Applets:Das Gram-Schmidt-Verfahren

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Programmbeschreibung

Das Applet verdeutlicht das  »Gram–Schmidt–Verfahren«.  Dieses ermöglicht,  eine Menge  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  energiebegrenzter Signale mit Hilfe von   $N \le M$  orthonormalen Basisfunktionen   $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$  in folgender Form darzustellen:

$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) , \hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N \hspace{0.05cm}.$$

Der vektorielle Repräsentant der Musterfunktion  $s_1(t)$  lautet dann:

$$\mathbf{s}_i = \big( s_{i1}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}s_{i2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} s_{iN} \big ).$$

Das Applet zeigt alle Grafiken,  die zum Verständnis des Gram–Schmidt–Verfahrens erforderlich sind,  und als jeweiliges Ergebnis

• die 2D–Darstellung der  $M$  vektoriellen Repräsentanten, falls  $N=2$,

• die 3D–Darstellung der  $M$  vektoriellen Repräsentanten, falls  $N=3$.

English Description

This applet illustrates the  »Gram–Schmidt process«.  This allows to represent a set  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  of energy-limited signals in the following form,  using   $N \le M$  orthonormal basis functions   $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$:

$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) , \hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N \hspace{0.05cm}.$$

The vectorial representative of the pattern function  $s_1(t)$  is then:

$$\mathbf{s}_i = \big( s_{i1}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}s_{i2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} s_{iN} \big ).$$

The applet shows all the graphics,  necessary to understand the Gram–Schmidt process,  and as the respective result.

• the two-dimensional representation of the  $M$  vectorial representatives, if  $N=2$,

• the three-dimensional representation of the  $M$  vectorial representatives, if  $N=3$.

Theoretischer Hintergrund

Signaldarstellung mit orthonormalen Basisfunktionen

Wir gehen von einer Menge  $\{s_i(t)\}$  möglicher Sendesignale aus, die den möglichen Nachrichten  $m_i$  eineindeutig zugeordnet sind. Mit  $i = 1$, ... , $M$  gelte:

$$m \in \{m_i \}, \hspace{0.2cm} s(t) \in \{s_i(t) \}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm} m = m_i \hspace{0.1cm} \Leftrightarrow \hspace{0.1cm} s(t) = s_i(t) \hspace{0.05cm}.$$

Für das Folgende setzen wir weiter voraus, dass die  $M$ Signale  $s_i(t)$  energiebegrenzt  sind, was meist gleichzeitig bedeutet, dass sie nur von endlicher Dauer sind.

$\text{Satz:}$  Eine jede Menge  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  energiebegrenzter Signale lässt sich in  $N \le M$  orthonormale Basisfunktionen  $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$  entwickeln.  Es gilt:

$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) , \hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N \hspace{0.05cm}.$$

Jeweils zwei Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  und  $\varphi_k(t)$  müssen orthonormal zueinander sein, das heißt, dass gelten muss  $(\delta_{jk}$  nennt man das Kronecker–Symbol$)$:

$$<\hspace{-0.1cm}\varphi_j(t), \hspace{0.05cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm}> = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\,d \it t = {\rm \delta}_{jk} = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.4cm}j = k\hspace{0.1cm} \\ {\rm falls}\hspace{0.4cm} j \ne k \hspace{0.1cm}\\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

Der Parameter  $N$  gibt dabei an, wieviele Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  benötigt werden, um die  $M$  möglichen Sendesignale darzustellen.  Mit anderen Worten:   $N$  ist die  »Dimension des Vektorraums«,  der von den  $M$  Signalen aufgespannt wird.  Dabei gilt:

• Ist  $N = M$, so sind alle Sendesignale zueinander orthogonal.  Sie sind nicht notwendigerweise orthonormal, das heißt, die Energien  $E_i = \ <\hspace{-0.01cm}s_i(t), \hspace{0.05cm}s_i(t) \hspace{-0.01cm}>$  können durchaus ungleich Eins sein.
  

• Der Fall  $N < M$  ergibt sich, wenn mindestens ein Signal  $s_i(t)$  als Linearkombination von Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  dargestellt werden kann, die sich bereits aus anderen Signalen  $s_j(t) \ne s_i(t)$  ergeben haben.
  

Darstellung der drei Sendesignale durch zwei Basisfunktionen

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten  $M = 3$  energiebegrenzte Signale gemäß der Grafik.

Man erkennt sofort:

• Die Signale  $s_1(t)$  und  $s_2(t)$  sind zueinander orthogonal.
  

• Die Energien sind  $E_1 = A^2 \cdot T = E$  und  $E_2 = (A/2)^2 \cdot T = E/4$.
  

• Die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  sind jeweils formgleich mit  $s_1(t)$  bzw.  $s_2(t)$.

• Beide Signale besitzen jeweils die Energie „Eins”:

$$\varphi_1(t)=\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1} } = \frac{s_1(t)}{\sqrt{A^2 \cdot T} } = \frac{1}{\sqrt{ T} } \cdot \frac{s_1(t)}{A}$$

$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}s_1(t) = s_{11} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}s_{11} = \sqrt{E}\hspace{0.05cm},$$

$$\varphi_2(t) =\frac{s_2(t)}{\sqrt{E_2} } = \frac{s_2(t)}{\sqrt{(A/2)^2 \cdot T} } = \frac{1}{\sqrt{ T} } \cdot \frac{s_2(t)}{A/2}\hspace{0.05cm}$$

$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}s_2(t) = s_{21} \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}s_{21} = {\sqrt{E} }/{2}\hspace{0.05cm}.$$

• Das Signal  $s_3(t)$  kann durch die vorher bestimmten Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  ausgedrückt werden:

$$s_3(t) =s_{31} \cdot \varphi_1(t) + s_{32} \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm},$$

$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm} s_{31} = {A}/{2} \cdot \sqrt {T}= {\sqrt{E} }/{2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{32} = - A \cdot \sqrt {T} = -\sqrt{E} \hspace{0.05cm}.$$

Trotz  $M=3$  gilt also im vorliegenen Fall nur  $N=2$.

Im rechten unteren Bild sind die Signale in einer 2D–Darstellung mit den Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  als Achsen dargestellt, wobei  $E = A^2 \cdot T$  gilt und der Zusammenhang zu den anderen Grafiken durch die Farbgebung zu erkennen ist.

Die vektoriellen Repräsentanten der Signale  $s_1(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_3(t)$  in diesem zweidimensionellen Vektorraum lassen sich daraus wie folgt ablesen:

$$\mathbf{s}_1 = (\sqrt{ E}, \hspace{0.1cm}0), \hspace{0.5cm} \mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.1cm}\sqrt{ E}/2), \hspace{0.5cm} \mathbf{s}_3 = (\sqrt{ E}/2,\hspace{0.1cm}-\sqrt{ E} ) \hspace{0.05cm}.$$

Das Verfahren nach Gram-Schmidt

Im letzten  $\text{Beispiel}$  war die Bestimmung der beiden orthonormalen Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  sehr einfach, da diese formgleich mit  $s_1(t)$  bzw.  $s_2(t)$  waren. Das  Gram–Schmidt–Verfahren  findet die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_N(t)$  für beliebig vorgebbare Signale  $s_1(t)$, ... , $s_M(t)$, und zwar wie folgt:

• Die erste Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  ist stets formgleich mit  $s_1(t)$. Es gilt:

$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}} = \frac{s_1(t)}{|| s_1(t)||} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \varphi_1(t) || = 1, \hspace{0.2cm}s_{11} =|| s_1(t)||,\hspace{0.2cm}s_{1j} = 0 \hspace{0.2cm}{\rm f{\rm \ddot{u}r }}\hspace{0.2cm} j \ge 2 \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Hinweise zur Nomenklatur:}$ 

(1)  Ausgehend von zwei reellen und energiebegrenzten Zeitfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$  erhält man für das  innere Produkt allgemein:

$$<\hspace{-0.01cm}x(t), \hspace{0.05cm}y(t) \hspace{-0.01cm}> \hspace{0.15cm}= \int_{-\infty}^{+\infty}x(t) \cdot y(t)\,d \it t \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Daraus ergibt sich die  Euklidische Norm  der Zeitfunktion $s_1(t)$:

$$\vert \vert s_1(t) \vert \vert = \sqrt{<\hspace{-0.01cm}s_1(t), \hspace{0.15cm}s_1(t) \hspace{-0.01cm}>} $$

Es wird nun angenommen, dass aus den Signalen  $s_1(t)$, ... , $s_{k-1}(t)$  bereits die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_{n-1}(t)$  berechnet wurden  $(n \le k)$.

• Dann berechnen wir mittels der nächsten Funktion  $s_k(t)$  die Hilfsfunktion

$$\theta_k(t) = s_k(t) - \sum\limits_{j = 1}^{n-1}s_{kj} \cdot \varphi_j(t) \hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm} s_{kj} = \hspace{0.01cm} < \hspace{-0.1cm} s_k(t), \hspace{0.05cm}\varphi_j(t) \hspace{-0.01cm} >, \hspace{0.2cm} j = 1, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}, n-1\hspace{0.05cm}.$$

• Hat diese Hilfsfunktion die Norm   $||\theta_k(t)|| = 0$, so liefert  $s_k(t)$  keine neue Basisfunktion.  Vielmehr lässt sich dann  $s_k(t)$  durch die  $n-1$  bereits vorher gefundenen Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_{n-1}(t)$  ausdrücken:

$$s_k(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n-1}s_{kj}\cdot \varphi_j(t) \hspace{0.05cm}.$$

• Eine neue Basisfunktion  (nämlich die  $n$–te)  ergibt sich nur für den Fall  $||\theta_k(t)|| \ne 0$:

$$\varphi_n(t) = \frac{\theta_k(t)}{|| \theta_k(t)||} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \varphi_n(t) || = 1\hspace{0.05cm}.$$

Diese Prozedur wird solange fortgesetzt, bis alle  $M$  Signale berücksichtigt wurden.

• Danach hat man alle  $N \le M$  orthonormalen Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  gefunden.

• Der Sonderfall  $N = M$  ergibt sich nur dann, wenn alle  $M$  Signale linear voneinander unabhängig sind.
  

$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten die  $M = 4$  energiebegrenzten Signale  $s_1(t)$, ... , $s_4(t)$  entsprechend der Grafik. Zur Vereinfachung der Berechnungen sind hier sowohl die Amplituden als auch die Zeit normiert.

Zum Gram-Schmidt-Verfahren

Man erkennt aus diesen Skizzen:

• Die Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  ist formgleich mit  $s_1(t)$.  Wegen  $E_1 = \vert \vert s_1(t) \vert \vert ^2 = 3 \cdot 0.5^2 = 0.75$  ergibt sich  $s_{11} = \vert \vert s_1(t) \vert \vert = 0.866$.  $\varphi_1(t)$  selbst besitzt abschnittsweise die Werte  $\pm 0.5/0.866 = \pm0.577$.

• Zur Berechnung der Hilfsfunktion  $\theta_2(t)$  berechnen wir

$$s_{21} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.01cm} s_2(t), \hspace{0.05cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.01cm} = 0 \cdot (+0.577) + 1 \cdot (-0.577)+ 0 \cdot (-0.577)= -0.577$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t) = (0.333, \hspace{0.15cm} 0.667, \hspace{0.15cm} -0.333) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\vert \vert \theta_2(t) \vert \vert^2 = (1/3)^2 + (2/3)^2 + (-1/3)^2 = 0.667$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{22} = \sqrt{0.667} = 0.816,\hspace{0.3cm} \varphi_2(t) = \theta_2(t)/s_{22} = (0.408, \hspace{0.15cm} 0.816, \hspace{0.15cm} -0.408)\hspace{0.05cm}. $$

• Die inneren Produkte zwischen  $s_1(t)$  mit  $\varphi_1(t)$  bzw.  $\varphi_2(t)$  liefern folgende Ergebnisse:

$$s_{31} \hspace{0.01cm} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_3(t), \hspace{0.07cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.01cm} > \hspace{0.1cm} = 0.5 \cdot (+0.577) + 0.5 \cdot (-0.577)- 0.5 \cdot (-0.577)= 0.289,$$

$$s_{32} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.01cm} < \hspace{-0.1cm} s_3(t), \hspace{0.07cm}\varphi_2(t) \hspace{-0.01cm} > \hspace{0.1cm} = 0.5 \cdot (+0.408) + 0.5 \cdot (+0.816)- 0.5 \cdot (-0.408)= 0.816$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\theta_3(t) = s_3(t) - 0.289 \cdot \varphi_1(t)- 0.816 \cdot \varphi_2(t) = 0\hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet:   Die grüne Funktion  $s_3(t)$  liefert keine neue Basisfunktion  $\varphi_3(t)$, im Gegensatz zur Funktion  $s_4(t)$. Die numerischen Ergebnisse hierfür können der Grafik entnommen werden.

Die verschiedenen Rubriken bei der Auswahl der Programmparameter

Das Programm bietet insgesamt  $4 \cdot 6 = 24$  Möglichkeiten zur Einstellung der jeweiligen Menge  $\{s_i(t)\}$  möglicher Sendesignale.  Diese  $24$  Parametersätze sind in vier Rubriken eingeteilt. Die vier Rubriküberschriften treffen den Sachverhalt nicht hundertprozentig und sind deshalb in Hochkommata gesetzt:

(1)  Rubrik  „Basisband”   ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (A)$  ...  $\rm (F)$:

Signalform bei „Basisband”

• Jedes Mustersignal  $s_i(t)$  besteht aus drei Rechteckfunktionen unterschiedlicher Höhen und jeweiliger Dauer  $T$. 
• Die einzelnen Rechteckhöhen sind Vielfache von  $\pm 0.25$  und die gesamte Signaldauer ergibt  $3T$.
• Mit dem seitlichen Slider kann man das Signal  $s_i(t)$  um Vielfache von  $\pm 0.25$  nach oben und unten verschieben.
• Solche Signale treten zum Beispiel bei der binären oder mehrstufigen  Basisbandübertragung  auf.
• Im  $\text{Beispiel 2}$  des hier angegebenen Links erkennt man zum Beispiel die grafischen Darstellungen

• eines binären Signals  $q(t)$,
• eines ternären Signals  $s_3(t)$,
• eines quaternären Signals  $s_4(t)$.

(2)  Rubrik  „M–ASK / BPSK”  ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (G)$  ...  $\rm (L)$:

Signalform bei „M–ASK / BPSK”

• Die Mustersignale  $s_i(t)$  haben ebenfalls die Dauer  $3T$  und sind ähnlich aufgebaut wie bei der Rubrik  (1).
• Im Unterschied zu  (1)  wird jede Rechteckfunktion  $($Dauer $T)$  durch eine Periode einer Sinusfunktionen ersetzt.
• Der angegebene Zahlenwert gibt hier die Amplitude des sinusförmigen Teilstücks an.
• Bei negativem Vorzeichen wird aus dem „Sinus” die Funktion „Minus–Sinus”.
• Mit dem seitlichen Slider kann man die Amplitude von  $s_i(t)$  um Vielfache von  $\pm 0.25$  vergrößern oder verkleinern.
• Solche Signale können zum Beispiel bei der M–ASK  (mehrstufiges Amplitude Shift Keying)  auftreten, ebenso bei  BPSK (Binary Phase Shift Keying).

(3)  Rubrik  „Nur eine Frequenz”  ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (M)$  ...  $\rm (R)$:

Signalform bei „Nur eine Frequenz”

• Alle Mustersignale  $s_i(t)$  haben die Dauer  $T$  und sind jeweils Harmonische Schwingungen der Form

$$s_i(t) = A_i \cdot \cos(2\pi \cdot f_k \cdot t + \phi_i)\hspace{0.3cm}\text{mit}\hspace{0.3cm}f_k=K/T.$$

• Die Eigenschaft „Nur eine Frequenz” bezieht sich auf die einzelnen Mustersignale  $s_i(t)$  und auf den gesamten Set.
• Der Parameter  $K$  gibt die Anzahl der Schwingungen innerhalb der Zeit  $T$  an und gilt für alle Mustersignale.
• Die Grafik gilt für:  $A_i=0.75, \hspace{0.3cm}f_k= 4/T \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}K=4, \hspace{0.3cm}\phi_i=- 90^\circ$   ⇒   sinusförmiger Verlauf.

• Mit dem Slider lässt sich die Phase von  $s_i(t)$  um Vielfache von  $\pm 22.5^\circ$  in beide Richtungen variieren.
• Solche Harmonische haben für alle (analogen und digitalen) Nachrichtensysteme große Bedeutung.

(4)  Rubrik  „Mehrere Frequenzen”  ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (S)$  ...  $\rm (X)$:

• Es gelten ähnliche Voraussetzungen wie für die „Rubrik 3”, es sind aber nun stets mehrere Frequenzen beteiligt.
• Die Eigenschaft „Mehrere Frequenzen” bezieht sich auf einzelne Mustersignale  $s_i(t)$  oder auch auf den gesamten Set  $\{s_i(t)\}$.
• Möglich sind somit auch Mustersignale der folgenden Form  $($mit  $k=0$  ⇒   $f=f_0 = k/T = 0$  ⇒   Gleichsignal$)$:

$$s_i(t) = 1 \cdot \cos(2\pi \cdot f_0 \cdot t) - 0.5 \cdot \cos(2\pi \cdot f_2 \cdot t)-0.5 \cdot \cos(2\pi \cdot f_3 \cdot t).$$

• Der Parameter  $k$  muss auch nicht ganzzahlig sein. Beispielsweise kennzeichnet  $k= 4.5$  viereinhalb Schwingunen Schwingungen innerhalb der Zeitdauer  $T$.
• Mit dem Slider können die Frequenzkenngrößen  $k$  um Vielfache von  $0.25$  vergrößert oder verkleinert werden.

Versuchsdurchführung

• Wählen Sie zunächst die Nummer  (1, ...)  der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.

Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:

• Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
• Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

(1)  Es gilt die Einstellung  $\rm A$.  Interpretieren Sie die ausgegebenen Grafiken.  Wählen Sie hierfür „Einzelschritt”.

•  Einstellung  $\rm A$  beschreibt das $\text{Beispiel 2}$  im Theorieteil. Die Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  ist identisch mit dem Signal  $s_1(t)$,  aber mit Signalenergie  $E=1$.
•  Es gibt hier nur  $N=3$  Basisfunktionen, da die Hilfsfunktion  $\theta_3(t)$  identisch Null ist.
•  Die vektoriellen Repräsentanten der Signale  $s_1(t)$,  ... , $s_4(t)$  können im 3D–Vektorraum abgelesen werden;  Beispiel:  $\mathbf{s}_4 = (-1.444, \hspace{0.15cm} -0.408, \hspace{0.15cm} +0.707)$.

(2)  Interpretieren Sie die ausgegebenen Grafiken für die Einstellung  $\rm B$.  Wählen Sie hierfür und bei den weiteren Aufgaben „Gesamtdarstellung”.

•  Auch hier gibt es  $N=3$  Basisfunktionen.  Bei Änderung auf  $s_4 = (-1, \hspace{0.15cm} -1, \hspace{0.25cm} 0)$  nur mehr  $N=2$.

(3)  Bei der Einstellung  $\rm C$  ist die Reihenfolge der Signale gegenüber  $\rm B$  vertauscht.  Wie wirkt sich das auf die Basisfunktionen aus?

•  Auch hier gibt es  $N=3$  Basisfunktionen, aber nun andere:  Nämlich  $\varphi_1(t) = s_1(t)$,  $\varphi_2(t) = s_2(t)$,  $\varphi_3(t) = s_3(t)$.

(4)  Die  $M=4$  Signale der Einstellung  $\rm D$  lassen sich durch nur  $N=2$  Basisfunktionen ausdrücken?  Begründen Sie dieses Ergebnis.

•  Es gilt  $s_3(t) = s_1(t)/4 - s_2(t)/2$  und  $s_4(t) = -s_1(t) - s_2(t)$.  Das heißt:  $s_3(t)$  und  $s_4(t)$  liefern keine neuen Basisfunktionen.

(5)  Interpretieren Sie die ausgegebenen Grafiken für die Einstellung  $\rm E$  im Vergleich zur Einstellung  $\rm D$.

•  Bei der Einstellung  $\rm E$  ist die Reihenfolge der Signale gegenüber der Einstellung   $\rm D$  vertauscht. Ähnlich wie zwischen  $\rm B$  und  $\rm C$.
•  Auch diese  $M=4$  Signale lassen sich somit durch nur  $N=2$  Basisfunktionen ausdrücken, aber durch andere als in der Aufgabe  (4).

(6)  Welches Ergebnis liefern die vier Signale gemäß der Einstellung  $\rm F$?

•  Die die Signale  $s_1(t)$, ... , $s_4(t)$  basieren alle auf einer einzigen Basisfunktion   $\varphi_1(t)$, die formgleich mit  $s_1(t)$  ist.  Es gilt  $N=1$.
•  Die vektoriellen Repräsentanten der Signale  $s_1(t)$,  ... , $s_4(t)$  sind  $\pm 0.866$  und  $\pm 1.732$.  Sie liegen inder 2D–Darstellung alle auf einer Linie.

(7)  Es gilt nun die „M–ASK / BPSK”–Einstellung  $\rm G$.  Interpretieren Sie das Ergebnis und versuchen Sie, einen Zusammenhang zu einer früheren Aufgabe herzustellen.

•  Vergleicht man die angegebenen Zahlenwerte, so erkennt man, dass eine ähnliche Konstellation betrachtet wird wie bei der „Basisband”–Einstellung  $\rm A$.
•  Der einzige Unterschied ist, dass nun alle Energien nur halb so groß sind wie vorher.  Bezüglich der Amplituden wirkt sich das um den Faktor  $\sqrt{2}$  aus.
•  Somit ist nun der vektorielle Repräsentant des unteren Signals    $\mathbf{s}_4 = (-1.021, \hspace{0.15cm} -0.289, \hspace{0.15cm} +0.500)$  anstelle von  $\mathbf{s}_4 = (-1.444, \hspace{0.15cm} -0.408, \hspace{0.15cm} +0.707)$.
•  Bei der Einstellung  $\rm H$  sind gegenüber  $\rm G$  alle Amplituden verdoppelt. Somit ergibt sich hier  $\mathbf{s}_4 = (-2.041, \hspace{0.15cm} -0.577, \hspace{0.15cm} +1.000)$.

(8)  Es gelte die „M–ASK / BPSK”–Einstellung  $\rm I$.  Interpretieren Sie das Ergebnis.  Versuchen Sie wieder, einen Zusammenhang zu einer früheren Aufgabe herzustellen.

•  Hier wird eine ähnliche Konstellation betrachtet wird wie bei der „Basisband”–Einstellung  $\rm C$, aber nun mit nur halb so großen Energien.
•  Somit ist nun der vektorielle Repräsentant des unteren Signals    $\mathbf{s}_4 = (+0.707, \hspace{0.15cm} -0.707, \hspace{0.15cm} 0.000)$  anstelle von  $\mathbf{s}_4 = (+1.000, \hspace{0.15cm} -1.000, \hspace{0.15cm} 0.000)$.
•  Somit ist nun der vektorielle Repräsentant des unteren Signals    $\mathbf{s}_4 = (+0.707, \hspace{0.15cm} -0.707, \hspace{0.15cm} 0.000)$  anstelle von  $\mathbf{s}_4 = (+1.000, \hspace{0.15cm} -1.000, \hspace{0.15cm} 0.000)$.
•  Mit der „M–ASK / BPSK”–Einstellung  $\rm J$  wird eine ähnliche Konstellation betrachtet wie mit der „Basisband”–Einstellung  $\rm D$. Gleiches gilt für  $\rm K$  und  $\rm E$.

(9)  Es gelte die „M–ASK / BPSK”–Einstellung  $\rm L$.  Interpretieren Sie das Ergebnis.  Gibt es einen Zusammenhang zu einer früheren Aufgabe?

•  Die Einstellung  $\rm L$  ist vergleichbar mit der obigen Einstellung  $\rm F$.  Es gilt  $N=1$. Das heißt:
•  Alle  $M=4$  Signale sind allein durch die Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  darstellbar, die formgleich mit  $s_1(t)$  ist.

(10)  Nun gelte die „Nur eine Frequenz”–Einstellung  $\rm M$.  Interpretieren Sie die dargestellten Grafiken.

•  Alle Signale  $s_i(t)$  haben die Amplitude  $A_i = 1$  und gleiche Frequenz  $f=f_1$.  Das heißt:  Jeweils eine Schwingung innerhalb der Zeit  $T$.
•  Die  $M=4$  Signale unterscheiden sich nur durch die Phasen  $\phi_1 = +45^\circ$,  $\phi_2 = +135^\circ$,  $\phi_3 = -135^\circ$  und  $\phi_4 = -45^\circ$.  Es gibt  $N=2$  Basisfunktionen.
•  Die Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  ist formgleich mit  $s_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  ist formgleich mit  $s_2(t)$.  Dies gilt für die meisten Einstellungen der dritten Rubrik.
• Die vektoriellen Repräsentanten der Signale lauten:  $\mathbf{s}_1 = (0.707, \hspace{0.15cm} 0)$, $\mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.15cm} 0.707)$,   $\mathbf{s}_3 = (-0.707, \hspace{0.15cm} 0)$,  $\mathbf{s}_4 = (0, \hspace{0.15cm} -0.707)$.

(11)  Welche Unterschiede gibt es mit der Einstellung  $\rm N$  gegenüber der Einstellung  $\rm M$?

•  Die vier Mustersignale  $s_i(t)$  beschreiben nun von oben nach unten einen Cosinus,  einen Sinus,  einen Minus–Cosinus  und einen Minus–Sinus.
•  Für die  $N=2$  Basisfunktionen gilt:  $\varphi_1(t) = \sqrt{2} \cdot \cos(2\pi f_1 t)$,  $\varphi_2(t) = \sqrt{2} \cdot\sin(2\pi f_1 t)$.  Auch  $s_3(t)$  und  $s_4(t)$  lassen sich damit beschreiben.
•  Die vektoriellen Repräsentanten der Signale lauten:  $\mathbf{s}_1 = (0.707, \hspace{0.15cm} 0)$, $\mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.15cm} 0.707)$,   $\mathbf{s}_3 = (-0.354, \hspace{0.15cm} 0)$,  $\mathbf{s}_4 = (0, \hspace{0.15cm} -0.354)$.
•  Dieses Ergebnis berücksichtigt die nur halb so großen Amplituden von  $s_3(t)$  und  $s_4(t)$  gegenüber  $s_1(t)$  und  $s_2(t)$.

(12)  Wie unterscheidet sich die Einstellung  $\rm O$  von der Einstellung  $\rm N$?   Analysieren Sie den vektoriellen Repräsentanten für  $\mathbf{s}_3$  genauer.

•  Das Signal  $s_2(t)$  bei Einstellung  $\rm O$  ist minus–sinusförmig   ⇒   $\varphi_1(t) = \sqrt{2} \cdot \cos(2\pi f_1 t)$,  $\varphi_2(t) = -\sqrt{2} \cdot\sin(2\pi f_1 t)$.
•  Für die Darstellung Harmonischer Schwingungen werden häufig diese Basisfunktionen  „Cosinus” und  „Minus–Sinus” verwendet.
•  Außerdem unterscheiden sich die Signale  $s_3(t)$  und  $s_4(t)$  durch die halbe Amplitude und die Phsenwerte sind keine Vielfachen von  $90^\circ$.
• Die vektoriellen Repräsentanten der Signale lauten:  $\mathbf{s}_1 = (0.707, \hspace{0.15cm} 0)$, $\mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.15cm} 0.707)$,   $\mathbf{s}_3 = (0.612, \hspace{0.15cm} 0.354)$,  $\mathbf{s}_4 = (0.354, \hspace{0.15cm} -0.612)$.  Überprüfung:
• $s_3(t) = \cos(2\pi f_1 t + 30^\circ) = \cos(30^\circ) \cdot \cos(2\pi f_1 t)\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm} \sin(30^\circ) \cdot \sin(2\pi f_1 t)=\sqrt{3}/(2\sqrt{2})\cdot \varphi_1(t) + 1/(2\sqrt{2})\cdot \varphi_2(t)= 0.612\cdot \varphi_1(t) + 0.354\cdot \varphi_2(t)$.

(13)  Wie unterscheidet sich die Einstellung  $\rm P$  von der Einstellung  $\rm O$?   Gibt es in der Rubrik „Nur eine Frequenz” eine Einstellung für  $N=1$ ?

• Mit der Einstellung  $\rm P$  ergeben sich gleiche vektorielle Repräsentanten.  Einziger Unterschied zur Einstellung  $\rm O$  ist die doppelte Frequenz.
• Das Ergebnis  $N=1$  ist nur möglich, wenn alle Signale gleiche Frequenz und gleiche Phase besitzen   ⇒   Einstellung  $\rm R$   $($unterschiedliche Amplituden$)$.

(14)  Nun gelte die „Mehrere Frequenzen”–Einstellung  $\rm S$.  Interpretieren Sie die dargestellten Grafiken.

• Die vier Signale  $s_1(t)$ ... $s_4(t)$  weisen nun unterschiedliche Frequenzen auf:  $f=0$  (Gleichsignal),  $f=f_1$,  $f=f_2 = 2f_1$,  $f=f_3 = 3f_1$.
• Deshalb ergeben sich hier  $N=4$  Basisfunktionen  $\varphi_i(t)$, die alle formgleich mit den entsprechenden Signalen  $s_i(t)$  sind.  Für  $i=1$  gilt:  $\varphi_1(t)=1$.
• Die weiteren Basisfunktionen haben wegen der Energienormierung einheitlich die Form  $\varphi_i(t)= \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi f_i t)$.

(15)  Wie unterscheidet sich die Einstellung  $\rm T$  von der Einstellung  $\rm S$?   Begründen Sie das Ergebnis  $N=3$.  Interpretieren Sie auch die Grafiken zur Einstellung  $\rm U$.

• Die Signale  $s_1(t)$ ... $s_3(t)$  beinhalten die Frequenzen  $f=0$,  $f=f_1$  und  $f=f_2 = 2f_1$.  Jedes Signal erzwingt eine eigene Basisfunktion.
• Die vektoriellen Repräsentanten dieser Signale lauten:  $\mathbf{s}_1 = (1, \hspace{0.15cm} 0, \hspace{0.15cm} 0)$, $\mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.15cm} 0.707, \hspace{0.15cm} 0)$,   $\mathbf{s}_3 = (0, \hspace{0.15cm} 0,\hspace{0.15cm} 0.707)$.
• Das vierte Signal ist als Linearkombination darstellbar:  $s_4(t)=s_1(t)-0.5 \cdot s_2(t)-0.5 \cdot s_3(t)$  ⇒   vektorieller Repräsentant:  $\mathbf{s}_1 = (1, \hspace{0.15cm} -0.354, \hspace{0.15cm} 0.354)$.
• Die Einstellung  $\rm U$  ist nur eine zyklische Vertauschung von der Einstellung  $\rm T$   ⇒   es genügen ebenfalls  $N = 3$  Basisfunktionen.
• Die  $N = 3$  Basisfunktionen sind aber deutlich komplizierter als bei  $\rm T$, weil „Gram–Schmidt” signifikant von der Reihenfolge der Mustersignale abhängt.

(16)  Interpretieren Sie die dargestellten Grafiken für die Einstellung  $\rm V$  und anschließend für die Einstellung  $\rm W$.

• Die ersten drei Signale führen zu je einer cosinusförmigen Basisfunktion mit den Frequenzen $f_2$, $f_3$  und $f_4$.
• Das letzte Signal ist  $s_4(t)= \cos(2\pi f_3 t) \cdot \cos(2\pi f_1 t) = 1/2 \cdot\big [ \cos(2\pi \cdot (f_3 - f_1)\cdot t) + \cos(2\pi \cdot (f_3 + f_1)\cdot t)\big ] = 1/2 \cdot \big [\cos(2\pi f_2 t) + \cos(2\pi f_4 t)\big ] $. 
•  Der vektorielle Repräsentant des untersten Signals gemäß Einstellung  $\rm V$  lautet somit:    $\mathbf{s}_4 = (0.354, \hspace{0.15cm} 0, \hspace{0.15cm} 0.354)$.
•  Bei der Einstellung  $\rm W$  ergeben sich genau die gleichen Basisfunktionen wie bei  $\rm W$. Hier erhält man für das unterste Signal   $\mathbf{s}_4 = (0.354, \hspace{0.15cm} 0, \hspace{0.15cm} -0.354)$.
• Begründung  $s_4(t)= \sin(2\pi f_3 t) \cdot \sin(2\pi f_1 t) = 1/2 \cdot \big [\cos(2\pi f_2 t) - \cos(2\pi f_4 t)\big ] $.  Auch hier liefert die Basisfunktion  $\varphi_2(t)$  keinen Beitrag.

(17)  Wie viele Basisfunktionen benötigt man für die vier Signale gemäß der Einstellung  $\rm X$?

• Das Ergebnis lautet:  $N = 4$.  Jedes der vier Signale  $\cos(2\pi f_1 t)$,  $\sin(2\pi f_1 t)$  $\cos(2\pi f_2 t)$,   $\sin(2\pi f_2 t)$  führt zu einer neuen Basisfunktion.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Auswahl zwischen 24 Parametersätze für  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$

    (B)     Umschaltung:   Einzelschritt  /  Gesamtdarstellung

    (C)     2D–  bzw.  3D–Darstellung der vektoriellen Repräsentanten
                (siehe rechte Grafik, Koordinatensystem kann gedreht werden)

    (D)     Reset  –  Rücksetzung aller Parameter auf Grundeinstellung

    (E)     Grafikfeld zur Darstellung der Mustersignale  $s_k(t)$

    (F)     Grafikfeld zur Darstellung der Hilfsfunktionen  $\theta_k(t)$

    (G)     Grafikfeld zur Darstellung der Basisfunktionen  $\varphi_k(t)$

    (H)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  »Lehrstuhl für Nachrichtentechnik«  der  »Technischen Universität München«  konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2008 von  »Martin Völkl«  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit »FlashMX–Actionscript« erstellt (Betreuer:  »Günter Söder«).

• 2020 wurde das Programm von  »Carolin Mirschina«  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  »Tasnád Kernetzky«).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch das Programm  »EXIni«  (Exzellenzinitiative)  der Technischen Universität München gefördert.  Wir bedanken uns.

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