Aufgaben:Aufgabe 2.6Z: Betrag und Phase: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 16. April 2021, 12:09 Uhr
Es soll der Zusammenhang aufgezeigt werden zwischen
- den reellen Fourierkoeffizienten $A_n$ und $B_n$,
- den komplexen Koeffizienten $D_n$, sowie
- den Betrags– bzw. Phasenkoeffizienten $(C_n$, $\varphi_n)$.
Dazu betrachten wir das periodische Signal
- $$x(t)=1{\rm V+2V}\cdot\cos(\omega_0 t) +{\rm 2V}\cdot\cos(2\omega_0 t)- \ {\rm 1V}\cdot\sin(2\omega_0 t)-{\rm 1V}\cdot\sin(3\omega_0 t).$$
Dieses Signal ist in der Grafik im Bereich von $–2T_0$ bis $+2T_0$ dargestellt.
Hints:
- This exercise belongs to the chapter Fourier Series.
- You can find a compact summary of the topic in the two learning videos
- Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten ⇒ "To calculate the Fourier coefficients",
- Eigenschaften der Fourierreihendarstellung ⇒ "Properties of the Fourier series representation".
Fragebogen
Musterlösung
(1) Der Gleichsignalkoeffizient beträgt $A_0 = 1\,{\rm V}$.
- Gleichzeitig gilt $C_0 = D_0 = A_0 \hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm} C_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 1\,{\rm V}}, \varphi_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$.
(2) Richtig sind die Antworten 1, 3, 4 und 6:
- Es gibt keine Anteile mit $\sin(\omega_0t)$ und $\cos(3\omega_0t)$.
- Daraus folgt direkt $B_1 = A_3 = 0$.
- Alle anderen hier aufgeführten Koeffizienten sind ungleich Null.
(3) Allgemein gilt:
- $$\varphi_n=\arctan\left({B_n}/{A_n}\right),\hspace{0.5cm}C_n=\sqrt{A_n^2+B_n^2},\hspace{0.5cm}D_n={1}/{2} \cdot (A_n-{\rm j}\cdot B_n).$$
- Wegen $B_1 = 0$ erhält man $\varphi_1 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}, \ C_1 = A_1 \hspace{0.1cm}\underline{= 2 \,{\rm V}}$ und $D_1 = A_1/2 \hspace{0.1cm}\underline{= 1 \,{\rm V}}$.
(4) Mit $A_2 = 2\,{\rm V}$ und $B_2 = -1\,{\rm V}$ erhält man:
- $$\varphi_2=\arctan(-0.5)\hspace{0.15cm}\underline{=-26.56^{\circ}},\hspace{0.5cm}C_2=\sqrt{A_2^2+B_2^2}\hspace{0.15cm}\underline{=2.236 \; \rm V},$$
- $$D_2={1}/{2} \cdot (A_2-{\rm j}\cdot B_2)=1\;\rm V+{\rm j}\cdot 0.5\, {\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_2]\hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \,{\rm V}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_2]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5\, {\rm V}} .$$
(5) Es ist $\varphi_3 \hspace{0.15cm}\underline{=\hspace{0.1cm}-90^{\circ}}$ und $C_3 = |B_3| \hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \,{\rm V}}$.
(6) Es gilt $D_3 = -{\rm j} · B_3/2 ={\rm j}· 0.5 \,{\rm V}$ und $D_\text{–3} = D_3^{\star} ={\rm j}· B_3/2 = {- {\rm j} · 0.5 \,{\rm V}}$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \text{Re}[D_{-3}]\hspace{0.15cm}\underline{=0}, \hspace{0.5cm}\text{Im}[D_{-3}]\hspace{0.15cm}\underline{=\hspace{0.1cm}- 0.5 \,{\rm V}}.$$