Aufgaben:Aufgabe 1.6: Rechteckförmige Impulsantwort: Unterschied zwischen den Versionen
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Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation: | Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation: | ||
− | *Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt. | + | *Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt. |
− | *Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von $-1\ \rm ms$ bis $+1\ \rm ms$ konstant gleich $k$ und außerhalb Null. | + | *Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von $-1\ \rm ms$ bis $+1\ \rm ms$ konstant gleich $k$ und außerhalb Null. |
*An den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert. | *An den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert. | ||
− | *Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt = 2 \ \rm ms$. | + | *Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt = 2 \ \rm ms$. |
− | Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet: | + | Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet: |
:$$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$ | :$$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$ | ||
− | Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein: | + | Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein: |
:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi}f \tau}.$$ | :$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi}f \tau}.$$ | ||
− | *Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' gelte $τ = 0$ ⇒ $H(f) = H_1(f)$. | + | *Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' gelte $τ = 0$ ⇒ $H(f) = H_1(f)$. |
− | *Mit $τ = 0$ kann hierfür aber auch geschrieben werden $(Δt = 2 \ \rm ms)$: | + | *Mit $τ = 0$ kann hierfür aber auch geschrieben werden $(Δt = 2 \ \rm ms)$: |
:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$ | :$$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$ | ||
− | Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠ 0$ nicht anwendbar ist, wegen: | + | *Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠ 0$ nicht anwendbar ist, wegen: |
:$$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$ | :$$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$ | ||
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− | {Berechnen Sie die Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung $H_1(f = 0) = 1$. | + | {Berechnen Sie die Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung $H_1(f = 0) = 1$. |
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$k \ =\ $ { 500 3% } $\ \rm 1/s$ | $k \ =\ $ { 500 3% } $\ \rm 1/s$ | ||
− | {Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t = 0$ symmetrisches Rechteck der Dauer $T = 2 \ \rm ms$ und der Höhe $1 \, \rm V$. Es gelte $τ = 0$ . <br>Welche Aussagen sind zutreffend? | + | {Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t = 0$ symmetrisches Rechteck der Dauer $T = 2 \ \rm ms$ und der Höhe $1 \, \rm V$. Es gelte $τ = 0$ . <br>Welche Aussagen sind zutreffend? |
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− | - $y(t)$ ist rechteckförmig. | + | - $y(t)$ ist rechteckförmig. |
− | + $y(t)$ ist dreieckförmig. | + | + $y(t)$ ist dreieckförmig. |
− | - $y(t)$ ist trapezförmig. | + | - $y(t)$ ist trapezförmig. |
− | + Der Maximalwert von $y(t)$ beträgt $ 1\hspace{0.05cm} \rm V$. | + | + Der Maximalwert von $y(t)$ beträgt $ 1\hspace{0.05cm} \rm V$. |
− | {Welche Aussagen treffen zu, wenn $x(t)$ die Rechteckbreite $T = | + | {Welche Aussagen treffen zu, wenn $x(t)$ die Rechteckbreite $T = 1 \ \rm ms$ besitzt? |
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− | - $y(t)$ ist rechteckförmig. | + | - $y(t)$ ist rechteckförmig. |
− | - $y(t)$ ist dreieckförmig. | + | - $y(t)$ ist dreieckförmig. |
− | + $y(t)$ ist trapezförmig. | + | + $y(t)$ ist trapezförmig. |
− | - Der Maximalwert von $y(t)$ beträgt $1\hspace{0.05cm} \rm V$. | + | - Der Maximalwert von $y(t)$ beträgt $1\hspace{0.05cm} \rm V$. |
− | {Es gelte weiter $τ = 0$. Berechnen Sie das Ausgangssignal $z(t)$, wenn $x(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ von Null auf $1\hspace{0.05cm} \rm V$ springt. <br>Welche Aussagen treffen zu? | + | {Es gelte weiter $τ = 0$. Berechnen Sie das Ausgangssignal $z(t)$, wenn $x(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ von Null auf $1\hspace{0.05cm} \rm V$ springt. <br>Welche Aussagen treffen zu? |
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− | - $z(t)$ ist eine gerade Funktion der Zeit. | + | - $z(t)$ ist eine gerade Funktion der Zeit. |
− | + $z(t)$ weist bei $t = 0$ eine Sprungstelle auf. | + | + $z(t)$ weist bei $t = 0$ eine Sprungstelle auf. |
− | + Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist $z(t) = 0$. | + | + Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist $z(t) = 0$. |
− | + Für $t > 1 \ \rm ms$ ist $z(t) = 0$. | + | + Für $t > 1 \ \rm ms$ ist $z(t) = 0$. |
− | {Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit $τ =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ ist? <br>Welcher Signalwert tritt bei $t =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf? | + | {Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit $τ =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ ist? <br>Welcher Signalwert tritt bei $t =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf? |
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$z(t = 1 \rm \ ms) =\ $ { 0.5 3% } $\ \rm V$ | $z(t = 1 \rm \ ms) =\ $ { 0.5 3% } $\ \rm V$ |
Version vom 23. Oktober 2019, 09:52 Uhr
Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation:
- Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt.
- Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von $-1\ \rm ms$ bis $+1\ \rm ms$ konstant gleich $k$ und außerhalb Null.
- An den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert.
- Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt = 2 \ \rm ms$.
Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet:
- $$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$
Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein:
- $$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi}f \tau}.$$
- Für die Teilaufgaben (1) bis (4) gelte $τ = 0$ ⇒ $H(f) = H_1(f)$.
- Mit $τ = 0$ kann hierfür aber auch geschrieben werden $(Δt = 2 \ \rm ms)$:
- $$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$
- Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠ 0$ nicht anwendbar ist, wegen:
- $$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Spalt–Tiefpass.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Bedingung $H(f = 0) = 1$ bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich $1$ ist. Daraus folgt:
- $$k = {1}/{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4:
- Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$.
- Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t = 0$:
- $$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:
- Die Faltung von zwei unterschiedlich breiten Rechtecken führt zu einem trapezförmigen Ausgangssignal entsprechend der Skizze.
- Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von $-0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$ bis $+0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf und beträgt
- $$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:
- Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$ Diese beiden Anteile sind in der Skizze dargestellt.
- Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. In der unteren Skizze sind dargestellt:
- das Integral über $δ(t)$ blau,
- die Funktion $-σ(t)$ rot, und
- das gesamte Signal $z(t)$ grün.
- $z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t = 0$: Der Signalwert bei $t = 0$ liegt genau in der Mitte zwischen dem links– und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit 0.
- Für $t > 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ gilt ebenfalls $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.
(5) Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, die bei $t = 0$ auf $1$ springt und bis zum Zeitpunkt $t = 2 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf den Endwert Null abklingt. Zum Zeitpunkt $t = 1\ \rm ms$ ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) = 0.5$.
- Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ zu multiplizieren.
- Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ ergibt sich zu $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5}$.