm}-\hspace{0.05cm}60^\circ$ gilt $v(t) = q(t)/2$. |
| − | {Welche Aussagen gelten bei Synchrondemodulation des ESB–Signals, wenn ein Phasenversatz um $\Delta \varphi$ berücksichtigt wird? | + | {Welche Aussagen gelten bei Synchrondemodulation des ESB–Signals, wenn ein Phasenversatz um $\Delta \varphi$ berücksichtigt wird? |
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| − | - Unabhängig von $\Delta \varphi$ gilt $v(t) = q(t)$. | + | - Unabhängig von $\Delta \varphi$ gilt $v(t) = q(t)$. |
| − | - $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung. | + | - $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung. |
| − | - Ein Phasenversatz $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu Dämpfungsverzerrungen. | + | - Ein Phasenversatz $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu Dämpfungsverzerrungen. |
| − | + Ein Phasenversatz $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu Phasenverzerrungen. | + | + Ein Phasenversatz $\Delta \varphi \ne 0$ führt zu Phasenverzerrungen. |
| − | - Mit $\Delta \varphi = \hspace{-0.05cm}-\hspace{0.05cm}60^\circ$ gilt $v(t) = q(t)/2$. | + | - Mit $\Delta \varphi = \hspace{-0.05cm}-\hspace{0.05cm}60^\circ$ gilt $v(t) = q(t)/2$. |
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Version vom 13. November 2018, 16:38 Uhr
AM–Modulator (oben) & Synchrondemodulator (unten)
Das dargestellte Blockschaltbild zeigt ein Übertragungssystem
- mit Zweiseitenband-Amplitudenmodulation (ZSB-AM)
- und Synchrondemodulator (SD).
Das Quellensignal bestehe aus zwei harmonischen Schwingungen mit den Frequenzen $f_2 = 2 \ \rm kHz$ und $f_5 = 5 \ \rm kHz$:
- $$q(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(\omega_2 t )+ {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(\omega_5 t ) .$$
- Dieses Signal wird mit dem dimensionslosen Trägersignal $z(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot T)$ der Frequenz $f_{\rm T} = 50 \ \rm kHz$ multipliziert. Bei ZSB–AM ist der gestrichelt eingezeichnete Block unerheblich, so dass für das Sendesignal gilt:
- $$s(t) = q(t) \cdot {\rm cos}(\omega_{\rm T} t ) .$$
- Im Synchrondemodulator wird das Empfängersignal $r(t)$ – bei idealem Kanal identisch mit dem Sendesignal $s(t)$ – mit dem empfangsseitigem Trägersignal $z_{\rm E}(t)$ multipliziert, wobei gilt:
- $$z_{\rm E}(t) = K \cdot {\rm cos}(\omega_{\rm T} t - \Delta \varphi ) .$$
- Dieses Signal sollte nicht nur frequenzsynchron mit $z(t)$ sein, sondern auch phasensynchron – daher der Name „Synchrondemodulator”.
- Der obige Ansatz berücksichtigt einen Phasenversatz zwischen $z(t)$ und $z_{\rm E}(t)$, der idealerweise $\Delta \varphi = 0$ sein sollte, sich bei realen Systemen aber oft nicht vermeiden lässt.
- Das Ausgangssignal $b(t)$ des zweiten Multiplizierers beinhaltet neben dem gewünschten NF-Anteil auch Anteile um die doppelte Trägerfrequenz.
- Durch einen idealen Tiefpass – zum Beispiel mit der Grenzfrequenz $f_{\rm T}$ – lässt sich das Sinkensignal $v(t)$ gewinnen, das im Idealfall gleich dem Quellensignal $q(t)$ sein sollte.
Die Multiplikation beim Sender mit dem Trägersignal $z(t)$ führt im Allgemeinen zu zwei Seitenbändern. Bei der Einseitenbandmodulation (ESB–AM) wird nur eines der beiden Bänder übertragen, zum Beispiel das untere Seitenband (USB). Damit erhält man bei idealem Kanal:
- $$r(t) = s(t)= {1 \, \rm V} \cdot {\rm cos}\big [(\omega_{\rm T} - \omega_2 )\cdot t \big ] - {0.5 \, \rm V} \cdot {\rm sin}\big [(\omega_{\rm T} - \omega_5 )\cdot t \big ] .$$
- Hier führt die Synchrondemodulation unter Berücksichtigung eines Phasenversatzes $\Delta \varphi$, der Konstante $K = 4$ sowie des nachgeschalteten Tiefpasses zu folgendem verfälschten Sinkensignal:
- $$v(t)= {1 \, \rm V} \cdot {1}/{2}\cdot 4 \cdot{\rm cos}( \omega_2 t - \Delta \varphi)+ {0.5 \, \rm V} \cdot {1}/{2}\cdot 4 \cdot{\rm sin}( \omega_5 t - \Delta \varphi)$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.5cm}v(t)= {2 \, \rm V} \cdot{\rm cos}( \omega_2 t - \Delta \varphi)+ {1 \, \rm V} \cdot{\rm sin}( \omega_5 t - \Delta \varphi)$$
- Im Idealfall phasensynchroner Demodulation $(\Delta \varphi = 0)$ gilt wieder $v(t) = q(t).$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare Verzerrungen.
- Die Thematik „Amplitudenmodulation/Synchrondemodulator” wird im Buch Modulationsverfahren noch ausführlich diskutiert.
- Gegeben sind die folgenden trigonometrischen Zusammenhänge:
- $$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \big [ 1 + \cos(2\alpha) \big ] \hspace{0.05cm}, $$
- $$\cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = {1}/{2} \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \big],$$
- $$ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) = {1}/{2} \cdot \big[ \sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha + \beta) \big] \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Für das Bandpass–Signal nach dem zweiten Multiplizierer gilt:
- $$b(t) = r(t) \cdot z_{\rm E}(t)= q(t) \cdot z(t) \cdot z_{\rm E}(t)= K \cdot q(t)\cdot \cos^2(\omega_{\rm T} t).$$
Mit der trigonometrischen Beziehung $\cos^2(\omega_{\rm T} t) = {1}/{2} \cdot\left[ 1 + \cos(2\omega_{\rm T} t)\right]$ erhält man
- $$b(t) = {K}/{2} \cdot q(t) + {K}/{2} \cdot q(t)\cdot \cos(2\omega_{\rm T} t).$$
Der zweite Anteil liegt um die doppelte Trägerfrequenz ⇒ $2 f_{\rm T}$ und wird durch den Tiefpass (zum Beispiel mit der Grenzfrequenz $ f_{\rm G} = f_{\rm T}$) entfernt. Damit erhält man: $v(t) = {K}/{2} \cdot q(t) .$ Mit $\underline {K = 2}$ ergibt sich eine ideale Demodulation ⇒ $v(t) = q(t) .$
(2) Unter Berücksichtigung der Beziehung
- $$\cos(\omega_{\rm T} t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} t - \Delta \varphi) = {1}/{2} \cdot \left[ \cos(\Delta \varphi)+ \cos(2\omega_{\rm T} t - \Delta \varphi) \right]$$
sowie des nachgeschalteten Tiefpasses, der wieder den Anteil um die doppelte Trägerfrequenz entfernt, erhält man hier mit $ {K = 2}$:
- $$v(t) = q(t) \cdot \cos(\Delta \varphi).$$
Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 5:
- Ein Phasenversatz $\Delta \varphi$ führt hier nur zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung und nicht zu Dämpfungs– oder Phasenverzerrungen.
- Ein Phasenversatz um $\varphi =\pm 60^\circ$ hat jeweils eine Halbierung des Signals zur Folge.
(3) Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 4.
- Bei beiden Summanden tritt genau der gleiche Phasenversatz $\Delta \varphi$ auf, und es kommt hier zu Phasenverzerrungen:
- $$v(t)= {2 \, \rm V} \cdot{\rm cos}( \omega_2 \cdot (t - \tau_2))+ {1 \, \rm V} \cdot{\rm sin}( \omega_5 t \cdot (t - \tau_5)),$$
- $${\rm wobei}\hspace{0.5cm}\tau_2 = \frac{\Delta \varphi}{\omega_2} \hspace{0.5cm}\ne \hspace{0.5cm} \tau_5 = \frac{\Delta \varphi}{\omega_5}.$$
- Ein Phasenversatz von $\varphi =60^\circ$ entsprechend $\pi/3$ führt hier zu den Verzögerungszeiten:
- $$\tau_2 = \frac{\pi/3}{2 \pi \cdot 2\,\,{\rm kHz }} \approx 83.3\,{\rm \mu s }, \hspace{0.5cm} \tau_5 = \frac{\pi/3}{2 \pi \cdot 5\,\,{\rm kHz }} \approx 33.3\,{\rm \mu s }.$$
- Das niederfrequentere Signal wird also stärker verzögert.
