Applets:WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen (Applet)

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Programmbeschreibung

Das Applet stellt die Beschreibungsformen zweier wertkoninuierlicher Zufallsgrößen  $X$  und  $Y\hspace{-0.1cm}$  vergleichend gegenüber, wobei für die rote Zufallsgröße  $X$  und die blaue Zufallsgröße  $Y$  jeweils folgende Grundformen zur Auswahl stehen:

• Gaußverteilung, Gleichverteilung, Exponentialverteilung, Laplaceverteilung, Rayleighverteilung, Riceverteilung, Dreieckverteilung, Cosinusverteilung.

Die folgenden Angaben beziehen sich auf die Zufallsgrößen  $X$. Graphisch dargestellt werden

• die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_{X}(x)$  (oben) und
• die Verteilungsfunktion  $F_{X}(x)$  (unten).

Zusätzlich werden noch einige integrale Kenngrößen ausgegeben, nämlich

• der lineare Mittelwert  ${\rm E}\big[X \big]\ \ (= m_X)$,
• der quadratische Mittelwert  ${\rm E}\big[X^2 \big] \ \ (= P_X)$,
• die Varianz  $\sigma_X^2 = P_X - m_X^2$,
• die Standardabweichung (oder Streuung)  $\sigma_X$,
• die Charliersche Schiefe  $S_X$,
• die Kurtosis  $K_X$.

Das Applet verwendet das Framework  Plot.ly

Definition und Eigenschaften der dargestellten Beschreibungsgrößen

In diesem Applet betrachten wir ausschließlich (wert–)kontinuierliche Zufallsgrößen, also solche, deren mögliche Zahlenwerte nicht abzählbar sind.

• Der Wertebereich dieser Zufallsgrößen ist somit im allgemeinen der der reellen Zahlen  $(-\infty \le X \le +\infty)$.
• Es ist aber möglich, dass der Wertebereich auf ein Intervall begrenzt ist:  $x_{\rm min} \le X \le +x_{\rm max}$.

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)

Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße  $X$  sind die Wahrscheinlichkeiten, dass  $X$  ganz bestimmte Werte  $x$  annimmt, identisch Null:  ${\rm Pr}(X= x) \equiv 0$.  Deshalb muss zur Beschreibung einer kontinuierlichen Zufallsgröße stets auf die  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  – abgekürzt  $\rm WDF$  – übergegangen werden.

$\text{Definition:}$  Der Wert der  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_{X}(x)$  an der Stelle  $x$  ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Momentanwert der Zufallsgröße  $X$  in einem (unendlich kleinen) Intervall der Breite  $Δx$  um  $x$  liegt, dividiert durch  $Δx$:

$$f_X(x) = \lim_{ {\rm \Delta} x \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0} \frac{ {\rm Pr} \big [x - {\rm \Delta} x/2 \le X \le x +{\rm \Delta} x/2 \big ] }{ {\rm \Delta} x}.$$

Die englische Bezeichnung für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) ist  Probability Density Function  (PDF).

Die WDF weist folgende Eigenschaften auf:

• Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $X$  im Bereich zwischen  $x_{\rm u}$  und  $x_{\rm o} > x_{\rm u}$  liegt, gilt:

$${\rm Pr}(x_{\rm u} \le X \le x_{\rm o}) = \int_{x_{\rm u}}^{x_{\rm o}} f_{X}(x) \ {\rm d}x.$$

• Als wichtige Normierungseigenschaft ergibt sich daraus für die Fläche unter der WDF mit den Grenzübergängen  $x_{\rm u} → \hspace{0.1cm} – \hspace{0.05cm} ∞$  und  $x_{\rm o} → +∞$:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x) \ {\rm d}x = 1.$$

Verteilungsfunktion (VTF)

Die  Verteilungsfunktion  – abgekürzt  $\rm VTF$  – liefert die gleiche Information über die Zufallsgröße  $X$  wie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

$\text{Definition:}$  Die  Verteilungsfunktion  $F_{X}(x)$  entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $X$  kleiner oder gleich einem reellen Zahlenwert  $x$  ist:

$$F_{X}(x) = {\rm Pr}( X \le x).$$

Die englische Bezeichnung für die Verteilungsfunktion (VTF) ist  Cumulative Distribution Function  (CDF).

Die VTF weist folgende Eigenschaften auf:

• Die Verteilungsfunktion ist aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_{X}(x)$  durch Integration berechenbar. Es gilt:

$$F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x}f_X(\xi)\,{\rm d}\xi.$$

• Da die WDF nie negativ ist, steigt  $F_{X}(x)$  zumindest schwach monoton an, und liegt stets zwischen den folgenden Grenzwerten

$$F_{X}(x → \hspace{0.1cm} – \hspace{0.05cm} ∞) = 0, \hspace{0.5cm}F_{X}(x → +∞) = 1.$$

• Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch Differentiation bestimmen:

$$f_{X}(x)=\frac{{\rm d} F_{X}(\xi)}{{\rm d}\xi}\Bigg |_{\hspace{0.1cm}x=\xi}.$$

• Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $X$  im Bereich zwischen  $x_{\rm u}$  und  $x_{\rm o} > x_{\rm u}$  liegt, gilt:

$${\rm Pr}(x_{\rm u} \le X \le x_{\rm o}) = F_{X}(x_{\rm o}) - F_{X}(x_{\rm u}).$$

Erwartungswerte und Momente

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bietet ebenso wie die Verteilungsfunktion sehr weitreichende Informationen über die betrachtete Zufallsgröße. Weniger, aber dafür kompaktere Informationen in Form einzelner Zahlenwerte liefern die so genannten  Erwartungswerte  und  Momente.

$\text{Definition:}$  Der  Erwartungswert  bezüglich einer beliebigen Gewichtungsfunktion  $g(X)$  kann mit der WDF  $f_{\rm X}(x)$  in folgender Weise berechnet werden:

$${\rm E}\big[g (X ) \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\cdot f_{X}(x) \,{\rm d}x.$$

Setzt man in diese Gleichung für  $g(X) = X^k$  ein, so erhält man das  Moment $k$-ter Ordnung:

$$m_k = {\rm E}\big[X^k \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k\cdot f_{X} (x ) \, {\rm d}x.$$

Aus dieser Gleichung erhält man

• mit  $k = 1$  für den  linearen Mittelwert:

$$m_1 = {\rm E}\big[X \big] = \int_{-\infty}^{ \rm +\infty} x\cdot f_{X} (x ) \,{\rm d}x,$$

• mit  $k = 2$  für den  quadratischen Mittelwert:

$$m_2 = {\rm E}\big[X^{\rm 2} \big] = \int_{-\infty}^{ \rm +\infty} x^{ 2}\cdot f_{ X} (x) \,{\rm d}x.$$

In Zusammenhang mit Signalen sind auch folgende Bezeichnungen üblich:

• $m_1$  gibt den  Gleichanteil  an;    (bezüglich der Zufallsgröße  $X$  schreiben wir im Folgenden auch  $m_X$).
• $m_2$  entspricht der  (auf den Einheitswiderstand  $1 \ Ω$  bezogenen) Signalleistung  $P_X$.

Bezeichnet  $X$  beispielsweise eine Spannung, so hat nach diesen Gleichungen  $m_X$  die Einheit  ${\rm V}$  und die Leistung  $P_2$  die Einheit  ${\rm V}^2.$ Will man die Leistung in „Watt”  $\rm (W)$ angeben, so muss  $P_2$  noch durch den Widerstandswert  $R$  dividiert werden.

Zentralmomente

Besondere Bedeutung haben in der Statistik allgemein die so genannten  Zentralmomente, von denen viele Kenngrößen abgeleitet werden,

$\text{Definition:}$  Die  Zentralmomente  sind im Gegensatz zu den herkömmlichen Momenten jeweils auf den Mittelwert  $m_1$  bezogen. Für diese gilt mit  $k = 1, \ 2,$ ...:

$$\mu_k = {\rm E}\big[(X-m_{\rm 1})^k\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-m_{\rm 1})^k\cdot f_x(x) \,\rm d \it x.$$

• Bei mittelwertfreien Zufallsgrößen stimmen die zentrierten Momente  $\mu_k$  mit den nichtzentrierten Momente  $m_k$  überein.

• Das Zentralmoment erster Ordnung ist definitionsgemäß gleich  $\mu_1 = 0$.

• Die nichtzentrierten Momente  $m_k$  und die Zentralmomente  $\mu_k$  können direkt ineinander umgerechnet werden.  Mit  $m_0 = 1$  und  $\mu_0 = 1$  gilt dabei:

$$\mu_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot m_\kappa \cdot (-m_1)^{k-\kappa},$$

$$m_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot \mu_\kappa \cdot {m_1}^{k-\kappa}.$$

Einige häufig benutzte Zentralmomente

Aus der letzten Definition können folgende statistische Kenngrößen abgeleitet werden:

$\text{Definition:}$  Die  Varianz  der betrachteten Zufallsgröße  $X$  ist das Zentralmoment zweiter Ordnung:

$$\mu_2 = {\rm E}\big[(X-m_{\rm 1})^2\big] = \sigma_X^2.$$

• Die Varianz  $σ_X^2$  entspricht physikalisch der „Wechselleistung” und die  Streung  $σ_X$  (oder auch  Standardabweichung) gibt den „Effektivwert” an.
• Aus dem linearen und dem quadratischen Mittelwert ist die Varianz nach dem  Satz von Steiner  in folgender Weise berechenbar:  $\sigma_X^{2} = {\rm E}\big[X^2 \big] - {\rm E}^2\big[X \big].$

$\text{Definition:}$  Die  Charliersche Schiefe  $S_X$  der betrachteten Zufallsgröße  $X$  bezeichnet das auf $σ_X^3$ bezogene dritte Zentralmoment.

• Bei symmetrischer Dichtefunktion ist die Kenngröße  $S_X$  sets Null.
• Je größer  $S_X = \mu_3/σ_X^3$  ist, um so unsymmetrischer verläuft die WDF um den Mittelwert  $m_X$.
• Beispielsweise ergibt sich für die Exponentialverteilung die Schiefe  $S_X =2$, und zwar unabhängig vom Verteilungsparameter  $λ$.

$\text{Definition:}$  Als  Kurtosis  der betrachteten Zufallsgröße  $X$  bezeichnet man den Quotienten  $K_X = \mu_4/σ_X^4$    $(\mu_4:$  Zentralmoment vierter Ordnung$)$.

• Bei einer gaußverteilten Zufallsgröße ergibt sich hierfür immer der Wert  $K_X = 3$.
• Anhand dieser Kenngröße kann man beispielsweise überprüfen, ob eine vorliegende Zufallsgröße tatsächlich gaußisch ist oder zumindest durch eine Gaußverteilung approximiert werden kann.

Zusammenstellung einiger wertkontinuierlicher Zufallsgrößen

Das Applet berücksichtigt folgende Verteilungen: 

Gaußverteilung, Gleichverteilung, Exponentialverteilung, Laplaceverteilung, Rayleighverteilung, Riceverteilung, Dreieckverteilung, Cosinusverteilung.

Einige von diesen sollen hier detailliert beschrieben werden.

Gaußverteilte Zufallsgrößen

Gaußsche Zufallsgröße:  WDF und VTF

(1)    Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   $($achsensymmetrisch um  $m_X)$

$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_X}\cdot {\rm e}^{-(X-m_X)^2 /(2\sigma_X^2) }.$$

WDF–Parameter: 

• $m_X$  (Mittelwert bzw. Gleichanteil),
• $σ_X$  (Streuung bzw. Effektivwert).

(2)    Verteilungsfunktion   $($punktsymmetrisch um  $m_X)$

$$F_X(x)= \phi(\frac{\it x-m_X}{\sigma_X})\hspace{0.5cm}\rm mit\hspace{0.5cm}\rm \phi (\it x\rm ) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\it \pi}}\int_{-\rm\infty}^{\it x} \rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,\, d \it u.$$

$ϕ(x)$:   Gaußsches Fehlerintegral (nicht analytisch berechenbar, muss aus Tabellen entnommen werden).

(3)    Zentralmomente

$$\mu_{k}=(k- 1)\cdot (k- 3) \ \cdots \ 3\cdot 1\cdot\sigma_X^k\hspace{0.2cm}\rm (falls\hspace{0.2cm}\it k\hspace{0.2cm}\rm gerade).$$

• Charliersche Schiefe  $S_X = 0$,  da  $\mu_3 = 0$  $($WDF ist symmetrisch um  $m_X)$.
• Kurtosis  $K_X = 3$,  da  $\mu_4 = 3 \cdot \sigma_X^2$  ⇒   $K_X = 3$ ergibt sich nur für die Gauß–WDF.

(4)    Weitere Bemerkungen

• Die Namensgebung geht auf den bedeutenden Mathematiker, Physiker und Astronomen Carl Friedrich Gauß zurück.
• Ist  $m_X = 0$  und  $σ_X = 1$, so spricht man oft auch von der  Normalverteilung.

• Die Streuung kann aus der glockenförmigen WDF $f_{X}(x)$ auch grafisch ermittelt werden  (als Abstand von Maximalwert und Wendepunkt).
• Zufallsgrößen mit Gaußscher WDF sind wirklichkeitsnahe Modelle für viele physikalische Größen und auch für die Nachrichtentechnik von großer Bedeutung.
• Die Summe vieler kleiner und voneinander unabhängiger Komponenten führt stets zur Gauß–WDF   ⇒   Zentraler Grenzwertsatz der Statistik   ⇒   Grundlage für Rauschprozesse.
• Legt man ein gaußverteiltes Signal zur spektralen Formung an ein lineares Filter, so ist das Ausgangssignal ebenfalls gaußverteilt.

Signal und WDF eines Gaußschen Rauschsignals noch anpassen

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt einen Ausschnitt eines stochastischen Rauschsignals  $x(t)$, dessen Momentanwert als eine kontinuierliche Zufallsgröße  $X$  aufgefasst werden kann. Aus der rechts dargestellten WDF erkennt man:

• Es liegt eine Gaußsche Zufallsgröße vor.
• Momentanwerte um den Mittelwert  $m_X$  treten am häufigsten auf.
• Wenn zwischen den Abtastwerten  $x_ν$  keine statistischen Bindungen bestehen, bezeichnet man ein solches Signal auch als „Weißes Rauschen”.

Gleichverteilte Zufallsgrößen

Gleichverteilung:  WDF und VTF

(1)    Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

• Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)  $f_{X}(x)$  ist im Bereich von  $x_{\rm min}$  bis  $x_{\rm max}$  konstant gleich  $1/(x_{\rm max} - x_{\rm min})$  und außerhalb Null.
• An den Bereichsgrenzen ist für  $f_{X}(x)$  jeweils nur der halbe Wert  (Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert)  zu setzen.

(2)    Verteilungsfunktion

• Die Verteilungsfunktion (VTF) steigt im Bereich von  $x_{\rm min}$  bis  $x_{\rm max}$  linear von Null auf  $1$  linear an.

(3)    Momente und Zentralmomente

• Mittelwert und Streuung haben bei der Gleichverteilung die folgenden Werte:

$$m_X = \frac{\it x_ {\rm max} \rm + \it x_{\rm min}}{2},\hspace{0.5cm} \sigma_X^2 = \frac{(\it x_{\rm max} - \it x_{\rm min}\rm )^2}{12}.$$

• Bei symmetrischer WDF   ⇒   $x_{\rm min} = -x_{\rm max}$  ist der Mittelwert  $m_X = 0$  und die Varianz  $σ_X^2 = x_{\rm max}^2/3.$
• Aufgrund der Symmetrie um den Mittelwert  $m_X$  ist die Charliersche Schiefe  $S_X = 0$.
• Die Kurtosis ist mit   $K_X = 1.8$  deutlich kleiner als bei Gauß, weil die WDF–Ausläufer fehlen.

(4)    Weitere Bemerkungen

• Für die Modellierung übertragungstechnischer Systeme sind gleichverteilte Zufallsgrößen die Ausnahme. Ein Beispiel für eine tatsächlich (nahezu) gleichverteilte Zufallsgröße ist die Phase bei kreissymmetrischen Störungen, wie sie beispielsweise bei  Quadratur–Amplitudenmodulationsverfahren  (QAM) auftreten. (QAM) auftreten.

• Die Bedeutung gleichverteilter Zufallsgrößen für die Informations– und Kommunikationstechnik liegt eher darin, dass diese WDF–Form aus Sicht der Informationstheorie unter der Nebenbedingung „Spitzenwertbegrenzung” ein Optimum bezüglich der differentiellen Entropie darstellt.

• In der Bildverarbeitung & Bildcodierung wird häufig mit der Gleichverteilung anstelle der tatsächlichen, meist sehr viel komplizierteren Verteilung des Originalbildes gerechnet, da der Unterschied des Informationsgehaltes zwischen einem natürlichen Bild und dem auf der Gleichverteilung basierenden Modell relativ gering ist.

• Bei der Simulation nachrichtentechnischer Systeme verwendet man häufig auf der Gleichverteilung basierende „Pseudo–Zufallsgeneratoren” (die relativ einfach zu realisieren sind), woraus sich andere Verteilungen wie (Gaußverteilung, Exponentialverteilung, etc.) leicht ableiten lassen.

Exponentialverteilte Zufallsgrößen

(1)    Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Exponentialverteilte Zufallsgröße:  WDF und VTF Grafik anpassen

Eine exponentialverteilte Zufallsgröße  $X$  kann nur nicht–negative Werte annehmen. Für  $x>0$  hat die WDF den folgenden Verlauf hat:

$$f_X(x)=\it \lambda_X\cdot\rm e^{\it -\lambda_X \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} x}.$$

• Je größer der Verteilungsparameter  $λ_X$  ist, um so steiler erfolgt der Abfall.
• Definitionsgemäß gilt  $f_{X}(0) = λ_X/2$, also der Mittelwert aus linksseitigem Grenzwert  $(0)$  und rechtsseitigem Grenzwert  $(\lambda_X)$.

(2)    Verteilungsfunktion

Durch Integration über die WDF erhält man für  $x > 0$:

$$F_{X}(x)=1-\rm e^{\it -\lambda_X\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} x}.$$

(3)    Momente und Zentralmomente

• Die  Momente  der (einseitigen) Exponentialverteilung sind allgemein gleich:

$$m_k = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f_{X}(x) \,\,{\rm d} x = \frac{k!}{\lambda_X^k}.$$

• Daraus und aus dem Satz von Steiner ergibt sich für den Mittelwert und die Streuung:

$$m_X = m_1=\frac{1}{\lambda_X},\hspace{0.6cm}\sigma_X^2={m_2-m_1^2}={\frac{2}{\lambda_X^2}-\frac{1}{\lambda_X^2}}=\frac{1}{\lambda_X^2}.$$

• Die WDF ist hier extrem unsymmetrisch. Für die Charliersche Schiefe ergibt sich  $S_X = 2$.
• Die Kurtosis ist mit   $K_X = 9$  deutlich größer als bei Gauß, weil die WDF–Ausläufer sehr viel weiter reichen.

(4)    Weitere Bemerkungen

• Die Exponentialverteilung hat große Bedeutung für Zuverlässigkeitsuntersuchungen; in diesem Zusammenhang ist auch der Begriff „Lebensdauerverteilung” üblich.
• Bei diesen Anwendungen ist die Zufallsgröße oft die Zeit  $t$, die bis zum Ausfall einer Komponente vergeht.
• Desweiteren ist anzumerken, dass die Exponentialverteilung eng mit der Laplaceverteilung in Zusammenhang steht.

Laplaceverteilte Zufallsgrößen

Laplaceverteilte Zufallsgröße:  WDF und VTF Grafik anpassen

(1)    Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine „zweiseitige Exponentialverteilung”:

$$f_{X}(x)=\frac{\lambda_X} {2}\cdot{\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert}.$$

• Der Maximalwert ist hier  $\lambda_X/2$.
• Die Tangente bei  $x=0$ schneidet die Abszisse wie bei der Exponentialverteilung bei  $1/\lambda_X$.

(2)    Verteilungsfunktion

$$F_{X}(x) = {\rm Pr}\big [X \le x \big ] = \int_{-\infty}^{x} f_{X}(\xi) \,\,{\rm d}\xi = 0.5 + 0.5 \cdot {\rm sign}(x) \cdot \big [ 1 - {\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert}\big ] \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} F_{X}(-\infty) = 0, \hspace{0.2cm}F_{X}(0) = 0.5, \hspace{0.2cm} F_{X}(+\infty) = 1.$$

(3)    Momente und Zentralmomente

• Für ungeradzahliges  $k$  ergibt sich bei der Laplaceverteilung aufgrund der Symmetrie stets  $m_k= 0$. Unter Anderem:  Linearer Mittelwert  $m_X =m_1 = 0$.

• Für geradzahliges  $k$  stimmen die Momente von Laplaceverteilung und Exponentialverteilung überein:  $m_k = {k!}/{\lambda^k}$

• Für die Varianz  $(=$ Zentralmoment zweiter Ordnung $=$ Moment zweiter Ordnung$)$  gilt:  $\sigma_X^2 = {2}/{\lambda_X^2}$   ⇒   doppelt so groß wie bei der Exponentialverteilung.

• Für die Charliersche Schiefe ergibt sich hier aufgrund der symmetrischen WDF   $S_X = 0$.

• Die Kurtosis ist mit  $K_X = 6$  deutlich größer als bei Gauß, aber kleiner wie als der Exponentialverteilung.

(4)    Weitere Bemerkungen

• Die Momentanwerte von Sprach– und Musiksignalen sind mit guter Näherung laplaceverteilt.
  Siehe Lernvideo Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, Teil 2.
• Durch eine zusätzliche Diracfunktion bei  $x=0$  lassen sich auch Sprachpausen modellieren.

Versuchsdurchführung

• Wählen Sie zunächst die Nummer (1, ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
• Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir  $\rho$  anstelle von  $\rho_{XY}$.
• Für die „1D-WDF” gilt:  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.

Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:

• Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
• Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

(1)  Machen Sie sich anhand der Voreinstellung  $(\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5, \ \rho = 0.7)$  mit dem Programm vertraut. Interpretieren Sie die Grafiken für  $\rm WDF$  und  $\rm VTF$.

•  $\rm WDF$  ist ein Bergrücken mit dem Maximum bei  $x = 0, \ y = 0$. Der Bergkamm ist leicht verdreht gegenüber der  $x$–Achse.
•  $\rm VTF$  ergibt sich aus  $\rm WDF$  durch fortlaufende Integration in beide Richtungen. Das Maximum $($nahezu  $1)$  tritt bei  $x=3, \ y=3$  auf.

(2)  Nun lautet die Einstellung  $\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0$. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(0,\ 0)$  und  $F_{XY}(0,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Das WDF–Maximum ist  $f_{XY}(0,\ 0) = 1/(2\pi)= 0.1592$, wegen  $\sigma_X= \sigma_Y = 1, \ \rho = 0$. Die Höhenlinien sind Kreise.
•  Für den VTF-Wert gilt:  $F_{XY}(0,\ 0) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 0)] = 0.25$. Geringfügige Abweichung wegen numerischer Integration.

(3)  Es gelten weiter die Einstellungen von (2). Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(0,\ 1)$  und  $F_{XY}(0,\ 1)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Es gilt  $f_{XY}(0,\ 1) = f_{X}(0) \cdot f_{Y}(1) = [ \sqrt{1/(2\pi)}] \cdot [\sqrt{1/(2\pi)} \cdot {\rm e}^{-0.5}] = 1/(2\pi) \cdot {\rm e}^{-0.5} = 0.0965$.
•  Das Programm liefert  $F_{XY}(0,\ 1) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 1)] = 0.4187$, also einen größeren Wert als in (2), da weiter integriert wird.

(4)  Die Einstellungen bleiben erhalten. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(1,\ 0)$  und  $F_{XY}(1,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Aufgrund der Rotationssysmmetrie gleiche Ergebnisse wie in (3).

(5)  Stimmt die Aussage: „Elliptische Höhenlinien gibt es nur für  $\rho \ne 0$”. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  für  $\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$  und  $\rho = 0$.

•  Nein! Auch für  $\ \rho = 0$  sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls  $\sigma_X \ne \sigma_Y$.
•  Für $\sigma_X \gg \sigma_Y$  hat die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  die Form eines langgestreckten Bergkamms parallel zur  $x$–Achse, für $\sigma_X \ll \sigma_Y$  parallel zur  $y$–Achse.
•  Für $\sigma_X \gg \sigma_Y$  ist der Anstieg der  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  in Richtung der  $y$–Achse deutlich steiler als in Richtung der  $x$–Achse.

(6)  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$  den Korrelationskoeffizienten  $\rho$. Wie groß ist der Neigungswinkel  $\alpha$  der Ellipsen–Hauptachse?

•  Für  $\rho > 0$  ist  $\alpha = 45^\circ$  und für  $\rho < 0$  ist  $\alpha = -45^\circ$. Für  $\rho = 0$  sind die Höhenlinien kreisfömig und somit gibt es auch keine Ellipsen–Hauptachse.

(7)  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$  den Korrelationskoeffizienten  $\rho > 0$. Wie groß ist der Neigungswinkel  $\theta$  der Korrelationsgeraden  $K(x)$?

•  Für  $\sigma_X=\sigma_Y$  ist  $\theta={\rm arctan}\ (\rho)$. Die Steigung nimmt mit wachsendem  $\rho > 0$  zu. In allen Fällen gilt  $\theta < \alpha = 45^\circ$. Für  $\rho = 0.7$  ergibt sich  $\theta = 35^\circ$.

(8)  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$  die Parameter  $\sigma_Y$  und  $\rho \ (>0)$. Welche Aussagen gelten für die Winkel  $\alpha$  und  $\theta$?

•  Für  $\sigma_Y<\sigma_X$  ist  $\alpha < 45^\circ$  und für  $\sigma_Y>\sigma_X$  dagegen  $\alpha > 45^\circ$.
•  Bei allen Einstellungen gilt:  Die Korrelationsgerade liegt unter der Ellipsen–Hauptachse.

(9)  Gehen Sie von  $\sigma_X= 1, \ \sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$  aus und variieren Sie  $\rho$. Wie könnte man die Korrelationsgerade aus den Höhenlinien konstruieren?

•  Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien an den Punkten, an denen die Tangente zu der Höhenlinie senkrecht verläuft.

(10)  Nun gelte  $\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0.95$. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$. Welche Aussagen würden für den Grenzfall  $\rho \to 1$  zutreffen?

•  Die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  hat nur Anteile in der Nähe der Ellipsen–Hauptachse. Die Korrelationsgerade liegt nur knapp darunter:  $\alpha = 45^\circ, \ \theta = 43.5^\circ$.
•  Im Grenzfall  $\rho \to 1$  wäre  $\theta = \alpha = 45^\circ$. Außerhalb der Korrelationsgeraden hätte die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  keine Anteile. Das heißt:
•  Längs der Korrelationsgeraden ergäbe sich eine Diracwand  ⇒   Alle Werte sind unendlich groß, trotzdem um den Mittelwert gaußisch gewichtet.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Parametereingabe per Slider:  $\sigma_X$,  $\sigma_Y$ und  $\rho$

    (B)     Auswahl:  Darstellung von WDF oder VTF

    (C)     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

    (D)     Höhenlinien darstellen anstelle von „1D-WDF”

    (E)     Darstellungsbereich für „2D-WDF”

    (F)     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

    (G)     Darstellungsbereich für „1D-WDF” bzw. „Höhenlinien”

    (H)     Manipulation der 2D-Grafik („1D-WDF”)

    ( I )     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl

    (J)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung

    ( L)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung







Werte–Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2003 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2019 wurde das Programm von Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: Tasnád Kernetzky).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  Studienzuschüsse  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

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