Aufgaben:Aufgabe 1.6: Rechteckförmige Impulsantwort: Unterschied zwischen den Versionen

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'''(1)'''  Die Bedingung  $H(f = 0) = 1$  bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich  $1$  ist.   Daraus folgt:
 
:$$k = {1}/{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$
 
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*Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$.  
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*Das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; ergibt sich als das Faltungsprodukt von&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $h(t)$.  
*Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t = 0$:
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*Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei&nbsp; $t = 0$:
 
:$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot  \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau =
 
:$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot  \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau =
 
  1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot  \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
 
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'''(3)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
 
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*Die Faltung von zwei unterschiedlich breiten Rechtecken führt zu einem trapezförmigen Ausgangssignal entsprechend der Skizze.  
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*Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke führt zum trapezförmigen Ausgangssignal gemäß der Skizze.  
 
*Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von &nbsp;$-0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; bis &nbsp;$+0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; auf und beträgt
 
*Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von &nbsp;$-0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; bis &nbsp;$+0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; auf und beträgt
 
:$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot  \frac{1}{2\,{\rm
 
:$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot  \frac{1}{2\,{\rm
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'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und  4</u>:
 
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und  4</u>:
*Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: &nbsp; $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$ Diese beiden Anteile sind in der Skizze dargestellt.  
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*Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: &nbsp; $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$&nbsp; Beide Anteile sind in der Skizze dargestellt.  
*Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. In der unteren Skizze sind  dargestellt:
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*Durch Integration über&nbsp; $h_{\rm HP}(t)$&nbsp; und Multiplikation mit&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; kommt man zum gesuchten Signal&nbsp; $z(t)$. <br>In der unteren Skizze sind  dargestellt:
:*das Integral über &nbsp;$δ(t)$&nbsp; blau,  
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:#das Integral über &nbsp;$δ(t)$&nbsp; blau,  
:*die Funktion &nbsp;$-σ(t)$&nbsp; rot, und  
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:#die Funktion &nbsp;$-σ(t)$&nbsp; rot,&nbsp; und  
:*das gesamte Signal &nbsp;$z(t)$&nbsp; grün.
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:#das gesamte Signal &nbsp;$z(t)$&nbsp; grün.
*$z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t = 0$: &nbsp; Der Signalwert bei $t = 0$  liegt genau in der Mitte zwischen dem links&ndash; und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit 0.  
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*$z(t)$&nbsp; ist eine ungerade Funktion in&nbsp; $t$&nbsp; mit einer Sprungstelle bei&nbsp; $t = 0$: &nbsp; Der Signalwert bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; liegt genau in der Mitte zwischen dem links&ndash; und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit Null.  
*Für $t > 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ gilt ebenfalls $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.
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*Für&nbsp; $t > 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; gilt ebenfalls&nbsp; $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.
 
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[[Datei: P_ID861__LZI_A_1_6_e.png | Kausale HP–Sprungantwort | rechts|frame]]  
 
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'''(5)'''&nbsp; Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, die bei $t = 0$  auf $1$ springt und bis zum Zeitpunkt $t = 2 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf den Endwert Null abklingt. Zum Zeitpunkt $t = 1\ \rm  ms$ ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) = 0.5$.
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'''(5)'''&nbsp; Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm HP}(t)$&nbsp; und die Sprungantwort&nbsp; $σ_{\rm HP}(t)$.
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*Diese springt bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; auf&nbsp; $1$&nbsp; und klingt bis zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 2 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; auf den Endwert &bdquo;Null&rdquo; ab.  
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*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 1\ \rm  ms$&nbsp; ergibt sich &nbsp;$σ_{\rm HP}(t) = 0.5$.
  
*Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ zu multiplizieren.  
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*Das Signal&nbsp; $z(t)$&nbsp; ist formgleich mit der Sprungantwort&nbsp; $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; zu multiplizieren.  
*Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ ergibt sich zu $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5}$.  
+
*Der gesuchte Signalwert zur Zeit&nbsp; $t_1 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; ergibt sich also zu&nbsp; $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5 \: {\rm V}}$.  
  
 
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Version vom 23. Oktober 2019, 10:07 Uhr

Rechteckförmige Impulsantwort, akausal und kausal

Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation:

  • Der Frequenzgang  $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$  im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt.
  • Hierbei ist  $h_1(t)$  im Bereich von  $-1\ \rm ms$  bis  $+1\ \rm ms$  konstant gleich  $k$  und außerhalb Null.
  • An den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert.
  • Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit  $Δt = 2 \ \rm ms$.


Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion  $H_2(f)$  lautet:

$$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$

Der Frequenzgang zwischen den Signalen  $x(t)$  und  $z(t)$  hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein:

$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi}f \tau}.$$
  • Für die Teilaufgaben  (1)  bis  (4)  gelte  $τ = 0$   ⇒   $H(f) = H_1(f)$.
  • Mit  $τ = 0$  kann hierfür aber auch geschrieben werden  $(Δt = 2 \ \rm ms)$:
$$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$
  • Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für  $τ ≠ 0$  nicht anwendbar ist, wegen:
$$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$





Hinweise:



Fragebogen

1

Berechnen Sie die Höhe  $k$  der Impulsantwort  $h_1(t)$  unter der Nebenbedingung  $H_1(f = 0) = 1$.

$k \ =\ $

$\ \rm 1/s$

2

Das Eingangssignal  $x(t)$  sei ein um  $t = 0$  symmetrisches Rechteck der Dauer  $T = 2 \ \rm ms$  und der Höhe  $1 \, \rm V$. Es gelte  $τ = 0$ .
Welche Aussagen sind zutreffend?

$y(t)$  ist rechteckförmig.
$y(t)$  ist dreieckförmig.
$y(t)$  ist trapezförmig.
Der Maximalwert von  $y(t)$  beträgt  $ 1\hspace{0.05cm} \rm V$.

3

Welche Aussagen treffen zu, wenn  $x(t)$  die Rechteckbreite  $T = 1 \ \rm ms$  besitzt?

$y(t)$  ist rechteckförmig.
$y(t)$  ist dreieckförmig.
$y(t)$  ist trapezförmig.
Der Maximalwert von  $y(t)$  beträgt  $1\hspace{0.05cm} \rm V$.

4

Es gelte weiter  $τ = 0$. Berechnen Sie das Ausgangssignal  $z(t)$, wenn  $x(t)$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  von Null auf  $1\hspace{0.05cm} \rm V$  springt.
Welche Aussagen treffen zu?

$z(t)$  ist eine gerade Funktion der Zeit.
$z(t)$  weist bei  $t = 0$  eine Sprungstelle auf.
Zum Zeitpunkt  $t = 0$  ist  $z(t) = 0$.
Für  $t > 1 \ \rm ms$  ist  $z(t) = 0$.

5

Welchen Verlauf hat  $z(t)$  als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal  $x(t)$, wenn die Laufzeit  $τ =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$  ist?
Welcher Signalwert tritt bei  $t =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$  auf?

$z(t = 1 \rm \ ms) =\ $

$\ \rm V$


Musterlösung

(1)  Die Bedingung  $H(f = 0) = 1$  bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich  $1$  ist.   Daraus folgt:

$$k = {1}/{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4:

  • Das Ausgangssignal  $y(t)$  ergibt sich als das Faltungsprodukt von  $x(t)$  und  $h(t)$.
  • Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei  $t = 0$:
$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$


Trapezimpuls

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke führt zum trapezförmigen Ausgangssignal gemäß der Skizze.
  • Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von  $-0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$  bis  $+0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$  auf und beträgt
$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$


Akausale HP–Sprungantwort

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:

  • Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet:   $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$  Beide Anteile sind in der Skizze dargestellt.
  • Durch Integration über  $h_{\rm HP}(t)$  und Multiplikation mit  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$  kommt man zum gesuchten Signal  $z(t)$.
    In der unteren Skizze sind dargestellt:
  1. das Integral über  $δ(t)$  blau,
  2. die Funktion  $-σ(t)$  rot,  und
  3. das gesamte Signal  $z(t)$  grün.
  • $z(t)$  ist eine ungerade Funktion in  $t$  mit einer Sprungstelle bei  $t = 0$:   Der Signalwert bei  $t = 0$  liegt genau in der Mitte zwischen dem links– und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit Null.
  • Für  $t > 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$  gilt ebenfalls  $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.


Kausale HP–Sprungantwort

(5)  Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t)$  und die Sprungantwort  $σ_{\rm HP}(t)$.

  • Diese springt bei  $t = 0$  auf  $1$  und klingt bis zum Zeitpunkt  $t = 2 \hspace{0.05cm} \rm ms$  auf den Endwert „Null” ab.
  • Zum Zeitpunkt  $t = 1\ \rm ms$  ergibt sich  $σ_{\rm HP}(t) = 0.5$.
  • Das Signal  $z(t)$  ist formgleich mit der Sprungantwort  $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$  zu multiplizieren.
  • Der gesuchte Signalwert zur Zeit  $t_1 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$  ergibt sich also zu  $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5 \: {\rm V}}$.