Stochastische Signaltheorie/Einige grundlegende Definitionen: Unterschied zwischen den Versionen
(Die Seite wurde neu angelegt: „{{First Page}} {{Header |Untermenü=Wahrscheinlichkeitsrechnung |Nächste Seite=Mengentheoretische Grundlagen }} {{Display}}“) |
|||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| − | {{ | + | {{FirstPage}} |
{{Header | {{Header | ||
|Untermenü=Wahrscheinlichkeitsrechnung | |Untermenü=Wahrscheinlichkeitsrechnung | ||
|Nächste Seite=Mengentheoretische Grundlagen | |Nächste Seite=Mengentheoretische Grundlagen | ||
}} | }} | ||
| + | ==Experiment – Ergebnis – Wahrscheinlichkeit== | ||
| + | Der Ausgangspunkt einer jeden statistischen Untersuchung ist ein Zufallsexperiment. Darunter versteht man einen unter stets gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbaren Versuch mit ungewissem Ergebnis $E$, bei dem jedoch die Menge ${E_μ}$ der möglichen Ergebnisse angebbar ist. | ||
| + | Die Anzahl der möglichen Ergebnisse bezeichnet man als den Ergebnisumfang $M$. Dann gilt: | ||
| + | $$E_\mu \in G = \{E_\mu\}= \{E_1, \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}, E_M \} .$$ | ||
| + | Hierbei kann die Laufvariable $μ$ alle ganzzahligen Werte zwischen 1 und $M$ annehmen. $G$ nennt man auch den Ereignisraum oder die Grundmenge. | ||
| + | |||
| + | {{Beispiel}} | ||
| + | Beim Experiment ''Münzwurf'' gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, nämlich ''Zahl'' und ''Bild'' ⇒ $M =$ 2. Dagegen sind beim Zufallsexperiment ''Werfen einer Roulettekugel'' insgesamt $M =$ 37 verschiedene Ergebnisse möglich, und es gilt hier für für die Grundmenge: | ||
| + | $$G = \{E_\mu\} = \{0, 1, 2, ... , 36\}.$$ | ||
| + | {{end}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Wir setzen zunächst voraus, dass jeder Versuch genau ein einziges Ergebnis aus $G$ zur Folge hat und dass jedes dieser $M$ Ergebnisse in gleicher Weise (ohne Bevorzugung oder Benachteiligung) möglich ist. | ||
| + | |||
| + | {{Definition}} | ||
| + | Mit dieser Annahme gilt für die Wahrscheinlichkeit (englisch: ''Probability'') eines jeden Ergebnisses $E_μ$ gleichermaßen: | ||
| + | $$\Pr (E_\mu) = 1/{M}.$$ | ||
| + | {{end}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Dies ist die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. Pr( ... ) steht dabei für ''Probability'' und ist als eine mathematische Funktion zu verstehen. | ||
| + | |||
| + | {{Beispiel}} | ||
| + | Beim Zufallsexperiment ''Münzwurf'' gilt für die Wahrscheinlichkeiten der beiden möglichen Ergebnisse: Pr(''Zahl'') = Pr(''Bild'') = 1/2. Dies setzt voraus, dass jeder Versuch entweder mit ''Zahl'' oder mit ''Bild'' ausgeht und dass nicht bei einem Versuch die Münze auf ihrem Rand zu stehen kommen kann. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Auch beim Versuch ''Werfen einer Roulettekugel'' sind die Wahrscheinlichkeiten Pr( $E_μ$) = 1/37 nur dann für alle Zahlen von 0 bis 36 gleich, wenn der Roulettetisch nicht manipuliert wurde. | ||
| + | {{end}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | '''Anmerkung:''' Die Wahrscheinlichkeitsrechnung – und die darauf aufbauende Statistik – kann nur dann fundierte Aussagen liefern, wenn alle implizit vereinbarten Voraussetzungen tatsächlich erfüllt sind. Diese Bedingungen zu überprüfen ist nicht Aufgabe der Statistik, sondern von denjenigen, die diese nutzen. Da gegen diese Grundregel oft verstoßen wird, hat die Statistik in der Gesellschaft einen viel schlechteren Ruf, als es ihr eigentlich zustehen würde. | ||
Version vom 18. Mai 2016, 16:12 Uhr
- [[Stochastische Signaltheorie/{{{Vorherige Seite}}} | Vorherige Seite]]
- [[Stochastische Signaltheorie/{{{Vorherige Seite}}} | Vorherige Seite]]
Experiment – Ergebnis – Wahrscheinlichkeit
Der Ausgangspunkt einer jeden statistischen Untersuchung ist ein Zufallsexperiment. Darunter versteht man einen unter stets gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbaren Versuch mit ungewissem Ergebnis $E$, bei dem jedoch die Menge ${E_μ}$ der möglichen Ergebnisse angebbar ist.
Die Anzahl der möglichen Ergebnisse bezeichnet man als den Ergebnisumfang $M$. Dann gilt:
$$E_\mu \in G = \{E_\mu\}= \{E_1, \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}, E_M \} .$$
Hierbei kann die Laufvariable $μ$ alle ganzzahligen Werte zwischen 1 und $M$ annehmen. $G$ nennt man auch den Ereignisraum oder die Grundmenge.
Beim Experiment Münzwurf gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, nämlich Zahl und Bild ⇒ $M =$ 2. Dagegen sind beim Zufallsexperiment Werfen einer Roulettekugel insgesamt $M =$ 37 verschiedene Ergebnisse möglich, und es gilt hier für für die Grundmenge: $$G = \{E_\mu\} = \{0, 1, 2, ... , 36\}.$$
Wir setzen zunächst voraus, dass jeder Versuch genau ein einziges Ergebnis aus $G$ zur Folge hat und dass jedes dieser $M$ Ergebnisse in gleicher Weise (ohne Bevorzugung oder Benachteiligung) möglich ist.
Mit dieser Annahme gilt für die Wahrscheinlichkeit (englisch: Probability) eines jeden Ergebnisses $E_μ$ gleichermaßen: $$\Pr (E_\mu) = 1/{M}.$$
Dies ist die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. Pr( ... ) steht dabei für Probability und ist als eine mathematische Funktion zu verstehen.
Beim Zufallsexperiment Münzwurf gilt für die Wahrscheinlichkeiten der beiden möglichen Ergebnisse: Pr(Zahl) = Pr(Bild) = 1/2. Dies setzt voraus, dass jeder Versuch entweder mit Zahl oder mit Bild ausgeht und dass nicht bei einem Versuch die Münze auf ihrem Rand zu stehen kommen kann.
Auch beim Versuch Werfen einer Roulettekugel sind die Wahrscheinlichkeiten Pr( $E_μ$) = 1/37 nur dann für alle Zahlen von 0 bis 36 gleich, wenn der Roulettetisch nicht manipuliert wurde.
Anmerkung: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung – und die darauf aufbauende Statistik – kann nur dann fundierte Aussagen liefern, wenn alle implizit vereinbarten Voraussetzungen tatsächlich erfüllt sind. Diese Bedingungen zu überprüfen ist nicht Aufgabe der Statistik, sondern von denjenigen, die diese nutzen. Da gegen diese Grundregel oft verstoßen wird, hat die Statistik in der Gesellschaft einen viel schlechteren Ruf, als es ihr eigentlich zustehen würde.
