Aufgaben:Aufgabe 2.1Z: Verzerrung und Entzerrung: Unterschied zwischen den Versionen
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:$$A(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot \cos^2(\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \cdot \frac{\pi}{ 2} ) ,$$ | :$$A(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot \cos^2(\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \cdot \frac{\pi}{ 2} ) ,$$ | ||
| − | * ein Dreieckspektrum, ebenfalls begrenzt auf den Frequenzbereich $|f| < 1 \ \rm kHz$: | + | * ein Dreieckspektrum, ebenfalls begrenzt auf den Frequenzbereich $|f| < 1 \ \rm kHz$: |
:$$B(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot \left(1-\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \right),$$ | :$$B(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot \left(1-\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \right),$$ | ||
* ein so genanntes Gaußspektrum: | * ein so genanntes Gaußspektrum: | ||
:$$C(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot {\rm e}^{-\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (f/{1 \, \rm kHz})^2} .$$ | :$$C(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot {\rm e}^{-\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (f/{1 \, \rm kHz})^2} .$$ | ||
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Weiterhin betrachten wir | Weiterhin betrachten wir | ||
| − | *ein linear verzerrendes System $S_{\rm V}$ mit $X(f)$ am Eingang und $Y(f)$ am Ausgang, sowie | + | *ein linear verzerrendes System $S_{\rm V}$ mit $X(f)$ am Eingang und $Y(f)$ am Ausgang, sowie |
| − | *das Entzerrungssystem $S_{\rm E}$ mit Eingangsspektrum $Y(f)$ und Ausgangsspektrum $Z(f)$. | + | *das Entzerrungssystem $S_{\rm E}$ mit Eingangsspektrum $Y(f)$ und Ausgangsspektrum $Z(f)$. |
| − | Die Frequenzgänge der beiden Systeme $S_{\rm V}$ und $S_{\rm E}$ lauten: | + | Die Frequenzgänge der beiden Systeme $S_{\rm V}$ und $S_{\rm E}$ lauten: |
| − | :$$H_{\rm V}(f) = \frac{Y(f)}{X(f)} , \hspace{0.3cm}H_{\rm E}(f) = \frac{Z(f)}{Y(f)} .$$ | + | :$$H_{\rm V}(f) = \frac{Y(f)}{X(f)} , \hspace{0.3cm}$$ |
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen|Klassifizierung der Verzerrungen]]. | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen|Klassifizierung der Verzerrungen]]. | ||
| − | *Eine vollständige Entzerrung bedeutet, dass $Z(f) = X(f)$ gilt. | + | *Eine vollständige Entzerrung bedeutet, dass $Z(f) = X(f)$ gilt. |
Version vom 28. Oktober 2019, 09:00 Uhr
Drei kontinuierliche Spektralfunktionen
Die Grafik zeigt drei kontinuierliche Spektralfunktionen:
- ein cos2–Spektrum, das nur Anteile im Bereich $|f| < 1 \ \rm kHz$ besitzt, wobei gilt:
- $$A(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot \cos^2(\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \cdot \frac{\pi}{ 2} ) ,$$
- ein Dreieckspektrum, ebenfalls begrenzt auf den Frequenzbereich $|f| < 1 \ \rm kHz$:
- $$B(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot \left(1-\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \right),$$
- ein so genanntes Gaußspektrum:
- $$C(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot {\rm e}^{-\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (f/{1 \, \rm kHz})^2} .$$
Weiterhin betrachten wir
- ein linear verzerrendes System $S_{\rm V}$ mit $X(f)$ am Eingang und $Y(f)$ am Ausgang, sowie
- das Entzerrungssystem $S_{\rm E}$ mit Eingangsspektrum $Y(f)$ und Ausgangsspektrum $Z(f)$.
Die Frequenzgänge der beiden Systeme $S_{\rm V}$ und $S_{\rm E}$ lauten:
- $$H_{\rm V}(f) = \frac{Y(f)}{X(f)} , \hspace{0.3cm}$$
- $$H_{\rm E}(f) = \frac{Z(f)}{Y(f)} .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Klassifizierung der Verzerrungen.
- Eine vollständige Entzerrung bedeutet, dass $Z(f) = X(f)$ gilt.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist Ja:
- Diese Konstellation ist möglich, da für alle $Y(f) \ne 0$ auch $X(f)$ stets von Null verschieden ist.
- Für alle Frequenzen kleiner als $0.5 \ \rm kHz$ bewirkt $H_{\rm V} = B(f)/A(f) < 1$ eine Dämpfung.
- Die Frequenzen zwischen $0.5 \ \rm kHz$ und $1 \ \rm kHz$ werden dagegen durch das System angehoben.
(2) Richtig ist Ja:
- Bei dieser Konstellation ist auch eine vollständige lineare Entzerrung mit
- $$H_{\rm E}(f) = \frac{Z(f)}{Y(f)} = \frac{A(f)}{B(f)} = \frac{1}{H_{\rm V}(f)}$$
möglich, da beide Spektren genau bis $1 \ \rm kHz$ reichen.
(3) Richtig ist Ja:
- Auch diese Konstellation ist möglich. Das Filter $H_{\rm V}(f)$ muss für die Frequenzen $|f| <1 \ \rm kHz$ aus dem Gaußspektrum ein Dreieckspektrum formen und alle Frequenzen $|f| > 1 \ \rm kHz$ unterdrücken.
(4) Richtig ist Nein:
- Eine vollständige Entzerrung ist hier nicht möglich:
- Die Anteile des Gaußspektrums, die durch $H_{\rm V}(f)$ vollständig eliminiert wurden, können durch das lineare System nicht wieder hergestellt werden.
(5) Richtig ist Nein:
- Diese Konstellation ist mit einem linearen System nicht möglich, da im Spektrum $C(f) = A(f) \cdot H_{\rm V}(f)$ keine Spektralanteile enthalten sein können, die es in $A(f)$ nicht gibt.
- Die Frage, ob es ein nichtlineares System gibt, das aus dem $\cos^2$-Spektrum ein Gaußspektrum formt, ist nicht gestellt und muss deshalb auch nicht beantwortet werden: Die Autoren glauben eher „Nein”.
