Aufgaben:Aufgabe 4.6: AWGN–Kanalkapazität: Unterschied zwischen den Versionen
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* $N$ steht für eine gaußverteilte Störung. | * $N$ steht für eine gaußverteilte Störung. | ||
* $Y = X +N$ beschreibt den Ausgang (Empfänger) bei additiver Störung. | * $Y = X +N$ beschreibt den Ausgang (Empfänger) bei additiver Störung. | ||
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Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Störung gelte: | Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Störung gelte: | ||
:$$f_N(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hspace{0.03cm}\sigma_{\hspace{-0.05cm}N}^2}} \cdot {\rm e}^{ | :$$f_N(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hspace{0.03cm}\sigma_{\hspace{-0.05cm}N}^2}} \cdot {\rm e}^{ | ||
- \hspace{0.05cm}{n^2}\hspace{-0.05cm}/{(2 \hspace{0.03cm} \sigma_{\hspace{-0.05cm}N}^2) }} \hspace{0.05cm}.$$ | - \hspace{0.05cm}{n^2}\hspace{-0.05cm}/{(2 \hspace{0.03cm} \sigma_{\hspace{-0.05cm}N}^2) }} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Da die Zufallsgröße $N$ mittelwertfrei ist ⇒ $m_{N} = 0$, kann man die Varianz $\sigma_{\hspace{-0.05cm}N}^2$ mit der Leistung $P_N$ gleichsetzen. In diesem Fall ist die differentielle Entropie der Zufallsgröße $N$ wie folgt angebbar (mit der Pseudo–Einheit „bit”): | + | Da die Zufallsgröße $N$ mittelwertfrei ist ⇒ $m_{N} = 0$, kann man die Varianz $\sigma_{\hspace{-0.05cm}N}^2$ mit der Leistung $P_N$ gleichsetzen. In diesem Fall ist die differentielle Entropie der Zufallsgröße $N$ wie folgt angebbar (mit der Pseudo–Einheit „bit”): |
:$$h(N) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 2\pi {\rm e} \cdot P_N \right )\hspace{0.05cm}.$$ | :$$h(N) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 2\pi {\rm e} \cdot P_N \right )\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | In dieser Aufgabe wird $P_N = 1 \rm mW$ vorgegeben. Dabei ist zu beachten: | + | In dieser Aufgabe wird $P_N = 1 \rm mW$ vorgegeben. Dabei ist zu beachten: |
| − | * Die Leistung $P_N$ in obiger Gleichung muss wie die Varianz $\sigma_{\hspace{-0.05cm}N}^2$ dimensionslos sein. | + | * Die Leistung $P_N$ in obiger Gleichung muss wie die Varianz $\sigma_{\hspace{-0.05cm}N}^2$ dimensionslos sein. |
| − | * Um mit dieser Gleichung arbeiten zu können, muss die physikalische Größe $P_N$ geeignet normiert werden, zum Beispiel entsprechend $P_N = 1 \rm mW$ ⇒ $P_N' = 1$. | + | * Um mit dieser Gleichung arbeiten zu können, muss die physikalische Größe $P_N$ geeignet normiert werden, zum Beispiel entsprechend $P_N = 1 \rm mW$ ⇒ $P_N\hspace{0.01cm}' = 1$. |
| − | * Bei anderer Normierung, beispielsweise $P_N = 1 \rm mW$ ⇒ $P_N' = 0.001$ ergäbe sich für $h(N)$ ein völlig anderer Zahlenwert. | + | * Bei anderer Normierung, beispielsweise $P_N = 1 \rm mW$ ⇒ $P_N\hspace{0.01cm}' = 0.001$ ergäbe sich für $h(N)$ ein völlig anderer Zahlenwert. |
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*Die Kanalkapazität des AWGN–Kanals lautet: | *Die Kanalkapazität des AWGN–Kanals lautet: | ||
:$$C_{\rm AWGN} = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{P_N} \right ) | :$$C_{\rm AWGN} = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{P_N} \right ) | ||
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| − | :Daraus ist ersichtlich, dass die die Kanalkapazität $C$ und auch die Transinformation $I(X; Y)$ im Gegensatz zu den differentiellen Entropien unabhängig von obiger Normierung ist. | + | :Daraus ist ersichtlich, dass die die Kanalkapazität $C$ und auch die Transinformation $I(X; Y)$ im Gegensatz zu den differentiellen Entropien unabhängig von obiger Normierung ist. |
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| + | * Bei gaußförmiger Stör–WDF $f_N(n)$ führt eine ebenfalls gaußförmige Eingangs–WDF $f_X(x)$ zur maximalen Transinformation und damit zur Kanalkapazität. | ||
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang]]. |
*Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log” ⇒ „log<sub>2</sub>” verwendet. | *Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log” ⇒ „log<sub>2</sub>” verwendet. | ||
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Welche Sendeleistung ist für $C = 2 \ \rm bit$ erforderlich? | + | {Welche Sendeleistung ist für $C = 2 \ \rm bit$ erforderlich? |
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$P_X \ = \ $ { 15 3% } $\ \rm mW$ | $P_X \ = \ $ { 15 3% } $\ \rm mW$ | ||
| − | {Unter welchen Voraussetzungen ist $I(X; Y) = 2 \ \rm bit$ überhaupt erreichbar? | + | {Unter welchen Voraussetzungen ist $I(X; Y) = 2 \ \rm bit$ überhaupt erreichbar? |
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| − | + $P_X$ ist wie unter (1) ermittelt oder größer. | + | + $P_X$ ist wie unter '''(1)''' ermittelt oder größer. |
+ Die Zufallsgröße $X$ ist gaußverteilt. | + Die Zufallsgröße $X$ ist gaußverteilt. | ||
+ Die Zufallsgröße $X$ ist mittelwertfrei. | + Die Zufallsgröße $X$ ist mittelwertfrei. | ||
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| − | {Berechnen Sie die differentiellen Entropien der Zufallsgrößen $N$, $X$ und $Y$ bei geeigneter Normierung, | + | {Berechnen Sie die differentiellen Entropien der Zufallsgrößen $N$, $X$ und $Y$ bei geeigneter Normierung, z. B. $P_N = 1 \rm mW$ ⇒ $P_N\hspace{0.01cm}' = 1$. |
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$h(N) \ = \ $ { 2.047 3% } $\ \rm bit$ | $h(N) \ = \ $ { 2.047 3% } $\ \rm bit$ | ||
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| − | {Welche Größen ergäben sich bei gleichem $P_X$ im Grenzfall $P_N ' \to 0$ ? | + | {Welche Größen ergäben sich bei gleichem $P_X$ im Grenzfall $P_N\hspace{0.01cm} ' \to 0$ ? |
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$h(X) \ = \ $ { 4 3% } $\ \rm bit$ | $h(X) \ = \ $ { 4 3% } $\ \rm bit$ | ||
Version vom 18. Oktober 2018, 10:04 Uhr
Flussdiagramm der Information
Wir gehen vom AWGN-Kanalmodell aus:
- $X$ kennzeichnet den Eingang (Sender).
- $N$ steht für eine gaußverteilte Störung.
- $Y = X +N$ beschreibt den Ausgang (Empfänger) bei additiver Störung.
Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Störung gelte:
- $$f_N(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hspace{0.03cm}\sigma_{\hspace{-0.05cm}N}^2}} \cdot {\rm e}^{ - \hspace{0.05cm}{n^2}\hspace{-0.05cm}/{(2 \hspace{0.03cm} \sigma_{\hspace{-0.05cm}N}^2) }} \hspace{0.05cm}.$$
Da die Zufallsgröße $N$ mittelwertfrei ist ⇒ $m_{N} = 0$, kann man die Varianz $\sigma_{\hspace{-0.05cm}N}^2$ mit der Leistung $P_N$ gleichsetzen. In diesem Fall ist die differentielle Entropie der Zufallsgröße $N$ wie folgt angebbar (mit der Pseudo–Einheit „bit”):
- $$h(N) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 2\pi {\rm e} \cdot P_N \right )\hspace{0.05cm}.$$
In dieser Aufgabe wird $P_N = 1 \rm mW$ vorgegeben. Dabei ist zu beachten:
- Die Leistung $P_N$ in obiger Gleichung muss wie die Varianz $\sigma_{\hspace{-0.05cm}N}^2$ dimensionslos sein.
- Um mit dieser Gleichung arbeiten zu können, muss die physikalische Größe $P_N$ geeignet normiert werden, zum Beispiel entsprechend $P_N = 1 \rm mW$ ⇒ $P_N\hspace{0.01cm}' = 1$.
- Bei anderer Normierung, beispielsweise $P_N = 1 \rm mW$ ⇒ $P_N\hspace{0.01cm}' = 0.001$ ergäbe sich für $h(N)$ ein völlig anderer Zahlenwert.
Weiter können Sie bei der Lösung dieser Aufgabe berücksichtigen:
- Die Kanalkapazität ist definiert als die maximale Transinformation zwischen Eingang $X$ und Ausgang $Y$ bei bestmöglicher Eingangsverteilung:
- $$C = \max_{\hspace{-0.15cm}f_X:\hspace{0.05cm} {\rm E}[X^2] \le P_X} \hspace{-0.2cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$
- Die Kanalkapazität des AWGN–Kanals lautet:
- $$C_{\rm AWGN} = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{P_N} \right ) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_{\hspace{-0.05cm}X}\hspace{0.01cm}'}{P_{\hspace{-0.05cm}N}\hspace{0.01cm}'} \right )\hspace{0.05cm}.$$
- Daraus ist ersichtlich, dass die die Kanalkapazität $C$ und auch die Transinformation $I(X; Y)$ im Gegensatz zu den differentiellen Entropien unabhängig von obiger Normierung ist.
- Bei gaußförmiger Stör–WDF $f_N(n)$ führt eine ebenfalls gaußförmige Eingangs–WDF $f_X(x)$ zur maximalen Transinformation und damit zur Kanalkapazität.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
- Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log” ⇒ „log2” verwendet.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Gleichung für die AWGN–Kanalkapazität in „bit” lautet:
- $$C_{\rm bit} = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {P_X}/{P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$
Mit Cbit = 2 ergibt sich daraus:
- $$4 \stackrel{!}{=} {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {P_X}/{P_N} \right ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 1 + {P_X}/{P_N} \stackrel {!}{=} 2^4 = 16 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_X = 15 \cdot P_N \hspace{0.15cm}\underline{= 15\,{\rm mW}} \hspace{0.05cm}. $$
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 bis 4. Begründung:
- Für PX < 15 mW wird die Transinformation I(X; Y) stets kleiner als 2 bit sein, unabhängig von allen anderen Gegebenheiten.
- Mit PX = 15 mW ist die maximale Transinformation I(X; Y) = 2 bit nur erreichbar, wenn die Eingangsgröße X gaußverteilt ist. Die Ausgangsgröße Y ist dann ebenfalls gaußverteilt.
- Weist die Zufallsgröße X einen Gleichanteil mX auf, so ist die Varianz σX2 = PX – mX2 bei gegebenem PX kleiner, und es gilt I(X;Y) = 1/2 · log2 (1 + σX2/PN) < 2 bit.
- Voraussetzung für die gegebene Kanalkapazitätsgleichung ist, dass X und N unkorreliert sind. Wären dagegen die Zufallsgrößen X und Y unkorreliert, so ergäbe sich I(X; Y) = 0.
Informationstheoretische Größen für den AWGN-Kanal
(3) Die angegebene Gleichung für die differentielle Entropie macht nur bei dimensionsloser Leistung Sinn. Mit der vorgeschlagenen Normierung erhält man:
- Für PN = 1 mW ⇒ P'N = 1:
- $$h(N) \ = \ {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 2\pi {\rm e} \cdot 1 \right ) = \ {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 17.08 \right ) \hspace{0.15cm}\underline{= 2.047\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm},$$
- Für PX = 15 mW ⇒ P′X = 15:
- $$h(X) \ = \ {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 2\pi {\rm e} \cdot 15 \right ) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 2\pi {\rm e} \right ) + {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left (15 \right ) \hspace{0.15cm}\underline{= 4.000\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}, $$
- Für PY = PX + PN = 16 mW ⇒ P′Y = 16:
- $$h(Y) = 2.047\,{\rm bit} + 2.000\,{\rm bit} \hspace{0.15cm}\underline{= 4.047\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Für die differentielle Irrelevanz gilt beim AWGN–Kanal:
- $$h(Y \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X) = h(N) \hspace{0.15cm}\underline{= 2.047\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$
Entsprechend nebenstehender Grafik gilt aber auch:
- $$h(Y \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X) = h(Y) - I(X;Y) = 4.047 \,{\rm bit} - 2 \,{\rm bit} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.047\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}. $$
Daraus kann die differentielle Äquivokation wie folgt berechnet werden:
- $$h(X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y) = h(X) - I(X;Y) = 4.000 \,{\rm bit} - 2 \,{\rm bit} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.000\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$
Abschließend wird auch noch die differentielle Verbundentropie angegeben, die aus obigem Schaubild nicht direkt ablesbar ist:
- $$h(XY) = h(X) + h(Y) - I(X;Y) = 4.000 \,{\rm bit} + 4.047 \,{\rm bit} - 2 \,{\rm bit} \hspace{0.15cm}\underline{= 6.047\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$
Informationstheoretische Größen beim idealen Kanal
(5) Bei einem idealen Kanal erhält man mit h(X) = 4 bit:
- $$h(Y \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X) \ = \ h(N) \hspace{0.15cm}\underline{= 0\,{\rm (bit)}}\hspace{0.05cm},$$
- $$h(Y) \ = \ h(X) \hspace{0.15cm}\underline{= 4\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm},$$
- $$I(X;Y) \ = \ h(Y) - h(Y \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X)\hspace{0.15cm}\underline{= 4\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm},$$ $$ h(X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y) \ = \ h(X) - I(X;Y)\hspace{0.15cm}\underline{= 0\,{\rm (bit)}}\hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt diese Größen in einem Flussdiagramm.
Das gleiche Diagramm ergäbe sich auch im wertdiskreten Fall mit M = 16 gleichwahrscheinlichen Symbolen ⇒ H(X) = 4 bit. Man müsste nur jedes „h” durch ein „H” ersetzen.
