Aufgaben:Aufgabe 4.7: Zum RAKE-Empfänger: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal (gelbe Hinterlegung). Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet:
 
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:$$r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
 
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Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei  $\tau = 1 \ \rm µ s$. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten  $K, h_{0}, h_{1}, \tau_{0}$  und  $\tau_{1}$.
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Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei  $\tau = 1 \ \rm µ s$. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten  $K, \ h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$  und  $\tau_{1}$.
  
 
Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form
 
Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form
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:$$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$
 
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angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten  $h_{0}, h_{1}, \tau_{0}$  und  $\tau_{1}$  geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von  $h_{\rm KR}(t)$  soll bei  $t = \tau$  liegen.
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angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten  $h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$  und  $\tau_{1}$  geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von  $h_{\rm KR}(t)$  soll bei  $t = \tau$  liegen.
  
 
Die Konstante  $K$  ist aus Normierungsgründen notwendig. Um den Einfluss von AWGN–Rauschen nicht zu verfälschen, muss folgende Bedingung erfüllt sein:
 
Die Konstante  $K$  ist aus Normierungsgründen notwendig. Um den Einfluss von AWGN–Rauschen nicht zu verfälschen, muss folgende Bedingung erfüllt sein:
 
:$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$
 
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Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale  $r(t)$  und  $b(t)$, wenn  $s(t)$  ein Rechteck der Höhe  $1$  und der Breite  $T = 5 \ \rm µ s$  ist.
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Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale  $r(t)$  und  $b(t)$, wenn  $s(t)$  ein Rechteck der Höhe  $1$  und der Breite  $T = 5 \ \rm µ s$  beschreibt.
  
  
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Version vom 20. August 2019, 14:37 Uhr

Zweiwegekanal & RAKE

Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal (gelbe Hinterlegung). Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet:

$$r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$

Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei  $\tau = 1 \ \rm µ s$. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten  $K, \ h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$  und  $\tau_{1}$.

Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form

$$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$

angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten  $h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$  und  $\tau_{1}$  geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von  $h_{\rm KR}(t)$  soll bei  $t = \tau$  liegen.

Die Konstante  $K$  ist aus Normierungsgründen notwendig. Um den Einfluss von AWGN–Rauschen nicht zu verfälschen, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$

Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale  $r(t)$  und  $b(t)$, wenn  $s(t)$  ein Rechteck der Höhe  $1$  und der Breite  $T = 5 \ \rm µ s$  beschreibt.





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die Kanalimpulsantwort  $h_{\rm K}(t)$ ?

$h_{\rm K}(t)$  besteht aus zwei Diracfunktionen.
$h_{\rm K}(t)$  ist komplexwertig.
$h_{\rm K}(t)$  ist eine mit der Verzögerungszeit  $\tau$  periodische Funktion.

2

Welche Aussagen gelten für den Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$ ?

Es gilt  $H_{\rm K}(f = 0) = 2$.
$H_{\rm K}(f)$  ist komplexwertig.
$|H_{\rm K}(f)|$  ist eine mit der Frequenz  $1/ \tau$  periodische Funktion.

3

Setzen Sie  $K = 1, \ h_{0} = 0.6$  und   $h_{1} = 0.4$. Bestimmen Sie die Verzögerungen  $\tau_{0}$  und  $\tau_{1}$, damit die  $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung mit  $A_{0} = A_{2}$  erfüllt wird.

$\tau_{0} \ = \ $

$\ \rm µ s$
$\tau_{1} \ = \ $

$\ \rmµ s$

4

Welcher Wert ist für die Konstante  $K$  zu wählen?

$K \ = \ $

5

Welche Aussagen gelten für die Signale  $r(t)$  und  $b(t)$ ?

Der Maximalwert von  $r(t)$  ist  $1$.
Die Breite von  $r(t)$  ist  $7 \ \rm µ s$.
Der Maximalwert von  $b(t)$  ist  $1 \ \rm µ s$.
Die Breite von  $b(t)$  ist  $7 \ \rm µ s$.


Musterlösung

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

  • Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ergibt sich als das Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt $\Rightarrow s(t) = \delta(t)$.
  • Daraus folgt
$$h_{\rm K}(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:
$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
  • Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen:
  • $H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit $1/\tau$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
$$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = \sqrt { 0.52 + 0.48 \cdot \cos(2 \pi f \tau) } \hspace{0.05cm}.$$
  • Für $f = 0$ ist $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/\tau$ wiederholt sich dieser Wert.


(3)  Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß $K = 1$. Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$. Um die vorgegebene $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $\tau_{0} = 0$ gelten oder $\tau_{1}= 0$. Mit $\tau_{0} = 0$ erhält man für die Impulsantwort:

$$ h_{\rm KR}(t) \ = \ 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$

Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann $\tau_{1} = \tau$ gewählt werden. Mit $h_{0} = 0.6$ und $h_{1} = 0.4$ erhält man dann $A_{0} \neq A_{2}$:

$$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.48 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$

Dagegen ergibt sich mit $h_{0} = 0.6$, $h_{1} = 0.4, \tau_{0} = \tau$ und $\tau_{1} = 0$:

$$h_{\rm KR}(t)= 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.52 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24 \cdot[ \delta (t ) +\delta (t - 2\tau)] \hspace{0.05cm}.$$

Hier ist die Zusatzbedingung $A_{0} = A_{2}$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis:

$$\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Es gilt entsprechend der angegebenen Gleichung

$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 1.923 } \hspace{0.05cm}.$$

Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort (es gilt $0.24/0.52 = 6/13$):

$$h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$


(5)  Für das Empfangssignal $r(t)$ und für das RAKE–Ausgangssignal $b(t)$ gilt:

$$ r(t) \ = \ 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},$$
$$ b(t) \ = \ \frac{6}{13} \cdot s(t) + 1.00 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s}) + \frac{6}{13} \cdot s (t - 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.05cm}.$$
Signale zur Verdeutlichung des RAKE–Empfängers

Richtig sind die Aussagen 1 und 4, wie die Grafik zeigt.

Bezüglich des AWGN–Rauschverhaltens sind $r(t)$ und $b(t)$ vergleichbar.