Applets:Frequenzgang und Impulsantwort

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Programmbeschreibung

Dargestellt werden reelle und symmetrische Tiefpässe $H(f)$ und die dazugehörigen Impulsantworten $h(t)$, nämlich

• Gauß–Tiefpass (englisch: Gaussian low–pass),
• Rechteck–Tiefpass (englisch: Rectangular low–pass),
• Dreieck–Tiefpass (englisch: Triangular low–pass),
• Trapez–Tiefpass (englisch: Trapezoidal low–pass),
• Cosinus–Rolloff–Tiefpass (englisch: Cosine-rolloff low–pass),
• Cosinus-Quadrat-Tiefpass (englisch: Cosine-rolloff -squared Low–pass).

Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.

Die englische Beschreibung finden Sie unter Englische Version: Frequency & Pulse response (ist derzeit noch nicht realisiert).

Weiter ist zu beachten:

• Die Funktionen $H(f)$ bzw. $h(t)$ werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
• Die orangenfarbenen („roten”) Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
• Die Abszissen $t$ (Zeit) und $f$ (Frequenz) sowie die Ordinaten $H(f)$ und $h(t)$ sind jeweils normiert.

Theoretischer Hintergrund

Frequenzgang $H(f)$ und Impulsantwort $h(t)$

• Der Frequenzgang (oder auch die Übertragungsfunktion) eines linearen zeitinvarianten Übertragungssystems $H(f)$ gibt das Verhältnis zwischen dem Ausgangsspektrum $Y(f)$ und dem dem Eingangsspektrum $X(f)$ an:

$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$

• Ist das Übertragungsverhalten bei tiefen Frequenzen besser als bei höheren, so spricht man von einem Tiefpass (englisch: Low-pass).
• Die Eigenschaften von $H(f)$ werden im Zeitbereich durch die Impulsantwort $h(t)$ ausgedrückt. Entsprechend dem zweiten Fourierintegral gilt:

$$h(t)={\rm IFT} [H(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}H(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm} {\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm Inverse \ Fouriertransformation.$$

• Die Gegenrichtung wird durch das erste Fourierintegral beschrieben:

$$H(f)={\rm FT} [h(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm} \rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$

• In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:

$$h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}H(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ H(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t .$$

• Bei einem Vierpol   ⇒   $X(f)$ und $Y(f)$ haben gleiche Einheiten]   ist $Y(f)$ dimensionslos. Die Einheit der Impulsantwort ist $\rm 1/s$. Es gilt zwar $\rm 1/s = 1 \ Hz$, aber die Einheit „Hertz” ist in diesem Zusammenhang unüblich.
• Der Zusammenhang zwischen diesem Modul „Frequenzgang & Impulsantwort” und dem ähnlich aufgebauten Applet Impulse und Spektren basiert auf dem Vertauschungssatz.
• Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ normiert und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ die Impulsantwortwerte $h(t)$ müssen noch durch die Normierungszeit $T$ dividiert werden.

$\text{Beispiel:}$  Stellt man einen Rechteck–Tiefpass mit Höhe $K_1 = 1$ und äquivalenter Bandbreite $\Delta f_1 = 1$ ein, so ist der Frequenzgang $H_1(f)$ im Bereich $-1 < f < 1$ gleich $1$ und außerhalb dieses Bereichs gleich $0$. Die Impulsantwort $h_1(t)$ verläuft si–förmig mit $h_1(t= 0) = 1$ und der ersten Nullstelle bei $t=1$.

Mit dieser Einstellung soll nun ein Rechteck–Tiefpass mit $K = 1.5$ und $\Delta f = 2 \ \rm kHz$ nachgebildet werden, wobei wir die Normierungszeit $T= 1 \ \rm ms$. Dann liegt die erste Nullstelle bei $t=0.5\ \rm ms$ und das Impulsantwortmaximum ist dann $h(t= 0) = 3 \cdot 10^3 \ \rm 1/s$.

Gauß–Tiefpass   $\Rightarrow$   Gaussian Low–pass

• Der Gauß–Tiefpass lautet mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Bandbreite $\Delta f$:

$$H(f)=K\cdot {\rm e}^{-\pi\cdot(f/\Delta f)^2}.$$

• Die äquivalente Bandbreite $\Delta f$ ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
• Der Wert bei $f = \Delta f/2$ ist um den Faktor $0.456$ kleiner als der Wert bei $f=0$.
• Für die Impulsantwort erhält man gemäß der Fourierrücktransformation:

$$h(t)=K\cdot \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(t\cdot \Delta f)^2} .$$

• Je kleiner $\Delta f$ ist, um so breiter und niedriger ist die Impulsantwort   ⇒   Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer.
• Sowohl $H(f)$ als auch $h(t)$ sind zu keinem $f$- bzw. $t$-Wert exakt gleich Null.
• Für praktische Anwendungen kann der Gaußimpuls jedoch in Zeit und Frequenz als begrenzt angenommen werden. Zum Beispiel ist $h(t)$ bereits bei $t=1.5 \cdot \Delta t$ auf weniger als $0.1\% $ des Maximums abgefallen.

Idealer (rechteckförmiger) Tiefpass   $\Rightarrow$   Rectangular Low–pass

• Der Rechteck–Tiefpass lautet mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Bandbreite $\Delta f$:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f/2,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm} \right| = \Delta f/2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \right| > \Delta f/2.} \\ \end{array}$$

• Der $\pm \Delta f/2$–Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
• Für die Impulsantwort $h(t)$ erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fourierrücktransformation (2. Fourierintegral):

$$h(t)=K\cdot \Delta f \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta f \cdot t) \quad \text{mit} \ {\rm si}(x)={\sin(x)}/{x}.$$

• Der $h(t)$–Wert bei $t=0$ ist gleich der Rechteckfläche des Frequenzgangs.
• Die Impulsantwort besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta f$.
• Das Integral über die Impulsantwort $h(t)$ ist gleich dem Frequenzgang $H(f)$ bei der Frequenz $f=0$, also gleich $K$.

Dreieck–Tiefpass $\Rightarrow$ Triangular Low–pass

• Der Dreieck–Tiefpass lautet mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Bandbreite $\Delta f$:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \Big(1-\frac{|f|}{\Delta f}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta f.} \\ \end{array}$$

• Die absolute physikalische Bandbreite $B$   ⇒   nur positive Frequenzen]   ist ebenfalls gleich $\Delta f$, also so groß wie beim Rechteck–Tiefpass.
• Für die Impulsantwort $h(t)$ erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$h(t)=K\cdot \Delta f \cdot {\rm si}^2(\pi\cdot \Delta f \cdot t) \quad \text{mit} \ {\rm si}(x)={\sin(x)}/{x}.$$

• $H(f)$ kann man als Faltung zweier Rechteckfunktionen (jeweils mit Breite $\Delta f$) darstellen.
• Daraus folgt: $h(t)$ beinhaltet anstelle der ${\rm si}$-Funktion die ${\rm si}^2$-Funktion.
• $h(t)$ weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen $1/\Delta f$ auf.
• Der asymptotische Abfall von $h(t)$ erfolgt hier mit $1/t^2$, während zum Vergleich beim Rechteck–Tiefpass $h(t)$ mit $1/t$ abfällt.

Trapez–Tiefpass   $\Rightarrow$   Trapezoidal Low–pass

Der Trapez–Tiefpass lautet mit der Höhe $K$ und den Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \frac{f_2-|f|}{f_2-f_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm} \right| \le f_1,} \\ {f_1\le \left| \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \right| \ge f_2.} \\ \end{array}$$

• Für die äquivalente Bandbreite (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta f = f_1+f_2$.
• Der Rolloff-Faktor (im Frequenzbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:

$$r=\frac{f_2-f_1}{f_2+f_1}.$$

• Der Sonderfall $r=0$ entspricht dem Rechteck–Tiefpass und der Sonderfall $r=1$ dem Dreieck–Tiefpass.
• Für die Impulsantwort erhält man gemäß der Fourierrücktransformation:

$$h(t)=K\cdot \Delta f \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta f \cdot t)\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta f \cdot t) \quad \text{mit} \ {\rm si}(x)={\sin(x)}/{x}.$$

• Der asymptotische Abfall von $h(t)$ liegt zwischen $1/t$ (für Rechteck–Tiefpass oder $r=0$) und $1/t^2$ (für Dreieck–Tiefpass oder $r=1$).

Cosinus-Rolloff-Tiefpass   $\Rightarrow$   Cosine-rolloff Low–pass

Der Cosinus–Rolloff–Tiefpass lautet mit der Höhe $K$ und den Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \cos^2\Big(\frac{|f|-f_1}{f_2-f_1}\cdot \frac{\pi}{2}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm} \right| \le f_1,} \\ {f_1\le \left| \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \right| \ge f_2.} \\ \end{array}$$

• Für die äquivalente Bandbreite (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta f = f_1+f_2$.
• Der Rolloff-Faktor (im Frequenzbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:

$$r=\frac{f_2-f_1}{f_2+f_1}.$$

• Der Sonderfall $r=0$ entspricht dem Rechteck–Tiefpass der Sonderfall $r=1$ dem Cosinus-Quadrat-Tiefpass.
• Für die Impulsantwort erhält man gemäß der Fourierrücktransformation:

$$h(t)=K\cdot \Delta f \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot \Delta f \cdot t)}{1-(2\cdot r\cdot \Delta f \cdot t)^2} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t).$$

• Je größer der Rolloff-Faktor $r$ ist, desto schneller nimmt $h(t)$ asymptotisch mit $t$ ab.

Cosinus-Quadrat-Tiefpass   $\Rightarrow$   Cosine-rolloff -squared Low–pass

• Dies ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses und ergibt sich aus diesem für $r=1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}f_1=0, f_2= \Delta f$:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \cos^2\Big(\frac{|f|\cdot \pi}{2\cdot \Delta f}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta f.} \\ \end{array}$$

• Für die Impulsantwort erhält man gemäß der Fourierrücktransformation:

$$h(t)=K\cdot \Delta f \cdot {\pi}/{4}\cdot \big [{\rm si}(\pi(\Delta f\cdot t +0.5))+{\rm si}(\pi(\Delta f\cdot t -0.5))\big ]\cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t).$$

• Wegen der letzten ${\rm si}$-Funktion ist $h(t)=0$ für alle Vielfachen von $T=1/\Delta f$   ⇒   Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses bleiben erhalten.
• Aufgrund des Klammerausdrucks weist $h(t)$ nun weitere Nulldurchgänge bei $t=\pm1.5 T$, $\pm2.5 T$, $\pm3.5 T$, ... auf.
• Für $t=\pm T/2$ hat die Impulsanwort den Wert $K\cdot \Delta f/2$.
• Der asymptotische Abfall von $h(t)$ verläuft in diesem Sonderfall mit $1/t^3$.

Versuchsdurchführung

„Rot” bezieht sich stets auf den ersten Parametersatz   ⇒   $H_1(f) \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\ h_1(t)$ und „Blau” auf den zweiten   ⇒   $H_2(f) \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\ h_2(t)$.

(1)   Vergleichen Sie den  roten Gauß–Tiefpass  $(K_1 = 1, \ \Delta f_1 = 1)$  mit dem  blauen Rechteck–Tiefpass  $(K_2 = 1, \Delta f_2 = 1)$.  Fragen:
          (a)  Welche Ausgangssignale  $y(t)$  ergeben sich, wenn am Eingang das Signal  $x(t) = 2 \cdot \cos (2\pi f_0 t -\varphi_0)$  mit  $f_0 = 0.5$  anliegt?
          (b)  Welche Unterschiede ergeben sich bei beiden Tiefpässen mit  $f_0 = 0.5 \pm f_\varepsilon$  und  $f_\varepsilon \ne 0, \ f_\varepsilon \to 0$?

(a)  In beiden Fällen gilt  $y(t) = A \cdot \cos (2\pi f_0 t -\varphi_0)$  mit  $A = 2 \cdot H(f = f_0) \ \Rightarrow \ A_1 = 0.912, A_2 = 1.000$.  Die Phase  $\varphi_0$  bleibt erhalten.

(b)  Bei  Rot  gilt weiterhin  $ A_1 = 0.912$. Bei  Blau  ist  $A_2 = 0$  für  $f_0 = 0.5000\text{...}001$  und  $A_2 = 2$  für  $f_0 = 0.4999\text{...}999$.

(2)   Lassen Sie die Einstellungen unverändert.  Welcher Tiefpass  $H(f)$  kann das erste oder das zweite Nyquistkriterium erfüllen?
        $H(f)$  bezeichnet hierbei den Gesamtfrequenzgang von Sender, Kanal und Empfangsfilter.

• Erstes Nyquistkriterium:  Die Impulsantwort  $h(t)$  muss äquidistante Nulldurchgänge zu den (normierten) Zeiten  $t = 1,\ 2$, ...  aufweisen.
• Die Impulsantwort  $h(t) = {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t)$  des Rechteck–Tiefpasses erfüllt dieses Kriterium mit  $\Delta f = 1$.
• Dagegen wird beim Gauß–Tiefpass das erste Nyquistkriterium nie erfüllt und es kommt immer zu Impulsinterferenzen.
• Das zweite Nyquistkriterium erfüllt weder der Rechteck–Tiefpass noch der Gauß–Tiefpass.

(3)   Vergleichen Sie den  roten Rechteck–Tiefpass  $(K_1 = 0.5, \ \Delta f_1 = 2)$  mit dem  blauen Rechteck–Tiefpass  $(K_2 = 1, \ \Delta f_2 = 1)$.
        Variieren Sie anschließend  $\Delta f_1$  zwischen  $2$  und  $0.5$.

• Mit  $\Delta f_1 = 2$  liegen die Nullstellen von  $h_1(t)$  bei Vielfachen von  $0.5$   ⇒   $h_1(t)$  klingt doppelt so schnell ab wie  $h_2(t)$.
• Mit dieser Einstellung gilt  $h_1(t = 0) = h_2(t = 0)$, da die Rechteckflächen von  $H_1(f)$  und  $H_2(f)$  gleich sind.
• Verringert man man  $\Delta f_1$, so wird die Impulsantwort  $h_1(t)$  immer breiter und niedriger.
• Mit  $\Delta f_1 = 0.5$  ist  $h_1(t)$  doppelt so breit wie  $h_2(t)$, gleichzeitig aber um den Faktor  $4$  niedriger.

(4)   Vergleichen Sie den  roten Trapez–Tiefpass  $(K_1 = 1, \ \Delta f_1 = 1, \ r_1 = 0.5)$  mit dem  blauen Rechteck–Tiefpass  $(K_2 = 1, \ \Delta f_2 = 1)$.
        Variieren Sie anschließend  $r_1$  zwischen  $0$  und  $1$.

• Mit  $r_1 = 0.5$  sind die Unterschwinger von  $h_1(t)$  beim Trapez–Tiefpass wegen des flacheren Flankenabfalls geringer als beim Rechteck–Tiefpass.
• Mit kleinerem  $r_1$  nehmen die Unterschwinger zu.  Mit  $r_1= 0$  ist der Trapez–Tiefpass gleich dem Rechteck–Tiefpass   ⇒   $h(t)= {\rm si}(\pi \cdot t)$.
• Mit größerem  $r_1$  werden die Unterschwinger geringerer. Mit  $r_1= 1$  ist der Trapez–Tiefpass gleich dem Dreieck–Tiefpass   ⇒   $h(t)= {\rm si}^2(\pi \cdot t)$.

(5)   Vergleichen Sie den  Trapez–Tiefpass  $(K_1 = 1, \ \Delta f_1 = 1, \ r_1 = 0.5)$  mit dem  Cosinus-Rolloff-Tiefpass  $(K_2 = 1,\ \Delta f_2 = 1, \ r_2 = 0.5)$.
        Variieren Sie  $r_2$  zwischen  $0$  und  $1$.  Interpretieren Sie die Impulsantwort für  $r_2 = 0.75$.  Welcher Tiefpass erfüllt das erste Nyquistkriterium?

• Bei  $r_1 = r_2= 0.5$  verläuft der Flankenabfall von  $H_2(f)$  um die Frequenz  $f = 0.5$  steiler als der Flankenabfall von  $H_1(f)$.
• Bei gleichem Rolloff  $r= 0.5$  hat die Impulsantwort  $h_2(t)$  für  $t > 1$  betragsmäßig größere Anteile als  $h_1(t)$.
• Mit  $r_1 = 0.5$  und  $r_2 = 0.75$  gilt  $H_1(f) \approx H_2(f)$  und damit auch  $h_1(t) \approx h_2(t)$.
• $H_1(f)$  und  $H_2(f)$  erfüllen beide das erste Nyquistkriterium:  beide Funktionen sind punktsymmetrisch um den sog. „Nyquistpunkt”.
• Wegen  $\Delta f = 1$  besitzen sowohl  $h_1(t)$  als auch  $h_2(t)$  Nulldurchgänge bei  $\pm 1$,  $\pm 2$, ...   ⇒   jeweils maximale vertikale Augenöffnung.

(6)   Vergleichen Sie den  Cosinus–Quadrat–Tiefpass  $(K_1 = 1, \ \Delta f_1 = 1)$  mit dem  Cosinus-Rolloff-Tiefpass  $(K_2 = 1, \ \Delta f_2 = 1,\ r_2 = 0.5)$.
        Variieren Sie  $r_2$  zwischen  $0$  und  $1$.  Interpretieren Sie die Ergebnisse.  Welcher Tiefpass erfüllt das zweite Nyquistkriterium]]?

• $H_1(f)$  ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses mit Rolloff  $r_2 =1$.  Das erste Nyquistkriterium wird auch mit  $r_2 \ne 1$  erfüllt.
• Nach dem zweiten Nyquistkriterium muss  $h(t)$  auch Nulldurchgänge bei  $t=\pm 1.5$,  $\pm 2.5$,  $\pm 3.5$, ... besitzen  $($nicht jedoch bei  $t = \pm 0.5)$.
• Für den Cosinus–Quadrat–Tiefpass gilt also  $h_1(t=\pm 0.5) = 0.5$,  $h_1(t=\pm 1) = h_1(t=\pm 1.5) = h_1(t=\pm 2)= h_1(t=\pm 2.5) = \text{...} =0$.
• Nur der Cosinus–Quadrat–Tiefpass erfüllt das erste und zweite Nyquistkriterium gleichzeitig:  Maximale vertikale und horizontale Augenöffnung.

Zur Handhabung des Programms

    (A)     Bereich der graphischen Darstellung für $H(f)$

    (B)     Bereich der graphischen Darstellung für $h(t)$

    (C)     Variationsmöglichkeit für die graphischen Darstellungen

    (D)     Parametereingabe per Slider
                      links (rot): „Low–pass 1”,         rechts (blau): „Low–pass 2”

    (E)     Parameter entsprechend der Voreinstellung   ⇒   „Reset”

    (F)     Einstellung von $t_*$ und $f_*$ für Numerikausgabe

    (G)     Numerikausgabe von $H(f_*)$ und $h(t_*)$
                      links (rot): „Low–pass 1”,         rechts (blau): „Low–pass 2”

Details zum obigen Punkt (C)

    (*)   Zoom–Funktionen „$+$” (Vergrößern), „$-$” (Verkleinern)
                     und $\rm o$ (Zurücksetzen)

    (*)   Verschiebe–Funktionen „$\leftarrow$” (Bildausschnitt nach links,
                     Ordinate nach rechts) sowie „$\uparrow$” „$\downarrow$” „$\rightarrow$”

Andere Möglichkeiten:

• Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
• Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2005 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder und Klaus Eichin).
• 2017 wurde „Impulse & Spektren” von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

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