Aufgaben:Aufgabe 3.7: PN–Modulation

• Zurück zum Buch

Ersatzschaltbilder von „PN-Modulation” und „BPSK”

Die obere Grafik zeigt das Ersatzschaltbild der PN–Modulation  $($englisch:   Direct Sequence Spread Spectrum, abgekürzt  $\rm DS–SS)$  im äquivalenten Tiefpass–Bereich, wobei  $n(t)$  für AWGN–Rauschen steht.

Darunter skizziert ist das Tiefpass–Modell der binären Phasenmodulation, kurz  $\rm BPSK$.

• Das Tiefpass–Sendesignal  $s(t)$  ist hier nur aus Gründen einheitlicher Darstellung gleich dem rechteckförmigen Quellensignal  $q(t) ∈ \{+1, –1\}$  mit Rechteckdauer  $T$  gesetzt.
• Die Funktion des Integrators kann wie folgt geschrieben werden:

$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.03cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

• Die beiden Modelle unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem  $±1$–Spreizsignal  $c(t)$  bei Sender und Empfänger, wobei von diesem Signal  $c(t)$  lediglich der Spreizgrad  $J$  bekannt ist.
• Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge  $($M–Sequenz oder Walsh–Funktion$)$  nicht von Bedeutung.

Zu untersuchen ist, ob sich das untere BPSK–Modell auch bei PN–Modulation anwenden lässt und ob die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$

auch für die PN–Modulation gültig ist, beziehungsweise wie die angegebene Gleichung zu modifizieren wäre.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Die Charakteristika von UMTS.

• Das bei UMTS eingesetzte CDMA–Verfahren firmiert auch unter der Bezeichnung „PN–Modulation”.
• Die in dieser Aufgabe verwendete Nomenklatur richtet sich zum Teil auch nach dem Abschnitt  PN–Modulation  im Buch „Modulationsverfahren”.

Fragebogen

1

Welche Detektionssignalwerte sind bei BPSK möglich (ohne Rauschen)?

	$d(\nu T)$  ist gaußverteilt.
	$d(\nu T)$  kann die Werte  $+1$,  $0$  und  $-1$  annehmen.
	Es sind nur die Werte  $d(\nu T) = +1$  und  $d(\nu T) = -1$  möglich.

2

Welche Detektionssignalwerte sind bei PN–Modulation im rauschfreien Fall möglich?

	$d(\nu T)$  ist gaußverteilt.
	$d(\nu T)$  kann die Werte  $+1$,  $0$  und  $-1$  annehmen.
	Es sind nur die Werte  $d(\nu T) = +1$  und  $d(\nu T) = -1$  möglich.

3

Welche Modifikation muss am BPSK–Modell vorgenommen werden, damit es auch für die PN–Modulation anwendbar ist?

	Das Rauschen  $n(t)$  muss durch  $n\hspace{0.05cm}'(t) = n(t) \cdot c(t)$  ersetzt werden.
	Die Integration muss nun über  $J \cdot T$  erfolgen.
	Die Rauschleistung muss um den Faktor  $J$  vermindert werden.

4

Es gelte  $10 \cdot {\rm lg}\ (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$.  Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  ergibt sich bei PN–Modulation?  Hinweis:   Bei BPSK ergibt sich  $p_{\rm B} \approx 2.3 \cdot 10^{-3}$.

	Je größer  $J$  gewählt wird, desto kleiner ist  $p_{\rm B}$.
	Je größer  $J$  gewählt wird, desto größer ist  $p_{\rm B}$.
	Es ergibt sich unabhängig von  $J$  stets der Wert  $p_{\rm B} = 2.3 \cdot 10^{-3}$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

• Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger.
• Ohne Rauschen ist das Signal $b(t)$ innerhalb eines jeden Bits konstant gleich $+1$ oder $-1$.
• Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator

$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$

folgt, dass $d(\nu T)$ nur die Werte $±1$ annehmen kann.

(2)  Richtig ist wieder der Lösungsvorschlag 3:

• Im rauschfreien Fall   ⇒   $n(t) = 0$ kann auf die zweifache Multiplikation mit $c(t) ∈ \{+1, -1\}$   ⇒   $c(t)^{2} = 1$ verzichtet werden, so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist.

(3)  Zutreffend ist der Lösungsvorschlag 1:

• Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind, muss nur das Rauschsignal angepasst werden: $n'(t) = n(t) \cdot c(t)$.
• Die Lösungsvorschläge 2 und 3 sind dagegen nicht zutreffend: Die Integration muss auch weiterhin über $T = J \cdot T_{c}$ erfolgen (nicht über $J \cdot T$) und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht.

(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

• Die für BPSK und AWGN–Kanal gültige Gleichung

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$

ist somit auch bei der PN–Modulation anwendbar und zwar unabhängig vom Spreizfaktor $J$ und von der spezifischen Spreizfolge.

• Bei AWGN–Rauschen wird die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert.