Aufgaben:Aufgabe 3.11Z: Maximum-Likelihood-Fehlergrößen

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Berechnung der minimalen Gesamtfehlergrößen

Für die in der  Aufgabe 3.11  behandelte Maximum–Likelihood–Konstellation mit bipolaren Amplitudenkoeffizient  $a_{\rm \nu} ∈ \{+1, –1\}$  sollen die Fehlergrößen  $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$  sowie die minimalen Gesamtfehlergrößen  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(–1)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$  ermittelt werden.

1. Der Grundimpuls ist durch die beiden Werte  $g_0$  und  $g_{\rm –1}$  gegeben. 
2. Diese können ebenso wie die (verrauschten)  Detektionsabtastwerte  $d_0$  und  $d_1$  aus den nachfolgenden Berechnungen für die Fehlergrößen  $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$  zu den Zeitpunkten  $\nu = 0$  und  $\nu = 1$  entnommen werden. 
3. Anzumerken ist,  dass vor der eigentlichen Nachricht   $(a_1$,\ $a_2$,\ $a_3)$   stets das Symbol   $a_0 = 0$   gesendet wird.

Für den Zeitpunkt  $\nu = 0$  gilt:

$$\varepsilon_{0}(+1) \ = \ \big[-0.4- 0.4\big]^2=0.64 \hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon_{0}(-1) \ = \ \big[-0.4+ 0.4\big]^2=0.00 \hspace{0.05cm}.$$

Daraus könnte bereits zum Zeitpunkt  $\nu = 0$  geschlossen werden,  dass mit großer Wahrscheinlichkeit  $a_1 = -\hspace{-0.05cm}1$  ist.

Für den Zeitpunkt  $\nu = 1$  ergeben sich folgende Fehlergrößen,  die in der Literatur machmal auch als  "Metriken"  bezeichnet werden:

$$\varepsilon_{1}(+1, +1) \ = \ \big[-0.8- 0.6 -0.4\big]^2=3.24 \hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon_{1}(+1, -1) \ = \ \big[-0.8- 0.6 +0.4\big]^2=1.00 \hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon_{1}(-1, +1) \ = \ \big[-0.8+ 0.6 -0.4\big]^2=0.36 \hspace{0.05cm},$$

$$ \varepsilon_{1}(-1, -1) \ = \ \big[-0.8+ 0.6 +0.4\big]^2=0.04 \hspace{0.05cm}.$$

Die minimalen Gesamtfehlergrößen  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(-\hspace{-0.07cm}1)$  und  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$,  die mit diesen sechs Fehlergrößen berechnet werden können,  sind bereits in der Grafik eingezeichnet.  Die weiteren verrauschten Detektionsabtastwerte sind  $d_{2}=0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} d_{3}=0.5 \hspace{0.05cm}.$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Viterbi–Empfänger".

• Alle Größen sind hier normiert zu verstehen.  Gehen Sie zudem von bipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus:  ${\rm Pr} (a_\nu = -\hspace{-0.05cm}1) = {\rm Pr} (a_\nu = +1)= 0.5.$

• Die Thematik wird auch im interaktiven SWF–Applet  Eigenschaften des Viterbi–Empfängers behandelt.

Fragebogen

1

Von welchen Detektionsabtastwerten  $d_0$  und  $d_1$  wurde hier ausgegangen?

$d_0 \ = \ $

$d_1\ = \ $

2

Welche Grundimpulswerte wurden dabei vorausgesetzt?

$g_0\ = \ $

$g_{-1} \ = \ $

3

Welche der aufgeführten Detektionsabtastwerte sind für  $\nu ≥ 1$  möglich?

	$±0.2,$
	$±0.4,$
	$±0.6,$
	$±1.0.$

4

Geben Sie die minimalen Gesamtfehlergrößen für die Zeit  $\nu = 2$  an  $(d_2 = 0.1)$.

${\it \Gamma}_2(+1)\ = \ $

${\it \Gamma}_2(-\hspace{-0.05cm}1)\ = \ $

5

Berechnen Sie die minimalen Gesamtfehlergrößen für die Zeit  $\nu = 3$  $(d_3 = 0.5)$.

${\it \Gamma}_3(+1) \ = \ $

${\it \Gamma}_3(-\hspace{-0.05cm}1) \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Aus den Gleichungen auf der Angabenseite erkennt man $d_0 = \underline{–0.4}$ und $d_1 = \underline {–0.8}$.

(2)  Die Fehlergrößen $\varepsilon_0(i)$ beinhalten den Grundimpulswert $g_{\rm –1}$, über den der Zusammenhang zwischen dem Amplitudenkoeffizienten $a_1$ und dem Detektionsabtastwert $d_0$ hergestellt wird ($g_0$ ist in diesen Gleichungen nicht enthalten).

• Man erkennt $g_{\rm –1}\ \underline {= 0.4}$.
• Aus den Gleichungen für $\nu = 1$ ist der Hauptwert $g_0 \ \underline {= 0.6}$ ablesbar.

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

• Die möglichen Nutzabtastwerte sind $\pm g_0 \pm g_{\rm –1} = \pm 0.6 \pm0.4$, also $\underline {±0.2}$ und $\underline {±1.0}$.
• Bei unipolarer Signalisierung   ⇒   $a_\nu \in \{0, \hspace{0.05cm} 1\}$ würden sich dagegen die Werte $0, \ 0.4, \ 0.6$ und $1$ ergeben.
• Der Zusammenhang zwischen bipolaren Werten $b_i$ und den unipolaren Äquivalenten $u_i$ lautet allgemein:   $b_i = 2 \cdot u_i - 1 \hspace{0.05cm}.$

(4)  Die Fehlergrößen ergeben sich für $\nu = 2$ unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus (3) wie folgt:

$$\varepsilon_{2}(+1, +1) \ = \ [0.1 - 1.0]^2=0.81,\hspace{0.2cm} \varepsilon_{2}(-1, +1) = [0.1 +0.2]^2=0.09 \hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon_{2}(+1, -1) \ = \ [0.1 -0.2]^2=0.01,\hspace{0.2cm} \varepsilon_{2}(-1, -1) = [0.1 +1.0]^2=1.21 \hspace{0.05cm}.$$

Damit lauten die minimalen Gesamtfehlergrößen:

$${\it \Gamma}_{2}(+1) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(+1) + \varepsilon_{2}(+1, +1), \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(-1) + \varepsilon_{2}(-1, +1)\right] = {\rm Min}\left[0.36 + 0.81, 0.04 + 0.09\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.13} \hspace{0.05cm},$$

$${\it \Gamma}_{2}(-1) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(+1) + \varepsilon_{2}(+1, -1), \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(-1) + \varepsilon_{2}(-1, -1)\right] = {\rm Min}\left[0.36 + 0.01, 0.04 + 1.21\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.37} \hspace{0.05cm}.$$

Berechnung der minimalen Gesamtfehlergrößen

Im nebenstehenden Trellisdiagramm ist der Zustand „$1$” als „$+1$” und „$0$” als „$–1$” zu interpretieren.

Dann gilt:

• ${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ ist die minimale Gesamtfehlergröße unter der Hypothese, dass das nachfolgende Symbol $a_3 = +1$ sein wird.
• Unter dieser Annahme ist $a_2 = \ –1$ wahrscheinlicher als $a_2 = +1$, wie aus dem Trellisdiagramm hervorgeht (der ankommende Pfad ist blau).
• Eine realistische Alternative zur Kombination „$a_2 = \ –1, a_3 = +1$” ist „$a_2 = +1, a_3 = \ –1$”, die zur minimalen Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_2(–1) = 0.37$ führen. Hier ist der ankommende Pfad rot.

(5)  Für den Zeitpunkt $\nu = 3$ gelten folgende Gleichungen:

$$\varepsilon_{3}(+1, +1) \ = \ [0.5 - 1.0]^2=0.25,\hspace{0.2cm} \varepsilon_{3}(-1, +1) = [0.5 +0.2]^2=0.49 \hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon_{3}(+1, -1) \ = \ [0.5 -0.2]^2=0.09,\hspace{0.2cm} \varepsilon_{3}(-1, -1) = [0.5 +1.0]^2=2.25 \hspace{0.05cm}.$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Gamma}_{3}(+1) \ = \ {\rm Min}\left[0.13 + 0.25, 0.37 + 0.49\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.38} \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} {\it \Gamma}_{3}(-1) \ = \ {\rm Min}\left[0.13 + 0.09, 0.37 + 2.25\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.22} \hspace{0.05cm}.$$

• Bei beiden Gleichungen ist der jeweils erste Term der kleinere, wobei jeweils ${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ enthalten ist.
• Deshalb wird der Viterbi–Empfänger mit Sicherheit $a_3 = +1$ ausgeben, ganz egal, welche Informationen er zu späteren Zeitpunkten ($\nu > 3$) noch bekommen wird.

Verfolgt man den durchgehenden Pfad im Trellisdiagramm, so sind durch die Festlegung $a_3 = +1$ auch die anderen Amplitudenkoeffizienten fix:

$$a_1 = a_2 = \ –1.$$