Aufgaben:Aufgabe 1.6: Rechteckförmige Impulsantwort: Unterschied zwischen den Versionen
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− | *Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t = 0$: | + | *Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t = 0$: |
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− | *Die Faltung | + | *Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke führt zum trapezförmigen Ausgangssignal gemäß der Skizze. |
*Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von $-0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$ bis $+0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf und beträgt | *Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von $-0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$ bis $+0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf und beträgt | ||
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'''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>: | '''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>: | ||
− | *Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$ | + | *Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$ Beide Anteile sind in der Skizze dargestellt. |
− | *Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. In der unteren Skizze sind dargestellt: | + | *Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. <br>In der unteren Skizze sind dargestellt: |
− | : | + | :#das Integral über $δ(t)$ blau, |
− | : | + | :#die Funktion $-σ(t)$ rot, und |
− | : | + | :#das gesamte Signal $z(t)$ grün. |
− | *$z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t = 0$: Der Signalwert bei $t = 0$ liegt genau in der Mitte zwischen dem links– und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit | + | *$z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t = 0$: Der Signalwert bei $t = 0$ liegt genau in der Mitte zwischen dem links– und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit Null. |
− | *Für $t > 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ gilt ebenfalls $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist. | + | *Für $t > 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ gilt ebenfalls $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist. |
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− | '''(5)''' Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$ | + | '''(5)''' Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$. |
+ | *Diese springt bei $t = 0$ auf $1$ und klingt bis zum Zeitpunkt $t = 2 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf den Endwert „Null” ab. | ||
+ | *Zum Zeitpunkt $t = 1\ \rm ms$ ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) = 0.5$. | ||
− | *Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ zu multiplizieren. | + | *Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ zu multiplizieren. |
− | *Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ ergibt sich zu $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5}$. | + | *Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ ergibt sich also zu $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5 \: {\rm V}}$. |
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Version vom 23. Oktober 2019, 10:07 Uhr
Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation:
- Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt.
- Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von $-1\ \rm ms$ bis $+1\ \rm ms$ konstant gleich $k$ und außerhalb Null.
- An den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert.
- Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt = 2 \ \rm ms$.
Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet:
- $$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$
Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein:
- $$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi}f \tau}.$$
- Für die Teilaufgaben (1) bis (4) gelte $τ = 0$ ⇒ $H(f) = H_1(f)$.
- Mit $τ = 0$ kann hierfür aber auch geschrieben werden $(Δt = 2 \ \rm ms)$:
- $$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$
- Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠ 0$ nicht anwendbar ist, wegen:
- $$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Spalt–Tiefpass.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Bedingung $H(f = 0) = 1$ bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich $1$ ist. Daraus folgt:
- $$k = {1}/{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4:
- Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$.
- Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t = 0$:
- $$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:
- Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke führt zum trapezförmigen Ausgangssignal gemäß der Skizze.
- Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von $-0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$ bis $+0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf und beträgt
- $$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:
- Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$ Beide Anteile sind in der Skizze dargestellt.
- Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$.
In der unteren Skizze sind dargestellt:
- das Integral über $δ(t)$ blau,
- die Funktion $-σ(t)$ rot, und
- das gesamte Signal $z(t)$ grün.
- $z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t = 0$: Der Signalwert bei $t = 0$ liegt genau in der Mitte zwischen dem links– und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit Null.
- Für $t > 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ gilt ebenfalls $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.
(5) Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$.
- Diese springt bei $t = 0$ auf $1$ und klingt bis zum Zeitpunkt $t = 2 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf den Endwert „Null” ab.
- Zum Zeitpunkt $t = 1\ \rm ms$ ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) = 0.5$.
- Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ zu multiplizieren.
- Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ ergibt sich also zu $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5 \: {\rm V}}$.