Modulationsverfahren/Nichtlineare digitale Modulation

1. Modulationsverfahren
2. Digitale Modulationsverfahren
3. Nichtlineare digitale Modulation

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Eigenschaften nichtlinearer Verfahren

Die Gesamtheit aller Modulationsverfahren lassen sich alternativ wie folgt klassifizieren:

• Amplituden–, Phasen– und Frequenzmodulation (AM, PM, FM),
• analoge und digitale Modulationsverfahren,
• lineare und nichtlineare Modulationsverfahren.

Hinsichtlich des letzten Unterscheidungsmerkmals soll gelten [Klo01]:

Ein lineares Modulationsverfahren liegt vor, wenn eine beliebige Linearkombination von Signalen am Modulatoreingang zu einer entsprechenden Linearkombination an dessen Ausgang führt. Andernfalls spricht man von einem nichtlinearen Modulationsverfahren.

Die Grafik zeigt einige der Unterschiede hinsichtlich der oben angegebenen Klassifizierungen.

Zu Beginn von Kapitel 4 wurde bereits darauf hingewiesen, dass der wesentliche Unterschied zwischen einem analogen und einem digitalen Modulationsverfahren darin besteht, dass beim ersten ein analoges Quellensignal $q(t)$ anliegt und beim zweiten ein Digitalsignal. Bei genauerer Betrachtung wird man jedoch feststellen, dass es zwischen diesen Verfahren noch einige Unterschiede mehr gibt. Darauf wird nachfolgend genauer eingegangen.

• Die analoge Amplitudenmodulation ist ein lineares Modulationsverfahren. Die Ortskurve – also das äquivalente Tiefpass–Signal dargestellt in der komplexen Ebene – ist eine Gerade.

• Zwischen analoger PM und FM gibt es viele Gemeinsamkeiten ⇒ gemeinsame Beschreibung als Winkelmodulation. Die Ortskurve ist ein Kreisbogen. Bei einer harmonischen Schwingung gibt es ein Linienspektrum $S(f)$ bei Vielfachen der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ um die Trägerfrequenz.

• Die digitale Amplitudenmodulation, die man entweder als Amplitude Shift Keying (ASK) oder als On–Off–Keying (OOK) bezeichnet, ist ebenfalls linear. Die Ortskurve besteht im binären Fall nur noch aus zwei Punkten.

• Da sich die binäre Phasenmodulation (BPSK) als ASK mit bipolaren Amplitudenkoeffizienten darstellen lässt, ist diese ebenfalls linear. Die Form des BPSK–Leistungsdichtespektrums wird wesentlich durch das Betragsquadratspektrum $|G_s(f)|^2$ des Sendegrundimpulses bestimmt.

• Das bedeutet aber auch: Die Spektralfunktion der BPSK ist kontinuierlich in $f$. Würde man die BPSK als (analoge) Phasenmodulation mit digitalem Quellensignal $q(t)$ betrachten, so müssten zur Berechnung von $Φ_s(f)$ unendlich viele Bessel–Linienspektren miteinander gefaltet werden, wenn man $Q(f)$ als unendliche Summe von Einzelfrequenzen darstellt.

• Da die 4–QAM auch als Summe zweier zueinander orthogonaler und damit quasi–unabhängiger BPSK–Systeme beschrieben werden kann, stellt auch diese ein lineares Modulationsverfahren dar. Gleiches gilt für die höherstufigen QAM–Verfahren wie 16–QAM, 64–QAM usw..

• Eine höherstufige PSK, zum Beispiel die 8–PSK, ist nur in Sonderfällen linear, siehe [Klo01]. Die digitale Frequenzmodulation (Frequency Shift Keying, FSK) ist dagegen stets nichtlinear. Dieses Verfahren wird nachfolgend beschrieben, wobei wir uns auf die binäre FSK beschränken.

FSK – Frequency Shift Keying (1)

Wir gehen hier aus vom Sendesignal der analogen Frequenzmodulation aus, $$s(t) = s_0 \cdot \cos (\psi(t)) \hspace{0.2cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} \psi(t) = 2\pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t + K_{\rm FM} \cdot \int q(t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$ und dem rechteckförmigen Binärsignal mit $a_ν ∈$ {+1, –1} ⇒ bipolare Signalisierung: $$q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T) \hspace{0.2cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} g_s(t) = \left\{ \begin{array}{l} A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} 0 < t < T\hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ Fasst man die Amplitude $A$ und die Modulatorkonstante $K_{\rm FM}$ zum Frequenzhub (Definition siehe unten) $${\rm \Delta}f_{\rm A} = \frac{A \cdot K_{\rm FM}}{2 \pi}$$ zusammen, so lautet das FSK–Sendesignal im $ν$–ten Zeitintervall: $$s(t) = s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} ) )\hspace{0.05cm}.$$ Dieses lässt sich mit den beiden möglichen Signalfrequenzen $$f_{\rm +1} = f_{\rm T} +{\rm \Delta}f_{\rm A} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}f_{\rm -1} = f_{\rm T} -{\rm \Delta}f_{\rm A}$$ auch in folgender Form schreiben: $$s(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm +1} \cdot t ) \\ s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm -1} \cdot t ) \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} a_{ \nu} = +1 \hspace{0.05cm}, \\ a_{ \nu} = -1\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ Zu jedem Zeitpunkt tritt also stets nur eine der beiden Frequenzen $f_{+1}$ und $f_{–1}$ auf. Die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ selbst kommt im Signal nicht vor.

Der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ ist in gleicher Weise definiert wie bei der analogen FM, nämlich als die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz $f_{\rm A}(t)$ von der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Häufig wird der Frequenzhub in der Literatur auch mit $Δf$ bzw. $F$ bezeichnet.

Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße ist in diesem Zusammenhang der Modulationsindex, der ebenfalls bereits bei der analogen Frequenzmodulation als $η = Δf_{\rm A}/f_{\rm N}$ definiert wurde. Bei der FSK ist eine etwas andere Definition erforderlich, was durch einen anderen Kennbuchstaben berücksichtigt wird: $η ⇒ h$.

Bei der digitalen Frequenzmodulation (FSK) bezeichnet man als den Modulationsindex $h$ das Verhältnis aus dem Gesamtfrequenzhub und der Symbolrate $1/T$: $$h = \frac{2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A}}{1/T} = 2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A}\cdot T \hspace{0.05cm}.$$ Manchmal wird in der Fachliteratur $h$ auch als Phasenhub bezeichnet.

FSK – Frequency Shift Keying (2)

Die Grafik zeigt unten das FSK–Sendesignal $s(t)$ für

• das oben skizzierte binäre Quellensignal $q(t)$, und
• das darunter gezeichnete Trägersignal $z(t)$ mit vier Schwingungen pro Symboldauer $(f_{\rm T} · T = 4)$.

Der zugrundeliegende Frequenzhub ist $Δf_{\rm A} = 1/T$, was dem Modulationsindex $h =$ 2 entspricht. Die beiden möglichen Frequenzen sind somit $$f_{\rm +1} = 5/T \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}f_{\rm -1} = 3/T \hspace{0.05cm}.$$

Bei einem FSK–Übertragungssystem mit der Bitrate 1 Mbit/s $(T =$ 1 μs) und der Amplitude $A =$ 1 V des Quellensignals müsste somit die folgende FM–Konstante verwendet werden: $$K_{\rm FM} = \frac{2 \pi \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A}}{A } = \frac{2 \pi }{A \cdot T } \approx 6.28 \cdot 10^{6}\,\,{\rm V^{-1}s^{-1}}\hspace{0.05cm}.$$