Aufgaben:Aufgabe 3.8: Dreimal Faltung?

• [[Signaldarstellung/Faltungssatz und Faltungsoperation
  

  Die Impulsantwort eines LZI-Systems hat im Zeitbereich zwischen 0 und 2 $T$ den folgenden Verlauf:

  $$h( t ) = \frac{1}{T}\left( {1 - \frac{t}[[:Vorlage:2T]]} \right).$$

  Außerhalb dieses Intervalls ist $h(t)$ gleich 0. Die zugehörige Spektralfunktion lautet:

  $$H( f ) = \frac{1}{{8\left( {{\rm{\pi }}fT} \right)^2 }} \left( {1 - {\rm{j \cdot 4\pi | Zurück zum Buch]] '"`UNIQ--html-00000001-QINU`"'fT - {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 4\pi }}fT} } \right).$$

  Zur Berechnung des sog. Gleichsignalübertragungsfaktors ⇒ $H(f = 0)$ ist diese Gleichung nicht geeignet, da sowohl der Klammerausdruck als auch der Nenner Null werden. Es gilt aber auch:

  $$H( {f = 0} ) = \int_0^{2T} {h( t )\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 1.}$$

  An den Eingang dieses Filters werden drei verschiedene Zeitsignale angelegt (siehe Skizze):

  • $x_1(t)$ ist ein Gleichsignal mit der Höhe $x_0$ = 1 V.
  • $x_2(t)$ ist ein Rechtecksignal mit der Dauer $T$ und der Höhe $x_0$ = 1 V, beginnend bei $t = T$.
  • $x_3(t)$ ist ein Cosinussignal mit der Frequenz $f_0 = 3/T$ und der Amplitude $x_0 = 1$ V.

  
  Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.4. Die Thematik dieses Abschnitts wird auch in nachfolgendem Interaktionsmodul veranschaulicht: Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung

  Fragebogen

  1

  Bei welchen der drei Signale ist es zweckmäßiger, das Ausgangssignal direkt im Zeitbereich zu berechnen?

  	$y_1(t) = x_1(t) \ast h(t)$.
  	$y_2(t) = x_2(t) \ast h(t)$.
  	$y_3(t) = x_3(t) \ast h(t)$.

  2

  Wie lautet das Signal $y_1(t)$ am Filterausgang, wenn am Eingang das Gleichsignal $x_1(t) = 1$ V anliegt? Geben Sie den Signalwert bei $t = 2T$ an.

  $y_1(t=2T) = $ V

  3

  Auf welchen Zeitbereich zwischen $t_{\text{min}}$ und $t_{\text{max}}$ ist das Ausgangssignal $y_2(t) = x_2(t) \ast h(t)$ beschränkt, d. h. ungleich 0?

  $t_{\text{min}}/T = $

  $t_{\text{max}}/T = $

  4

  Berechnen Sie die Werte des Signals $y_2(t)$ zu den Zeiten $t = 2T$ und $t = 3T$

  $y_2(t=2T) = $ V

  $y_2(t=3T) = $ V

  5

  Wie lautet das Ausgangssignal $y_3(t)$, wenn am Eingang das Cosinussignal $x_3(t)$ anliegt? Geben Sie den Signalwert bei $t$ = 0 an.

  $y_2(t=3T) = $ V

  
  

  Musterlösung

  Musterlösung

  1. Die Signale $x_1(t)$ und $x_3(t)$ beinhalten jeweils nur eine Frequenz ( $f = 0$ bzw. $f = f_0$ ). Hier ist der Umweg über das Spektrum vorzuziehen. Beim Rechtecksignal $x_2(t)$ ist die Berechnung über die Faltung günstiger, da die Fourierrücktransformation von $Y_2(f)$ kompliziert ist ⇒ Antwort 2.

  2. Das Ausgangssignal ist ebenfalls ein Gleichsignal, da folgende Gleichungen gelten:

  $$Y_1 (f) = X_1 (f) \cdot H(f)\quad {\rm{mit}}\quad X_1 (f) = 1\;{\rm{V}} \cdot \delta (f)$$

  $$ \Rightarrow Y_1 (f) = 1\;{\rm{V}} \cdot \delta (f) \cdot H( {f = 0} ) = 1\;{\rm{V}} \cdot \delta (f).$$

  $$ \Rightarrow y_1 (t) = 1\;{\rm{V}} \cdot H( {f = 0} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}}.$$

  Die Berechnung über die Faltung führt zum gleichen Ergebnis, wenn man berücksichtigt, dass das Integral über die Impulsantwort im vorliegenden Fall gleich 1 ist.

  3. Das gespiegelte Signal $x_2(–t)$ hat Signalanteile zwischen $–2T$ und $–T$. Erst eine Verschiebung um $T + \epsilon$ führt zu einer Überlappung mit $h(t)$. Hierbei bezeichnet ε eine beliebig kleine, aber positive Zeit. Ist die Verschiebung allerdings größer als $4T – \epsilon$, so liefert die Integration über das Produkt ebenfalls den Wert 0. Daraus folgt $t_{\text{min}} = T$ und $t_{\text{max}} = 4T$.

  

  4. Das Ergebnis der grafischen Faltung für die Zeitpunkte $t = 2T$ und $3T$ kann man nachfolgender Skizze entnehmen. Der Wert bei $2T$ entspricht der rötlich unterlegten Fläche:

  $$y_2( {t = 2T} ) = \frac{1}{2}\cdot ( {\frac{1}{T} + \frac{1}[[:Vorlage:2T]]} ) \cdot T \cdot x_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.75 {\rm V}} .$$

  Die grün unterlegte Fläche kennzeichnet den Wert bei $3T$:

  $$y_2( {t = 3T} ) = \frac{1}{2}\cdot ( {\frac{1}{2T} + 0} ) \cdot T \cdot x_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.25 {\rm V}} .$$

  Um den gesamten Signalverlauf zwischen $T$ und $4T$ zu berechnen, müssen drei Bereiche getrennt betrachtet werden. Zur Vereinfachung der Darstellung wird im Folgenden $x_0 = 1$ gesetzt.

  

  Im Bereich $T \leq t \leq 2T$ liegt die untere Integrationsgrenze fest bei $τ_u = 0$ und die obere Grenze bei $τ_0 = t – T$:

  $$y_2 (t) = \int_{\tau _u }^{\tau _0 } {h(\tau )\,{\rm{d}}\tau = \int_0^{t - T} {\frac{1}{T}} }\cdot \left( {1 - \frac{\tau }[[:Vorlage:2T]]} \right)\,{\rm{d}}\tau .$$

  Mit dem unbestimmten Integral

  $$I(\tau ) = \frac{\tau }{T} - 0.25 \cdot \left( {\frac{\tau }{T}} \right)^2$$

  ergibt sich

  $$y_2 (t) = I(t - T) - I(0) = \frac[[:Vorlage:T - T]]{T} - 0.25 \cdot \left( {\frac[[:Vorlage:T - T]]{T}} \right)^2 $$

  $$ \Rightarrow \;y_2 (t) = 1.5 \cdot \frac{t}{T} - 0.25\cdot \left( {\frac{t}{T}} \right)^2 - 1.25.$$

  Zur Verifizierung betrachten wir die beiden Grenzen. Man erhält die bereits oben berechneten Werte $y_2(T) = 0$ und $y_2(2T) = 0.75$.

  

  Im Intervall $2T \leq t \leq 3T$ liegt die obere Integrationsgrenze weiterhin bei $τ_0 = t – T$, während nun $τ_u = t – 2T$ gilt:

  $$y_2 (t) = I(t - T) - I(t - 2T) = 1.75 - 0.5 \cdot \frac{t}{T}.$$

  Dies entspricht einem linearen Abfall mit den zwei Grenzwerten $y_2(2T) = 0.75$ und $y_2(3T) = 0.25$.

  
  

  

  Schließlich liegt im Intervall $3T \leq t \leq 4T$ die obere Grenze fest bei $τ_0 = 2T$ und es gilt weiterhin $τ_u = t – 2T$:

  $$\begin{align*}y_2 (t) &= I(2T) - I(t - 2T) \\ &= - 2 \cdot \frac{t}{T} + 0.25\left( {\frac{t}{T}} \right)^2 + 4.\end{align*}$$

  Auch hier ergeben sich die richtigen Grenzwerte

  $$y_2 (3T) = 0.25\quad {\rm{und}}\quad y_2 (4T) = 0.$$

  5. Auch diese Aufgabe könnte direkt mit der Faltung gelöst werden. Da $x_3(t)$ eine gerade Funktion ist, kann hier aber nun auf die Spiegelung verzichtet werden und man erhält

  $$y_3 (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h(\tau ) \cdot x_3 (t + \tau )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}\tau = x_0 }\cdot \int_0^{2T} {h(\tau ) \cdot \cos (2{\rm{\pi }}f_0 (t + \tau )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}\tau .}$$

  Einfacher ist hier der Weg über die Spektren. $X(f)$ besteht aus zwei Diraclinien bei $\pm 3f_0$. Somit muss auch nur für diese Frequenz der Frequenzgang berechnet werden:

  $$\begin{align*}H( {f = 3f_0 } ) & = \frac{1}{{72{\rm{\pi }}^{\rm{2}} }}\left[ {1 - {\rm{j}}\cdot 12{\rm{\pi }} - {\rm{cos}}( {{\rm{12\pi }}} ) + {\rm{j}}\cdot \sin ( {{\rm{12\pi }}})} \right] = \\ & = \frac{1}{{72{\rm{\pi }}^{\rm{2}} }}\left[ 1 - {\rm j}\cdot 12{\rm \pi } - 1 + {\rm j}\cdot 0 \right]= { - {\rm{j}}} \cdot \frac{1}{{6{\rm{\pi }}}}.\end{align*}$$

  Somit lautet das Spektrum des Ausgangssignals:

  $$Y(f) = - {\rm{j}} \cdot \frac[[:Vorlage:X 0]]{{{\rm{12\pi }}}}\cdot \delta \left( {f - 3f_0 } \right) + {\rm{j}} \cdot \frac[[:Vorlage:X 0]]{{{\rm{12\pi }}}}\cdot \delta \left( {f + 3f_0 } \right).$$

  Das Signal $y_3(t)$ ist somit sinusförmig mit der Amplitude $x_0/(6\pi )$. Der Signalwert bei $t$ = 0 ist 0.