Aufgaben:Aufgabe 4.3: Zeigerdiagrammdarstellung: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei:P_ID716__Sig_A_4_3.png|250px|right|Zeigerdiagramm einer Harmonischen (Aufgabe A4.3)]] | [[Datei:P_ID716__Sig_A_4_3.png|250px|right|Zeigerdiagramm einer Harmonischen (Aufgabe A4.3)]] | ||
| − | Wir betrachten ein analytisches Signal | + | Wir betrachten ein analytisches Signal $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische BP–Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte $S_i = x_i(t = 0)$ unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich: |
| − | *Das analytische Signal | + | *Das analytische Signal $x_{1+}(t) beginnt bei $S_1$ = 3 V. Die Winkelgeschwindigkeit ist $\omega_1 = \pi \cdot 104 1/\text{s}$. |
| − | *Das Signal | + | *Das Signal $x_{2+}(t)$ beginnt beim grünen Startpunkt $S_2 = j \cdot 3$ V und dreht gegenüber $x_{1+}(t)$ mit doppelter Winkelgeschwindigkeit $(\omega_2 = 2 \cdot \omega_1)$. |
| − | *Das Signal | + | *Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt $S_3 = 3 \text{V} \cdot exp(–\text{j}\pi /3)$ und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal $x_{2+}(t)$. |
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$A=$ { 3 } V | $A=$ { 3 } V | ||
| − | {Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals | + | {Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_1(t)$? |
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$f_1 =$ { 5 } kHz | $f_1 =$ { 5 } kHz | ||
$\phi_1 = $ { 0 } Grad | $\phi_1 = $ { 0 } Grad | ||
| − | {Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals | + | {Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_2(t)$? |
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$f_2 = $ { 10 } kHz | $f_2 = $ { 10 } kHz | ||
$\phi_2 { -90 } Grad | $\phi_2 { -90 } Grad | ||
| − | {Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals | + | {Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_3(t)$? |
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$f_3 = $ { 10 } kHz | $f_3 = $ { 10 } kHz | ||
$\phi_3 { 60 } Grad | $\phi_3 { 60 } Grad | ||
| − | {Nach welcher Zeit | + | {Nach welcher Zeit $t_1$ ist das analytische Signal erstmalig wieder gleich dem Startwert $x_{3+}(t = 0)$? |
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$t_1 = $ { 0.1 3% } ms | $t_1 = $ { 0.1 3% } ms | ||
| − | {Nach welcher Zeit | + | {Nach welcher Zeit $t_2$ ist das physikalische Signal $x_3(t)$ zum ersten Mal wieder so groß wie zum Zeitpunkt $t$ = 0? |
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$t_2 = $ { 0.033 3% } ms | $t_2 = $ { 0.033 3% } ms | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''1.''' | + | '''1.''' Die Amplitude der harmonischen Schwingung ist gleich der Zeigerlänge. Für alle Signale gilt $A$ = 3V. |
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| + | '''2.''' Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu $f_1 = \omega_1/(2\pi ) =$ 5 kHz. Die Phase kann aus $S_1 = 3\text{V} \cdot \text{exp}(–\text{j} \cdot \phi_1)$ ermittelt werden und ergibt sich zu $\phi_1$ = 0, d.h. es ist | ||
$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} | $$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} | ||
\cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 5 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t) .$$ | \cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 5 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t) .$$ | ||
| − | + | '''3.''' Wegen $\omega_2 = 2\omega_1$ beträgt nun die Frequenz $f_2 = 2 \cdot f_1 =$ 10 kHz. Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt $S_2$ zu \text{exp}(–\text{j} \cdot \phi_2) = \text{j}$, das heißt $φ_2 = –\pi /2 (–90^{\circ})$. Somit lautet die Zeitfunktion: | |
$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} | $$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} | ||
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\cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$ | \cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$ | ||
| − | Dieses Signal ist somit „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann. Der Realteil von | + | Dieses Signal ist somit „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann. Der Realteil von $x_{2+}(t)$ zum Zeitpunkt $t$ = 0 ist 0. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil. Nach einer viertel Umdrehung ist $x_2(T/4)$ = –3V. Dreht man nochmals in Schritten von 90° entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte 0V, 3V und 0V. |
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| − | + | '''4.''' Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen 2) und 3) gelöst werden: $f_3$ = 10 kHz, $\phi_3$ = 60°. | |
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| + | '''5.''' Der Zeiger benötigt für eine Umdrehung genau die Periodendauer $T_3 = 1/f_3 = 0.1$ ms $(= t_1)$. | ||
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| + | '''6.''' Das analytische Signal startet bei $S_3 = 3\text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}60^{\circ}}$. Dreht das Signal um 120° weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil. Es gilt dann mit $t_2 = t_1/3 = 0.033$ ms folgende Beziehung: | ||
$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} | $$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} | ||
Version vom 19. April 2016, 18:32 Uhr
Wir betrachten ein analytisches Signal $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische BP–Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte $S_i = x_i(t = 0)$ unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich:
- Das analytische Signal $x_{1+}(t) beginnt bei $S_1$ = 3 V. Die Winkelgeschwindigkeit ist $\omega_1 = \pi \cdot 104 1/\text{s}$. *Das Signal $x_{2+}(t)$ beginnt beim grünen Startpunkt $S_2 = j \cdot 3$ V und dreht gegenüber $x_{1+}(t)$ mit doppelter Winkelgeschwindigkeit $(\omega_2 = 2 \cdot \omega_1)$. *Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt $S_3 = 3 \text{V} \cdot exp(–\text{j}\pi /3)$ und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal $x_{2+}(t)$. Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.2. ==='"`UNIQ--h-0--QINU`"'Fragebogen=== '"`UNIQ--quiz-00000002-QINU`"' ==='"`UNIQ--h-1--QINU`"'Musterlösung=== '"`UNIQ--html-00000003-QINU`"' '''1.''' Die Amplitude der harmonischen Schwingung ist gleich der Zeigerlänge. Für alle Signale gilt $A$ = 3V. '''2.''' Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu $f_1 = \omega_1/(2\pi ) =$ 5 kHz. Die Phase kann aus $S_1 = 3\text{V} \cdot \text{exp}(–\text{j} \cdot \phi_1)$ ermittelt werden und ergibt sich zu $\phi_1$ = 0, d.h. es ist '"`UNIQ-MathJax16-QINU`"' '''3.''' Wegen $\omega_2 = 2\omega_1$ beträgt nun die Frequenz $f_2 = 2 \cdot f_1 =$ 10 kHz. Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt $S_2$ zu \text{exp}(–\text{j} \cdot \phi_2) = \text{j}$, das heißt $φ_2 = –\pi /2 (–90^{\circ})$. Somit lautet die Zeitfunktion:
$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t + 90^\circ) = -3\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$
Dieses Signal ist somit „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann. Der Realteil von $x_{2+}(t)$ zum Zeitpunkt $t$ = 0 ist 0. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil. Nach einer viertel Umdrehung ist $x_2(T/4)$ = –3V. Dreht man nochmals in Schritten von 90° entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte 0V, 3V und 0V.
4. Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen 2) und 3) gelöst werden: $f_3$ = 10 kHz, $\phi_3$ = 60°.
5. Der Zeiger benötigt für eine Umdrehung genau die Periodendauer $T_3 = 1/f_3 = 0.1$ ms $(= t_1)$.
6. Das analytische Signal startet bei $S_3 = 3\text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}60^{\circ}}$. Dreht das Signal um 120° weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil. Es gilt dann mit $t_2 = t_1/3 = 0.033$ ms folgende Beziehung:
$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 60^\circ) = 1.5\hspace{0.05cm}{\rm V} .$$
