Aufgaben:Aufgabe 4.7: Kupfer-Doppelader 0.5 mm: Unterschied zwischen den Versionen
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Das Zeitverhalten einer Kupferdoppelader mit Durchmesser $d = 0.5 \ \rm mm$ soll analysiert werden. | Das Zeitverhalten einer Kupferdoppelader mit Durchmesser $d = 0.5 \ \rm mm$ soll analysiert werden. | ||
− | Der Frequenzgang lautet mit der Leitungslänge $l = 1.5 \ \rm km$ und der Bitrate $R = 10 \rm Mbit/s$: | + | *Der Frequenzgang lautet mit der Leitungslänge $l = 1.5 \ \rm km$ und der Bitrate $R = 10 \rm Mbit/s$: |
:$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm a}_0 } \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.01cm}\tau_{\rm P}} | :$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm a}_0 } \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.01cm}\tau_{\rm P}} | ||
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e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}} | e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}} | ||
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− | Verwendet sind folgende Größen, die sich aus dem Dämpfungs– und Phasenmaß ableiten lassen: | + | *Verwendet sind folgende Größen, die sich aus dem Dämpfungs– und Phasenmaß ableiten lassen: |
− | :$${a}_0 = \alpha_0 \cdot l\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\alpha_0 = 0.5066\,\, \frac{\rm Np}{\rm km}\hspace{0.05cm},$$ | + | :$${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\alpha_0 = 0.5066\,\, \frac{\rm Np}{\rm km}\hspace{0.05cm},$$ |
:$$ \tau_{\rm P} = \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\beta_1 = 30.6\,\, | :$$ \tau_{\rm P} = \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\beta_1 = 30.6\,\, | ||
\frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$ | \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$ | ||
− | :$$ {a}_1 = \alpha_1 \cdot l \cdot {{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} | + | :$$ {\rm a}_1 = \alpha_1 \cdot l \cdot {{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} |
\alpha_1 = 0.136\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$ | \alpha_1 = 0.136\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$ | ||
− | :$$ {a}_2 = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} | + | :$$ {\rm a}_2 = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} |
\alpha_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$ | \alpha_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$ {b}_2 = \beta_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} | :$$ {b}_2 = \beta_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} | ||
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− | Die Impulsantwort lässt sich somit in der Form | + | *Die Impulsantwort lässt sich somit in der Form |
:$$h_{\rm K}(t ) = K \cdot \big [ \delta(t - \tau_{\rm P})\star h_{1}(t) \star h_{2}(t) \big ]$$ | :$$h_{\rm K}(t ) = K \cdot \big [ \delta(t - \tau_{\rm P})\star h_{1}(t) \star h_{2}(t) \big ]$$ | ||
− | darstellen, wobei | + | :darstellen, wobei |
− | * die Teilimpulsantwort $h_1(t)$ auf den dritten Term in obiger Gleichung zurückgeht, und | + | :* die Teilimpulsantwort $h_1(t)$ auf den dritten Term in obiger Gleichung $H_{\rm K}(f)$ zurückgeht, und |
− | * $h_2(t)$ die gemeinsame Zeitbereichsdarstellung der beiden letzten Terme angibt. | + | :* $h_2(t)$ die gemeinsame Zeitbereichsdarstellung der beiden letzten Terme angibt. |
− | Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil $h_2(t)$ der Impulsantwort und das Faltungsprodukt $h_1(t) \star h_2(t)$ ⇒ blauer Kurvenverlauf | + | Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil $h_2(t)$ der Impulsantwort und das Faltungsprodukt $h_1(t) \star h_2(t)$ ⇒ blauer Kurvenverlauf. <br>Dabei ist $h_2(t)$ gleich der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln#Impulsantwort_eines_Koaxialkabels|Koaxialkabel–Impulsantwort]] mit der charakteristischen Kabeldämpfung ${\rm a}_\star = {\rm a}_2$. |
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*Die Parameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ wurden aus den $k$–Parametern umgerechnet, wie in [[Aufgaben:4.6_k-Parameter_und_Alpha-Parameter|Aufgabe 4.6]] gezeigt. | *Die Parameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ wurden aus den $k$–Parametern umgerechnet, wie in [[Aufgaben:4.6_k-Parameter_und_Alpha-Parameter|Aufgabe 4.6]] gezeigt. | ||
*Der Phasenmaßparameter $\beta_2$ wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter $\alpha_2$ gesetzt. | *Der Phasenmaßparameter $\beta_2$ wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter $\alpha_2$ gesetzt. | ||
− | *Der Dämpfungsanteil ${a}_2$ und der Phasenanteil ${b}_2$ unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit. | + | *Der Dämpfungsanteil ${\rm a}_2$ und der Phasenanteil ${b}_2$ unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit. |
− | *Auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Diskussion_der_gefundenen_N.C3.A4herungsl.C3.B6sung|Diskussion der gefundenen Näherungslösung]] wird dargelegt, warum diese Maßnahme erforderlich ist. | + | *Auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Diskussion_der_gefundenen_N.C3.A4herungsl.C3.B6sung|Diskussion der gefundenen Näherungslösung]] wird dargelegt, warum diese Maßnahme erforderlich ist. |
*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]] benutzen. | *Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]] benutzen. | ||
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{Berechnen Sie die Phasenlaufzeit $\tau_P$, bezogen auf die Symboldauer $T$. | {Berechnen Sie die Phasenlaufzeit $\tau_P$, bezogen auf die Symboldauer $T$. | ||
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− | $\ | + | $\tau_{\rm P}/T \ = \ $ { 73 3% } |
− | {Wie groß ist die charakteristische Dämpfung $ | + | {Wie groß ist die charakteristische Dämpfung ${\rm a}_\star$ des vergleichbaren Koaxialkabels? |
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− | $ | + | ${\rm a}_\star \ = \ $ { 25.5 } $\ \rm dB$ |
Version vom 24. November 2021, 13:42 Uhr
Das Zeitverhalten einer Kupferdoppelader mit Durchmesser $d = 0.5 \ \rm mm$ soll analysiert werden.
- Der Frequenzgang lautet mit der Leitungslänge $l = 1.5 \ \rm km$ und der Bitrate $R = 10 \rm Mbit/s$:
- $$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm a}_0 } \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.01cm}\tau_{\rm P}} \cdot {\rm e}^{-{\rm a}_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.02cm}2f/R}\cdot {\rm e}^{-{\rm a}_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}} \hspace{0.05cm}.$$
- Verwendet sind folgende Größen, die sich aus dem Dämpfungs– und Phasenmaß ableiten lassen:
- $${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\alpha_0 = 0.5066\,\, \frac{\rm Np}{\rm km}\hspace{0.05cm},$$
- $$ \tau_{\rm P} = \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\beta_1 = 30.6\,\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$
- $$ {\rm a}_1 = \alpha_1 \cdot l \cdot {{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} \alpha_1 = 0.136\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$
- $$ {\rm a}_2 = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} \alpha_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$
- $$ {b}_2 = \beta_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} \beta_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
- Die Impulsantwort lässt sich somit in der Form
- $$h_{\rm K}(t ) = K \cdot \big [ \delta(t - \tau_{\rm P})\star h_{1}(t) \star h_{2}(t) \big ]$$
- darstellen, wobei
- die Teilimpulsantwort $h_1(t)$ auf den dritten Term in obiger Gleichung $H_{\rm K}(f)$ zurückgeht, und
- $h_2(t)$ die gemeinsame Zeitbereichsdarstellung der beiden letzten Terme angibt.
Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil $h_2(t)$ der Impulsantwort und das Faltungsprodukt $h_1(t) \star h_2(t)$ ⇒ blauer Kurvenverlauf.
Dabei ist $h_2(t)$ gleich der Koaxialkabel–Impulsantwort mit der charakteristischen Kabeldämpfung ${\rm a}_\star = {\rm a}_2$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Eigenschaften von Kupfer–Doppeladern.
- Die Parameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ wurden aus den $k$–Parametern umgerechnet, wie in Aufgabe 4.6 gezeigt.
- Der Phasenmaßparameter $\beta_2$ wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter $\alpha_2$ gesetzt.
- Der Dämpfungsanteil ${\rm a}_2$ und der Phasenanteil ${b}_2$ unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit.
- Auf der Seite Diskussion der gefundenen Näherungslösung wird dargelegt, warum diese Maßnahme erforderlich ist.
- Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet Zeitverhalten von Kupferkabeln benutzen.
Fragebogen
Musterlösung
- $$K = {\rm e}^{-{a}_0 }= {\rm e}^{-0.76} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.468} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Für die Phasenlaufzeit gilt mit der angegebenen Gleichung:
- $$\tau_{\rm P} = \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi}= \frac{30.6 \cdot 1.5}{2 \pi}\, {\rm µ s}\approx 7.31\, {\rm µ s}\hspace{0.05cm},$$
und auf die Symboldauer $T = 0.1 \ µ \rm s$ bezogen:
- $${\tau_{\rm P}}/{T} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 73}\hspace{0.05cm}.$$
(3) Die Impulsantwort eines Koaxialkabels ist näherungsweise gleich $h_2(t)$, wenn das Kabel folgende charakteristische Kabeldämpfung aufweist:
- $${a}_\star ={a}_2 = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}} = 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot 1.5\,{\rm km} \cdot \sqrt{\frac{10\,{\rm MHz}}{2}} = 2.93\,{\rm Np} = 2.93\,{\rm Np} \cdot8.686\,\frac {\rm dB}{\rm Np} \hspace{0.15cm}\underline{ =25.5\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Richig sind die Aussagen 1 und 2:
- Die Fouriertransformierte $H_1(f) = {\rm e}^{-A \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} |f|}$ mit $A = 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {a}_1/R$ ist reell und gerade, so dass $h_1(t)$ ebenfalls reell und gerade ist.
- Aufgrund der Tiefpass–Charakteristik von $H_1(f)$ liegt das Maximum bei $t = 0$.
- Die letzte Aussage ist dagegen falsch: Das Integral über $h_1(t)$ im gesamten Zeitbereich $ \pm \infty$ ist gleich $H_1(f=0) = 1$.
(5) Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 1:
- Die Teilimpulsantwort $h_1(t ) \star h_2(t )$ berücksichtigt den Einfluss von $\alpha_1$, $\alpha_2$ und $\beta_2$ und damit alle Terme, die zu Verzerrungen führen.
- Dagegen führt $\alpha_0$ nur zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung und $\beta_1$ lediglich zu einer für alle Frequenzen konstanten Laufzeit.
- Der Lösungsvorschlag 2 trifft dagegen nicht zu: Zunächst (bei kleinen $t$–Werten) ist $h_1(t ) \star h_2(t )$ kleiner als $h_2(t )$. Bei großen $t$–Werten liegt dann die blaue Kurve oberhalb der roten.
- Das bedeutet: $\alpha_1$ und damit auch $h_1(t )$ bewirken tatsächlich zusätzliche Verzerrungen, auch wenn diese nicht sehr ins Gewicht fallen.