Applets:Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen (neues Applet)

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Programmbeschreibung

Dieses Applet ermöglicht die Darstellung der Hadamard-Matrizen $H_J$ zur Konstruktion der Walsh-Funktionen $w_j$. Dabei können der Faktor $J$ der Bandspreizung sowie die Markierung der einzelnen Walsh-Funktionen (durch blaue Umrandung der Zeilen der Matrix) verändert werden.

Theoretischer Hintergrund

Bei der Untersuchung digitaler Übertragungssysteme muss oft die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass eine (mittelwertfreie) gaußverteilte Zufallsgröße  $x$  mit der Varianz  $σ^2$  einen vorgegebenen Wert  $x_0$  überschreitet. Für diese Wahrscheinlichkeit gilt:

$${\rm Pr}(x > x_0)={\rm Q}(\frac{x_0}{\sigma}) = 1/2 \cdot {\rm erfc}(\frac{x_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma}).$$

Die Funktion ${\rm Q}(x )$

Die Funktion  ${\rm Q}(x)$  bezeichnet man als das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral. Es gilt folgende Berechnungsvorschrift:

$${\rm Q}(x ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}/\hspace{0.05cm} 2}\,{\rm d} u .$$

• Dieses Integral ist nicht analytisch lösbar und muss – wenn man dieses Applet nicht zur Verfügung hat – aus Tabellen entnommen werden.
• Speziell für größere  $x$–Werte (also für kleine Fehlerwahrscheinlichkeiten) liefern die nachfolgend angegebenen Schranken eine brauchbare Abschätzung für das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral, die auch ohne Tabellen berechnet werden können.
• Eine obere Schranke (englisch:  Upper Bound ) des Komplementären Gaußschen Fehlerintegrals lautet:

$${\rm Q}_{\rm UB}(x )=\text{Upper Bound }\big [{\rm Q}(x ) \big ] = \frac{ 1}{\sqrt{2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}/\hspace{0.05cm}2} > {\rm Q}(x).$$

• Entsprechend gilt für die untere Schranke (englisch:  Lower Bound ):

$${\rm Q}_{\rm LB}(x )=\text{Lower Bound }\big [{\rm Q}(x ) \big ] =\frac{1-1/x^2}{\sqrt{2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^ 2/\hspace{0.05cm}2} ={\rm Q}_{\rm UB}(x ) \cdot (1-1/x^2)< {\rm Q}(x).$$

In vielen Programmbibliotheken findet man allerdings die Funktion  ${\rm Q}(x )$  nicht.

Die Funktion $1/2 \cdot {\rm erfc}(x )$

In fast allen Programmbibliotheken findet man dagegen die Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion (englisch:  Complementary Gaussian Error Function)

$${\rm erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}}\,{\rm d} u .$$

die mit  ${\rm Q}(x)$  wie folgt zusammenhängt:   ${\rm Q}(x)=1/2\cdot {\rm erfc}(x/{\sqrt{2}}).$ Da bei fast allen Anwendungen diese Funktion mit dem Faktor  $1/2$  verwendet wird, wurde in diesem Applet genau diese Funktion realisiert:

$$1/2 \cdot{\rm erfc}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}}\,{\rm d} u .$$

• Auch für diese Funktion kann wieder eine obere und eine untere Schranke angegeben werden:

$$\text{Upper Bound }\big [1/2 \cdot{\rm erfc}(x) \big ] = \frac{ 1}{\sqrt{\pi}\cdot 2x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}} ,$$

$$\text{Lower Bound }\big [1/2 \cdot{\rm erfc}(x) \big ] = \frac{ {1-1/(2x^2)}}{\sqrt{\pi}\cdot 2x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}} .$$

Wann bietet welche Funktion Vorteile?

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten die binäre Basisbandübertragung. Hier lautet die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B} = {\rm Q}({s_0}/{\sigma_d})$, wobei das Nutzsignal die Werte  $\pm s_0$  annehmen kann und der Rauscheffektivwert  $\sigma_d$  ist.

Es wird vorausgesetzt, dass Tabellen zur Verfügung stehen, in denen das Argument der Gaußschen Fehlerfunktionen im Abstand  $0.1$  aufgelistet sind. Mit  $s_0/\sigma_d = 4$  erhält man für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gemäß der Q–Funktion:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} (4) \approx 0.317 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$

Nach der zweiten Gleichung ergibt sich:

$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( {4}/{\sqrt{2} })= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( 2.828)\approx {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( 2.8)= 0.375 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$

• Richtiger ist der erste Wert. Bei der zweiten Berechnungsart muss man runden oder – noch besser – interpolieren, was aufgrund der starken Nichtlinearität dieser Funktion sehr schwierig ist.
  
• Bei den gegebenen Zahlenwerten ist demnach Q–Funktion besser geeignet. Außerhalb von Übungsbeispielen wird allerdings  $s_0/\sigma_d$  in der Regel einen „krummen” Wert besitzen. In diesem Fall bietet  ${\rm Q}(x)$  natürlich keinen Vorteil gegenüber  $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$.

$\text{Beispiel 2:}$  Mit der Energie pro Bit  $(E_{\rm B})$  und der Rauschleistungsdichte  $(N_0)$  gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von Binary Phase Shift Keying  (BPSK):

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ {2 E_{\rm B} }/{N_0} }\right ) = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left ( \sqrt{ {E_{\rm B} }/{N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Für die Zahlenwerte  $E_{\rm B} = 16 \ \rm mWs$ und $N_0 = 16 \ \rm mW/Hz$  erhält man:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left (4 \cdot \sqrt{ 2} \right ) = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left ( 4\right ) \hspace{0.05cm}.$$

• Der erste Weg führt zum Ergebnis  $p_{\rm B} = {\rm Q} (5.657) \approx {\rm Q} (5.7) = 0.6 \cdot 10^{-8}\hspace{0.05cm}$, während  $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$  hier den richtigeren Wert  $p_{\rm B} \approx 0.771 \cdot 10^{-8}$  liefert.
• Wie im ersten Beispiel erkennt man aber auch hier:   Die Funktionen  ${\rm Q}(x)$  und  $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$  sind grundsätzlich gleich gut geeignet. Vor– oder Nachteile der einen oder anderen Funktion ergeben sich nur bei konkreten Zahlenwerten.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Auswahl des Faktors zur Bandspreizung als Zweierpotenz von $G$

    (B)     Auswahl der jeweiligen Walsh-Funktion $w_j$

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2007 von  Thomas Großer  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  Günter Söder).
• 2018/2019 wurde das Programm von  Marwen Ben Ammar  und  Xiaohan Liu  (Bachelorarbeit, Betreuer:  Tasnád Kernetzky ) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

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